对 顶 角
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图所示,直线AB,CD相交于O,所形成的∠1,∠2,∠3,∠4中,下列四种分类不同于其他三个的是 ( )
A.∠1和∠2 B.∠2和∠3
C.∠3和∠4 D.∠2和∠4
2.如图已知∠1+∠3=180°,则图中和∠1互补的角有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,直线AB与CD相交于O点,∠1=∠2.若∠AOE=140°,则∠AOC的度数为 ( )
A.40° B.60° C.80° D.100°
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,当剪子口∠AOB增大15°时,∠COD增大________度,其根据是______________.
5.如图,直线AB,CD,EF相交于同一点O,且∠BOC=∠AOC,∠DOF=∠AOD,那么
∠FOC=______度.
6.如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,∠1∶∠2=2∶3,∠AOC=50°,则∠2的度数是________.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,有两堵墙,要测量地面上所形成的∠AOB的度数,但人又不能进入围墙,只能站在墙外.如何运用本章知识进行测量?
8.(8分)如图所示,直线AB,CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE,若
∠AOC=28°,求∠EOF的度数.
【拓展延伸】
9.(10分)观察下列图形,寻找对顶角(不含平角):
(1)两条直线相交(如图(1)),图中共有______对对顶角.
(2)三条直线相交于一点(如图 (2)),图中共有________对对顶角.
(3)四条直线相交于一点(如图(3)),图中共有________对对顶角.
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.
(5)若有2014条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.
答案解析
1.【解析】选D.选项A,B,C中的两个角都是相邻且互补关系;选项D中的两角是对顶角.
2.【解析】选D.根据相加等于180°的两角称作互为补角,即两角互补.可知∠1的补角有它的两个邻补角∠5和∠7;另外∠1+∠3=180°,根据对顶角相等可知,∠3=∠4,所以∠1+∠4=180°,即∠3和∠4也都是∠1的补角,所以和∠1互补的角有4个.
3.【解析】选C.因为∠AOE+∠2=180°,∠AOE=140°,所以∠2=180°-∠AOE =
180°-140°=40°.因为∠1=∠2,所以∠BOD=2∠2=80°.又因为∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD=80°.
【归纳整合】对顶角的三个用途
(1)利用对顶角的定义来辨析:识别两个角是否为对顶角,一要看这两个角是否由两条直线相交得到的,二要看这两个角是不是有公共顶点而没有公共边.只有同时满足这两个条件时,才能断定这两个角是对顶角.
(2)利用对顶角的性质来计算:两条直线交于一点,一定会出现对顶角、平角与互补的角,解题中要充分利用它们的性质,搭起已知角与未知角之间的桥梁.
(3)利用对顶角的性质来说理:今后经常利用对顶角的性质、角平分线的性质及互余、互补的性质等进行说理.
4.【解析】因为∠AOB与∠COD是对顶角,∠AOB与∠COD始终相等,所以∠AOB变化,∠COD也发生同样变化.故当剪子口∠AOB增大15°时,∠COD也增大15°.
答案：15 对顶角相等
5.【解析】因为∠BOC+∠AOC=180°,
∠BOC=∠AOC,
所以∠AOC+∠AOC=180°,
所以∠AOC=108°,所以∠BOC=72°,
所以∠AOD =∠BOC =72°,
所以∠DOF=∠AOD=24°,
所以∠FOC=180°-∠DOF=156°.
答案：156
6.【解析】因为∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠BOD=∠AOC=50°.
又∠1∶∠2=2∶3,设∠1=2x,∠2=3x,则
2x+3x=50°,所以x=10°.故∠2=3x=30°.
答案：30°
7.【解析】如图,延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD,测出∠COD的度数,由∠AOB=∠COD,即得∠AOB的度数.
8.【解析】因为∠BOD=∠DOE,所以∠DOE=∠BOE,同理∠EOF=∠AOE,
所以∠DOF=∠DOE+∠EOF
=∠BOE+∠AOE
=(∠BOE+∠AOE)=×180°=90°.
又∠BOD和∠AOC是对顶角,
所以∠BOD=∠AOC=28°,所以∠EOF=90°-28°=62°.
