2023 年湖北省高二 9 月起点考试
高二数学试卷解析
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每题给出的选项中，只有一项符合
题目的要求）
1.C 2.A 3.D 4. B 5.A 6.B 7.B 8.C
8.对于 ,当掷骰子出现结果为 1，1，2，5，6时，满足平均数为 3，中位数为 2,所以 错误。
对于 B,当掷骰子出现结果为 2，2，3，4，6时，中位数为 3，众数为 2,所以 错误，对于 C,
1
若平均数为 2 2 2，且出现 6 点，则方差 s ＞ 6 2 3.2＞2.4当平均数为 2，方差为 2.4 是
5
一定没有出现点数 6，所以 C正确，对于 D,当掷骰子出现结果为 1，2，3，3，6时，中位
2 1 2 2 2 2 2
数为 3，平均数为 3，方差 s 1 3 2 3 3 3 3 3 6 3 2.8，可
5
以出现 6，所以 D错误，故选 C
二、多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。）
9. AC 10.BC 11.BCD 12. ABC
12.以点D1为原点，D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为 x、y、z轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，则D1 0,0,0 、B1 6,6,0 、C 0,6,6 、A 6,0,6 、D 0,0,6 、C1 0,6,0 ,
对于 A选项，当
1
时，
3
DM AM AD 1 AC AD 1 1 6,6, 6 6,0,0 4,2, 2 ，3 3
设平面CB1D1的法向量为m x1, y1, z1 ,D1B1 6,6,0 ,D1C 0,6,6
m D
则 1
B1 6x1 6y1 0，取 y 1，可得m 1, 1,1 ，
m D1C 6y1 6z1 0
1
所以m DM 4 2 2 0,则m DM ，
1
因为DM 平面CB1D1，故当 时，DM // 平面CB3 1
D1，A对；
对于 B选项，当
1
时，N为 CD中点分别取 AB、BC中点 G、H，
2
连接 B1G、GH、B1H、A1C1、GN ,因为 G、H分别为 AB、BC的中点，所以GH // AC，
又因为 AA1 //CC1且 AA1 CC1，所以四边形 AA1C1C为平行四边形，则 AC // A1C1，
所以GH // A1C1，因为GH 平面 A1NC1，A1C1 平面 A1NC1，所以GH // 平面 A1NC1，
同理可得， B1G //平面 A1NC1，
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 8页）第 1页
{#{QQABaYQQogAAAgBAARhCAQWCCkKQkAECCKgGwEAAsAABCAFABAA=}#}
因为 B1G GH G，B1G、GH 平面 B1GH ，所以平面 B1GH // 平面 A1NC1，
当点 P为 B1GH 的边上一点（异于点B1）时，则 B1P 平面 B1GH ，则 B1P //平面 A1NC1，
故点 P的轨迹为 B1GH 的边（除去点 B1），因为 B 2 21G BB1 BG 6
2 32 3 5，
同理可得 B1H 3 5，结合图形可得 B1P BG B H 3 5max 1 1 ，B正确；
1
当 时，M、N分别为 AC1、CD的中点，如图所示：2
此时点 N 0,3,6 、M 3,3,3 、D1 0,0,0 ,D1N 0,3,6 ，
当点 P在平面 AA1D1D内运动时，设点P x,0, z ，
其中0 x 6,0 z 6，
则MP x 3, 3, z 3 ，因为D1N MP，则D1N MP 9 6 z 3 6z 27 0，
9 9 9
解得 z ，设点 P的轨迹分别交棱 AA1、DD1于点 R、Q，则 R 6,0, 、Q 0,0, ，2 2 2
当点 P在平面CC1D1D内运动时，设点P x,0, z ，其中0 y 6,0 z 6，
MP 3, y 3, z 3 ，则D1N MP 3y 9 6 z 3 3y 6z 27 0，
F 0,6, 3 设点 P的轨迹交棱CC1于点 F，则 ，设点 P的轨迹交棱 BB 于点 T， 2 1
因为平面 AA1D1D //平面 BB1C1C，平面 RQFT 平面 AA1D1D RQ，
平面 RQFT 平面 BB1C1C FT ，所以 RQ // FT ，同理可得QF // RT ，所以四边形
2
RQFT 为平行四边形，且 FT 3 9 RQ 6, RT FQ 02 62 3 5，
2 2
因此，点 P的轨迹的长度即为平行四边形 RQFT 的周长 2 6 3 5 12 6 5，C对；
对于 D选项，设截面 AMN交棱 A1B1于点 U，连接 AU、C1U ，题意可知，截面 AMN 与
平面 AC1N 重合，因为平面 ABCD //平面 A1B1C1D1，平面 ANC1 平面 ABCD AN ，
平面 ANC1 平面 A1B1C1D1 C1U ，所以 AN //C1U ，同理可得 AU //C1N，
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 8页）第 2页
{#{QQABaYQQogAAAgBAARhCAQWCCkKQkAECCKgGwEAAsAABCAFABAA=}#}
所以四边形 AUC1N 为平行四边形，易知N 0,6 6 ,6 ，其中0＜ ＜1，
所以 AN 6,6 6 ,0 ,C1N 0, 6 ,6 ，
所以 AN C1N 6 6 6 36 1 ＜0，故AN与C1N不
可能垂直，故平行四边形 AUC1N 不可能为矩形，故过 A、M、N
三点的截面不可能是矩形，D错.
