成都市青羊区名校2023-2024学年高二上学期入学考试
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知向量，，则
A. 0 B. 1 C. D. 2
2.若复数满足：，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是
A． B． C． D．
4.在三棱锥中，,则该三棱锥的外接球的表面积为
B. C. D.
5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如右图所示，若将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则
A． B． C． D．
6.已知的内角的对边分别为，若，，则
A. 6 B. 5 C.4 D. 3
7.在△ABC中，AB＝3，AC＝5，M是边BC的中点，O为△ABC的外心，则
A．8 B． C．16 D．17
8.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为，P为空间内一定点，过点P作与平面α，β所成的角都是的直线，则这样的直线有且仅有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若,则 D．若，则
10.已知的内角的对边分别为则下列说法正确的是
A．若，则有一个解 B．若，则有两个解
C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形
11.若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量，若向量
，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，
设则
A． B． C． D．
12.如图，已知在长方体中,，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是
A．当点在棱上的移动时，恒有
B．在棱上总存在点，使得平面
C．四棱锥的体积为定值
D．四边形的周长的最小值是
第II卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13.=_____________.
14.水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的面积为 .
15.正四棱锥中，,为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 .
16.如图所示，四个村庄,其中在同一直线上, 的距离是8千米,在处观察所成的视角为，从到修一条笔直的公路并延伸，则到该公路的最大距离为 千米.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）（1）已知，，求的值；
（2）证明： .
18.（本小题满分12分）如图,在中,,
为的中点,与交于点. 设，.
（1）试用表示；（2）求.
19．（本小题满分12分）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，，求周长的取值范围.
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面⊥平面， ，为的中点，点在棱上．
(1) 若,求三棱锥的体积；
(2) 在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，，点为的中点，与交于点，将沿折起，使点到点的位置，且，如图2.
（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角.
图1 图2
22．（本小题满分12分）如图，在中，,的角平分线交于，.
（1）求的取值范围；
（2）已知面积为1，当线段最短时，求实数.成都市青羊区名校2023-2024学年高二上学期入学考试
数学试卷 答案版
（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知向量，，则
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】B.
【解析】由题意，， ，因此，故选B.
2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A.
【解析】由题意，，故选A.
3．在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】在选项D中， ，因此与共面，故选D.
4.在三棱锥中，,则该三棱锥外接球的表面积为
B. C. D.
【答案】B.
【解析】由题意，两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就是三棱锥的外接球，，表面积，故选B.
5. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如下图所示，若将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin
【答案】C.
【解析】 由图象可知，，解得；由振幅可知；将代入可得，因此，，故选C.
6.已知的内角的对边分别为，若，，则
A. 6 B. 5 C.4 D. 3
【答案】A.
【解析】 由得：；又因为，所以，故，化简得，故选A.
7.在△ABC中，AB＝3，AC＝5，M是边BC的中点，O为△ABC的外心，则=
A．8 B． C．16 D．17
【答案】B.
【解析】由题意，,故选B.
8．已知平面与所成锐二面角的平面角为，P为空间内一定点，过点P且与平面，所成的角都是的直线，则这样的直线有且仅有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C.
【解析】设过点P与平面与垂直的直线为，故直线所成角为，又因为直线与平面，所成的角都是，故直线与直线所成角为，故这样的直线有3条，即选C.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD.
【解析】对于A，当时，或，故A错误；对于C,当时，或，故C错误，综上选BD.
10．已知的内角所对的边分别为则下列说法正确的是
A．若，则有一个解 B． 若，则有两个解
C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形
【答案】ABD.
【解析】对于A，由正弦定理，，因此，有唯一解，故A正确；
对于B，由正弦定理，，所以或，有两解，故B正确；
对于C，或，或，因此为等腰或直角三角形，故C错误；
对于D，当为钝角时，为钝角三角形，当为直角时，不满足条件，当为锐角时，，，因此，，因此为钝角三角形，故D正确.综上选ABD.
11．若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量， 若向量 ，则规定有序数对 为向量在坐标系中的坐标.设则
A． B． C． D．
【答案】BCD.
【解析】对于A，，故A错误；对于B，由平面向量共线定理，故B正确；对于C，，故C正确；对于D,，故D正确.