9.【解析】图(1)中有两条直线,共有2对对顶角,而2=2×1;图(2)中有三条直线,共有6对对顶角,而6=3×2;图(3)中有四条直线,共有12对对顶角,而12=4×3;……当有n条直线相交于一点时,共有n(n-1)对对顶角;若有2014条直线相交于一点,则可构成2014×2013=4054182对对顶角.
答案：(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n-1)
(5)4054182
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垂 线
(30分钟 50分)
一、选择题 (每小题4分,共12分)
1.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是 ( )
A.相等 B.互余
C.互补 D.互为对顶角
2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是 ( )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
3.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,
∠BOD的度数是 ( )
A.60° B.120°
C.60°或90° D.60°或120°
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=________度,∠3=
________度.
5.如图所示,AO⊥OB于点O,∠AOB∶∠BOC=3∶2,则∠AOC=________度.
6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的取值范围是________.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示).
8.(8分)如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由.
【拓展延伸】
9.(10分)一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.
(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?在图上标出来.
(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大?哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大?
答案解析
1.【解析】选B.因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.又因为∠1+∠2+∠BOD=180°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余.
2.【解析】选A.当P和C重合时,AP=3;当P和C不重合时,AP>3.根据垂线段最短,可知AP的长不可小于3.
【变式训练】点P为直线l外一点,点A,B,C为直线l上三点,PA=4cm,PB=5cm,
PC=2cm,则点P到直线l的距离为( )
A.4cm B.2cm
C.小于2cm D.不大于2cm
【解析】选D.由题意知,PC
3.【解析】选D.①如图1,当OC,OD在AB的同一侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°,所以∠AOD=
60°,所以∠BOD=
180°-∠AOD=120°.
4.【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=30°.
答案：60 30
5.【解析】因为AO⊥OB,所以∠AOB=90°.
又因为∠AOB∶∠BOC=3∶2,所以∠BOC=60°,
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.
答案：150
6.【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12cm,所以BD<12cm.
又因为DE⊥BC,所以BD>DE.
因为DE=9cm,所以BD>9cm,
所以9cm答案： 9cm7.【解析】因为OA⊥OB于O,
所以∠AOC+∠BOC=90°.
因为∠AOC=∠α,
所以∠BOC=90°-∠α.
又因为OC⊥OD于O,所以∠COD=90°.
因为∠BOD=∠COD+∠BOC,
所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.
8.【解析】AB>BC>CD.
理由是:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>BC.所以AB>BC>CD.
9.【解析】(1)如图,作MC⊥AB于点C,ND⊥AB于点D,根据垂线段最短,所以在点C处对M学校的影响最大,在点D处对N学校的影响最大.
(2)由A向点C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大;由点C向点D行驶时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.
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同位角、内错角、同旁内角
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是
( )
A.同位角 B.内错角
C.对顶角 D.同旁内角
2.如图,下列说法正确的是 ( )
A.∠1和∠4是同位角
B.∠1和∠4是内错角
C.∠1和∠A是内错角
D.∠3和∠4是同位角
3.如图,与∠α构成同旁内角的角有 ( )
A.1个 B.2个 C.4个 D.5个
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,________是∠1和∠6的同位角,________是∠1和∠6的内错角,________是∠6的同旁内角.
5.如图,在∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠B,∠D,∠ACE中,与∠D是同位角的是________;∠2与∠4是________被________所截得的________角.
6.如图,三角形ABC中共有________对同旁内角,四边形ABCD中共有________对同旁内角,五边形ABCDE中共有________对同旁内角.
三、解答题(共26分)
7.(8分)写出图中数字表示的角哪些是同位角?哪些是内错角?哪些是同旁内角?
8.(8分)如图,直线a,b被直线c所截,已知∠1=∠5,那么∠3与∠7的关系如何?请说明理由.
【拓展延伸】
9.(10分)如图,在平面中画一条直线,使得与∠A成同旁内角的角有3个,你能画出一条直线,使得与∠A成同旁内角的角最多吗?最多有几个?
答案解析
1.【解析】选B.角在被截线的内部,又在截线的两侧,符合内错角的定义.