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
7 1
13. 2 14. 15. 16.5
8 2
16..解：过点 C作CE AB，垂足为 E，如图 1.
ABCD AB 2 CD 1 BE 1 cosB BE 1 B 为等腰梯形， ， ， ， ， ，
2 BC 2 3
2 2 2
由余弦定理得 AC AB BC 2AB BC cosB 3，即 AC 3，
AB2 BC 2 AC 2， BC AC，
易知，当平面 ACD 平面 ABC时，三棱锥D ABC体积最大，如图 2
此时， BC 2 平面 ACD，易知， ADC ，
3
记 O为外接球球心，半径为 R，
BC 平面 ACD，OB OC， O d 1 BC 1到平面 ACD的距离 ，
2 2
又 ACD AC 2 2 2 5 2的外接圆半径 r 2 1， R r d ， S 4 R 5 2sin 4
3
四、解答题（本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解：记 AB a, AD b, AA1 c，则 a b c 2, a,b a,c b,c 60
a b a c b c 2 ……………………………………2分
2 2 2 2 2
（1） AC1 a b c a b c 2 a b a c b c
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 8页）第 3页
{#{QQABaYQQogAAAgBAARhCAQWCCkKQkAECCKgGwEAAsAABCAFABAA=}#}
4 4 4 2 2 2 2 24 ……………………………………4分
AC1 24 2 6 ……………………………………5分
（2） BD1 b c a, AC a b,
BD1 2 2, AC 2 3 ……………………………………7分
2 2 BD1 AC b c a a b a c a b b c 4 …………………………9分
cos BD BD1 AC 6 1, AC .6 ……………………………………10分BD1 AC
18. 解：（1）在 ABC中，因为 2a cos B bcosC c cos B，
由正弦定理可得 2sin Acos B sin B cosC sinC cos B，
所以 2sin AcosB sin B C sin A， ……………………………………3分
A 1 、B 0, ，则 sin A＞0，所以 cosB ，因此 B .
2 3 ……………………6分
（2） BD 2DC,且CD 1, AD 2 3, BD 2,BC 3， ………………7分
ABD 2 2 2在 中，由余弦定理有 AD AB BD 2AB BD cosB，
即12 AB2 4 2AB 2cos ，即 AB2 2AB 8 0, AB＞0，
3
解得 AB 4 ……………………………………………………10分
所以 S 1 ABC AB BC sin B
1 3
12 3 3 .
2 2 2 ……………………………12分
19. 解：（1） 每组小矩形的面积之和为 1，
0.005 0.010 0.020 a 0.025 0.010 10 1， a 0.030 . ……………2分
（2）成绩落在 40，80 内的频率为 0.005 0.010 0.020 0.030 10 0.65，
落在 40，90 内的频率为 0.005 0.010 0.020 0.030 0.025 10 0.9，
设第 75百分位数为 m，由0.65 m 80 0.025 0.75，得m 84，
故第 75百分位数为 84； ……………………………………………………6分
（3）由图可知，成绩在 50，60 的市民人数为100 0.1 10，
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 8页）第 4页
{#{QQABaYQQogAAAgBAARhCAQWCCkKQkAECCKgGwEAAsAABCAFABAA=}#}
成绩在 60，70 的市民人数为100 0.2 20 z 10 51 63 20 ，故 59
10 20 ……………9分
设成绩在 50，60 中 10人的分数分别为 x1, x2 , x3 , , x10 ；成绩在 60，70 中 20 人的分数分
别为 y1, y2 , y3 , , y20，
x2 x2 x2 x2 2 2 2 2
则由题意可得 1 2 3 10 512 7, y 1 y2 y3 y20 632 4，
10 20
x2 x2 2 21 2 x3 x10 26080 y
2
， 1 y
2 2
2 y3 y
2
20 79460，
1
s2 x2 x2 x2 x2 y2 y2 2 2 2
10 20 1 2 3 10 1 2
y3 y20 z
1
26080 79460 592 37
30 ……………………………………………12分
20.证明：（1）连接 AB1与 A1B交于点 O，连接 OD
ABC A1B1C1为三棱柱， ABB1A1为平行四边形，
点 O为 AB1的中点又 D为B1C1的中点，则 AC1 //OD
又 OD 平面 A1BD, AC1 平面 A1BD， AC1 //平面 A1BD． ……………4分
（2） CA AB,CA AA1, AB AA1 A, CA 平面 ABB1A1，
AB1 平面 ABB1A1， CA AB1, AB1 CB
2
1 AC
2 102 62 8
AB 6, AB1 8,BB1 10, AB
2 AB 2 21 BB1 ，即 AB AB1 ……………6分