综上选BCD.
12．如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是
A．当点为棱上的移动时，恒有
B．在棱上总存在点，使得平面
C．四棱锥的体积为定值
D．四边形的周长的最小值是
【答案】ACD.
【解析】对于A，当点为棱上的移动时，,由于,故A正确；对于B，当点在时，,故B错误；
对于C, ,由于为定值，故C正确；
对于D, ．四边形为平行四边形，故四边形的周长为,在平面内，以为边做正方形，其中，则D正确。综上选ACD.
第II卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．=_____________.
【答案】.
【解析】 原式 ，故答案为.
14．水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的面积为 .
【答案】
【解析】由的面积为，故的面积为,故答案为.
15. 正四棱锥中，,为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】设为棱的中点,故,故异面直线所成角为或，由于,故答案为.
16.如图所示，四个村庄,其中在同一直线上，的距离为8千米,在处观察所成的视角为，从到修一条笔直的公路并延伸，则到该公路的最大距离为 千米.
【答案】8 .
【解析】设由得，，又由得，，所以,故，又因为，所以，故当时，取得最大值8，故答案为8.
三、解答题
17. （1）已知，，求的值.
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）略.
【解析】
（1），
而，，可知，代入求得.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5分
（2）
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………10分
18.如图，在中，，为中点， 与交于点. 设，.
（1）试用表示；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，，.………………2分
由于三点共线，所以，………………………………………………………………………………………5分
，所以.………………………………………………………………………………6分（2），………………………………8分
，………………………………………………10分
，……………………………………………11分
所以.……………………………………………………………………………12分
19.已知函数 .
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1） 由题意，，………………………………2分
令，解得，
因此的单调递增区间为.………………………………………………………………5分
(2) 由，可得，;…………………………………………………………6分
设三个内角所对的边为，由正弦定理得,……………………………………7分
，……………………………………………………………………8分
周长，…………………………10分
由于，故，………………………………………………………………………………………………11分
故，因此.………………………………………………………………………………………12分
20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面⊥平面，，为的中点，点在棱上．
(1) 若,求三棱锥的体积;
(2) 在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）证明：由于 ,所以
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………2分
又因为,所以,
即，…………………………………………………………………………………………………………………………………………………3分
由于，故,……………………………………………………………………………4分
又因为为的中点，所以,………………………………………………………5分
又因为平面⊥平面，所以⊥平面，即故,所以三棱锥的体积为 ；…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………6分
（2）存在，，即为的中点，下证明：……………………………………………………………………7分
当为的中点，取的中点,连接,因为为的中点，所以,
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………9分
又因为,故
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………10分
又因为,所以故………………………………………………………11分
综上，当时，平面.…………………………………………………………………………………………12分
21．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，，点为的中点，与交于点，将沿折起，使点到点的位置，且，如图2.
（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角.
【答案】（1）略；（2）.
【解析】（1）证明：由于 ，，，点为的中点，故 ………………………………………………………………………………………………………………2分
所以，……………………………………………………………………………………………………………………3分
所以在图2中， ,所以，……………………………………4分
又因为,所以面面；………………………………………………………………………………………5分
（2）由（1）知，面,故，……………………………………………………………………………………6分
因为,所以,……………7分
又因为所以，即,
又因为,所以,……………………………………………………………8分
又因为,所以,…………………………………………………………………………………………………9分
故为二面角的平面角，……………………………………………………………………………………………10分
又因为,所以,………………………………………………………11分
故二面角的平面角为.………………………………………………………………………………………………………12分
22.如图，在中， ，的角平分线交BC于D，.
（1）求的取值范围.
（2）已知面积为1，当线段最短时，求实数.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设
由角平分线定理，，.…………………………………………………………………………………………2分
由余弦定理，，…………………………………3分
，…………………………………………………………4分
所以，
化简得.…………………………………………………………………………………………………………5分
因为，故.…………………………………………………………………………………………………6分
（2）由题意，，因此，………………………………………7分
由余弦定理，，……………………………………………8分
故，……………………………………………………………10分
当且仅当时，取得最小值3，此时.………………………………………………………11分
由（1）知，此时.……………………………………………………………………………………………………12分