【变式训练】如图,若直线MN与△ABC的边AB,AC分别交于点E,F,则图中的内错角有 ( )
A.2对 B.4对 C.6对 D.8对
【解析】选C.根据内错角定义,先找出两直线被第三条直线所截:MN,BC被AB所截得的∠MEB与∠ABC;被AC所截得的∠NFC与∠C;AC,MN被AB所截得的∠A与∠AEM;MN,AB被AC所截得∠A与∠AFN;AB,AC被MN所截得∠AEF与∠CFE,∠AFE与∠BEF.因此图中的内错角有6对.
2.【解析】选A.∠1和∠4是直线AB,CE被直线BC所截得的同位角.
3.【解析】选D.如图,图中所标识的5个角都与∠α构成同旁内角.
4.【解析】∠3是∠1和∠6的同位角;∠5是∠1和∠6的内错角;∠4是∠6的同旁内角.
答案：∠3 ∠5 ∠4
5.【解析】与∠D是同位角的是∠5,∠ACE,∠2与∠4是直线AD,BC被直线AC所截得的内错角.
答案：∠5,∠ACE 直线AD,BC 直线AC 内错
6.【解析】在三角形ABC中,∠A与∠B,∠B与∠C,∠C与∠A均为同旁内角,故共有3对.同理四边形ABCD,五边形ABCDE中共有4对和5对同旁内角.
答案：3 4 5
7.【解析】同位角有∠1和∠3,∠5和∠6,内错角有∠2和∠4,∠1和∠6,同旁内角有∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠4,∠3和∠5.
8.【解析】∠3=∠7.
因为∠1=∠3,∠5=∠7(对顶角相等),
又因为∠1=∠5(已知),
所以∠3=∠7(等量代换).
9.【解析】如图(1),与∠A成同旁内角的角都有3个.
如图(2),与∠A成同旁内角的角最多,最多有4个.
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平 行 线
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.同一平面内不相交的两线段必平行
B.同一平面内不相交的两射线必平行
C.同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行
D.同一平面内不重合也不相交的两条直线必平行
2.下列说法中,错误的有 ( )
①a与c相交,b与c相交,则a与b相交;
②若a∥b,b∥c,则a∥c;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
3.如图,AB∥CD,EF∥AB,AE∥MN,BF∥MN,则图中互相平行的直线共有 ( )
A.4组 B.5组 C.6组 D.7组
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在下面的方格纸中,找出互相平行的线段,并用符号表示出来:______________.
5.平面上,不重合的四条直线,其中只有两条互相平行,它们可能产生交点的个数为________.
6.在同一平面内,直线l1与l2满足下列条件,写出其对应的位置关系:
(1)l1与l2没有公共点,则l1与l2________.
(2)l1与l2有且只有一个公共点,则l1与l2________.
(3)l1与l2有两个公共点,则l1与l2________.
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知,如图,∠AOB及其两边上的点C, D,过点C作CE∥OB,过点D作DF∥OA,CE,DF交于点P.
8.(9分)如图所示,AD∥BC,E为AB的中点,
(1)过E作EF∥BC交CD于F.
(2)EF与AD平行吗?说明理由.
(3)通过度量比较DF与CF的大小.
【拓展延伸】
9.(9分)如图,点P是线段AB的中点,经过点P画BC的平行线交CA于点Q,再经过点Q画AB的平行线交BC于点S.
(1)用刻度尺度量AQ与QC,CS与BS的长度,写出它们之间的数量关系.
(2)用刻度尺度量线段PQ与BC,QS与AB的长度,你发现了什么?用简明的语言把你发现的规律叙述出来.
答案解析
1.【解析】选D.同一平面内两条射线或线段不相交,但它们所在的直线可能相交,故A,B,C不正确.
2.【解析】选A.只有②正确;①中a与c相交,b与c相交,则a与b可能相交,也可能平行,故①错误;③中过一点应为过直线外一点,④中“垂直”属于“相交”.
3.【解析】选C.平行的直线有AB∥CD,AB∥EF,CD∥EF,AE∥MN,AE∥BF,MN∥BF,共6组.
4.【解析】根据平行线的画法进行验证可知CD∥MN,GH∥PN.