以 A为坐标原点， AB、AB1、AC 分别为 x轴， y轴，
z轴建立空间直角坐标系，
A 0,0,0 , A1 6,8,0 ,B 6,0,0 ,C 0,0,6 ，
B1 0,8,0 ,C1 6,8,6 ,D 3,8,3
A1B (12, 8,0), A1D (3,0,3),BC ( 6,0,6), …………………………………8分
A B n 0 3x 2y 0
设平面 A1BD的法向量为 n (x, y, z)
1
，则 ，即
A D n 0 x z 01
令 x 2, y 3, z 2， n 2，3， 2 …………………………………10分
设直线 BC与平面 A1BD的夹角为 ，
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{#{QQABaYQQogAAAgBAARhCAQWCCkKQkAECCKgGwEAAsAABCAFABAA=}#}
n BC
sin cos n,BC 24 2 34
n BC 17 6 2 17
A BD 2 34 直线 BC与平面 1 的夹角的正弦值为 ．17 …………………………………12分
21. 解：（1）记 A，C拿到冠军分别为事件 M，N，淘汰赛赛制下，A只需要连赢两场即可
拿到冠军，因此 P M 3 3 9 ，
4 4 16 …………………………………2分
对于 C想拿到冠军，首先得战胜 D，然后战胜 A，B中的胜者，
P N 1 3 1 1 1 1 5因此 ．
2 4 4 2 4 2 32 …………………………………5分
（2）记两种寒制下 A获得冠军的概率分别为 p1, p2 ，则 p1 p
2 . ……………………6分
而双败赛制下，A获得冠军有三种可能性：①直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后
杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军.
p p3 p 1 p p2 1 p p3 p32 3 2p , …………………………8分
p p 21 p 1 p ＞0， p p2 p p 1 2p 1 ＞0
则不论哪种赛制下，A获得冠军的概率均小于 p …………………………10分
而 p2 p p
2
1 1 p 2p 1
1 1
若 p＞ ，则 p＞p ，若 p＜ ，则 p ＜p
2 2 1 2 2 1
综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有
利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的． …………………………12分
22. 证明：（1）连接 AC1，因为 ABC为等边三角形，D为 AC中点， BD AC，
又平面 ACC1A1 平面 ABC，平面 ACC1A1 平面 ABC AC， BD 平面 ABC，
BD 平面 AA1C1C，又 A1C 平面 AA1C1C, BD A1C， ……………………2分
由题设知四边形 AA1C1C为菱形， A1C AC1，
D,E分别为 AC,CC1中点， DE // AC1, A1C DE，
又 BD DE D,BD,DE 平面 BDE, A1C 平面 BDE .……………………4分
（2）由题设知四边形 AA1C1C为菱形，且 ACC1 60 , ACC1为正三角形，
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{#{QQABaYQQogAAAgBAARhCAQWCCkKQkAECCKgGwEAAsAABCAFABAA=}#}
又D为 AC中点， C1D AC
又平面 ACC1A1 平面 ABC，平面 ACC1A1 平面 ABC AC，C1D 平面 AA1C1C，
C1D 平面 ABC，
又 BD 平面 ABC， AC 平面 ABC， C1D BD，C1D AC
又 ABC为等边三角形，D为 AC中点， BD AC， ……………………5分
则以D为坐标原点，DB,DA,DC 所在直线为 x, y, z1 轴，可建
立如图所示空间直角坐标系，则
D 0,0,0 ,B 3,0,0 ,C 0, 1,0 ,C1 0,0, 3 ,E 1 0, ,
3 ,
2 2
3 1 B1 3,1, 3 , A1 0,2, 3 F , , 3
2 2
DB 3,0,0 ,DE 0, 1 3 , , DF
3 1
, , 3 , ……………………6分
2 2 2 2
设平面 BDE的一个法向量为m x, y, z
DB
m 0 3x 0
，即 1 3 不妨取 z 1，则 y 3，则m 0, 3,1
DE m 0 y z 0 2 2
平面 BDE的一个法向量为m 0, 3,1 ……………………7分
3
m DF 3
点到 F 到平面 BDE的距离为 d 3 3 2 ……………………8分
m 2 4
（3） C1B1 3,1,0 ,CA1 0,3, 3
设 F x, y, z ,C1F C1B1 0＜ ＜1 ，则 x, y, z 3 3 , ,0 ，
x 3 , y , z 3, F 3 , , 3 , DF 3 , , 3 ；……………………9分
由（2）知： A1C 平面 BDE 平面 BDE的一个法向量m 0, 3,1
设平面 FBD的法向量 n a,b,c ，
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{#{QQABaYQQogAAAgBAARhCAQWCCkKQkAECCKgGwEAAsAABCAFABAA=}#}
DB n 3a 0
则 ，令b 3，则 a 0,c , n 0, 3, ；
DF n 3 a b 3c 0
m n 3
cos m,n 1 3
2
， …………………………10分
m n 2 3 2 2 3
2
1 t 2 1 1
3 t 2,3 3 t, cos m,n 令 ，则 2 12 6t t 2 2 12 6 ；
t 2
1
t
1 1 , 1 , 12 6 1
2 1
,1 cos m,n
1 , 3 ，
t 3 2 t t 3 2 2
1 3
即锐二面角 F BD E的余弦值的取值范围为 , . …………………………12分
2 2
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{#{QQABaYQQogAAAgBAARhCAQWCCkKQkAECCKgGwEAAsAABCAFABAA=}#}2023年湖北省高二9月起点考试
高二数学试卷
考试时间：2023年09月07日下车15：00-17：00
战卷满分：150分
注意事项：
1,答题前，先将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑。写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效：
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效、
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求)
1、己知集合M={2,-1,0,12,N={x2-x-6≥0}，则M∩=（)
A.{2,-1,0,1}B.{0,12}C.{2}
D.{2}
2、已知复数2=22，则z-2=(）】
A.-i
B.i
0
D.1
3.已知a=log23,b=log12,c=201则()
A.a>b>c
B.b>a>cC.e>bxa
D.a>c>b
4.在四面体OABC中OA=a,OB=i,OC=c点M在0A上，且OM=2M4,N为BC
中点，则MW=()
A.1a-2+8
B.-2a+15,1-
=a+-b+二G
232
322
c+-
22
5.从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张
卡片上的数字之积是5的倍数的概率为()
2
B.
C.3
6.
已知向量4，b是平面以的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，
则“c,a=0且.c,b=0”是“1⊥a”的()
A.充分不必要条件
B,必要不充分条件
C.充要条件
D,既不充分也不必要条件
湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第1页
7已知8e0号}am0+)=-3m8则m8cas2a
3
A.
B.-3
C.3
5
D.
8.四名同学各擲骰子3歌·分别记录每次般子出现的点数根据四名同学的统计结果，可
以判断出一定没有出现点数6的是()
A,平均数为3，中位数为2、
B.中位数为3，众数为2
C.平均数为2，方差为2.4
D.中位数为3，方差为2.8
三、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，)
9.案短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村
生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推
进了“新时代乡村振兴”。从平台的所有主播中，随机选取300人避行调查，其中青年
人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分
比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有(
100%
70%
回女
60%
男
口青年人
60%
■中年龙
30%
凹其他人群
青年人中年人其他人群
图1
图2
A。该平台女性主播占比的估计值为0.4
B.从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的播是中年男
性的概率为0.7
C.按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，
若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D.从所调查的青年人主播中，随机选取一位做为幸运主播，是女性的概率为0.6
10.已知不同直线a,b,不同平面，B,y,下列说法正确的是(
A.若aca,bcc,a∥B,b1∥B,则ai5
B.若a∥b,a∥，b丈c,则b∥
C.若a⊥y,B⊥Y,a∩B=a,则a⊥Y
D,若x∩B=4,4⊥b,bCB,则⊥.B
11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用4表示黄色骰子朝上的点数，b表示白色骰子朝
上的点数，用（α，b)表示一次试验的结果，该试验的样本空间为2，事件A=“关于x
的方程2x2-2(a+bx+5(a+b)=0无实根”，事件B=“a=4”,事件C=“b<4”,
事件D=“ab>20”则()
A,A与B互开
B,A与D对立
C.B与C相互独立
D.B与D相互独立
湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第2页