答案：CD∥MN,GH∥PN
5.【解析】如图(1),当另两条直线交点不在平行线上时,有5个交点;如图(2),当另两条直线交点在平行线上时,有3个交点.
答案：5个或3个
6.【解析】在同一平面内,l1与l2没有公共点,则l1与l2平行;l1与l2有且只有一个公共点,则l1与l2相交;l1与l2有两个公共点,则l1与l2重合.
答案：(1)平行 (2)相交 (3)重合
7.【解析】如图所示
直线CE为所求,CE∥OB.
直线DF为所求,DF∥OA.
CE,DF交于点P.
8.【解析】(1)如图,EF即为所求.
(2)EF与AD平行.
理由:因为AD∥BC(已知),又因为EF∥BC(已作),
所以AD∥EF(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行).
(3)进行度量可知DF=CF.
9.【解析】所画的平行线如图所示:
(1)经度量得到
AQ=QC,CS=BS.
(2)经度量得到PQ=BC,
QS=AB.
经过三角形一边的中点,画另一边的平行线,则平分第三边.
三角形两边中点之间线段的长度等于第三边长度的一半.
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平行线的判定
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,能判定EB∥AC的条件是 ( )
A.∠C=∠ABE B.∠A=∠EBD
C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE
2.如图,能使AB∥CD的条件是 ( )
A.∠B=∠D B.∠D+∠B=90°
C.∠B+∠D+∠E=180° D.∠B+∠D=∠E
3.如图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB,AC,AE,ED,EC,DB中,相互平行的线段有 ( )
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
二、填空题 (每小题4分,共12分)
4.(2012·南宁中考)如图所示,用直尺和三角尺作直线AB,CD,从图中可知,直线AB与直线CD的位置关系为____________.
5.如图,请填写一个你认为恰当的条件____________,使AB∥CD.
6.如图,DF平分∠CDE,∠CDF=55°,∠C=70°,则________∥________.
三、解答题(共26分)
7.(9分)如图所示,已知∠DAB=∠DCB,AF平分∠DAB,
CE平分∠DCB,∠FCE=∠CEB.试说明AF∥CE.
解:∵AF平分∠DAB,
∴________=∠DAB( ).
∵CE平分∠DCB,
∴∠FCE=________( ).
∵∠DAB=∠DCB( ),
∴∠FAE=∠FCE.
∵∠FCE=∠CEB.
∴________=________.
∴AF∥CE(__________________).
8.(8分)如图,∠BAF=46°,∠ACE=136°,CE⊥CD,问CD∥AB吗?为什么?
【拓展延伸】
9.(9分)直线AB和CD被直线MN所截.
(1)EG平分∠BEF,FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角),则∠1与∠2满足什么条件时,AB∥CD?
(2)当EG平分∠MEB,FH平分∠DFE时(平分的是一对同位角),∠1与∠2满足什么条件时,AB∥CD?
(3)当EG平分∠AEF,FH平分∠DFE(平分的是一对内错角),∠1与∠2满足什么条件时,AB∥CD?
答案解析
1.【解析】选D.若∠A=∠ABE,则EB∥AC(内错角相等,两直线平行).
2.【解析】选D.
如图,过点E作∠BEF=∠B,∴AB∥EF,
若∠B+∠D=∠BED,
即∠B+∠D=∠BEF+∠DEF,
又∵∠BEF=∠B,∴∠DEF=∠D,
∴CD∥EF,∴AB∥CD.
3.【解析】选B.由题意可知∠B=∠DCE,∠BCA=∠CAE,∠ACE=∠DEC,于是分别可以得到AB∥EC(同位角相等,两直线平行),AE∥DB(内错角相等,两直线平行),AC∥DE(内错角相等,两直线平行).因此,互相平行的线段有:AE∥DB,AB∥EC,AC∥DE,共三组.
4.【解析】根据题意,∠DEF与∠BGF是三角尺的同一个角不同的位置,所以∠DEF=∠BGF,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
答案：平行
5.【解析】根据同位角相等,两直线平行,可以添加∠FCD=∠FAB;根据内错角相等,两直线平行,可以添加∠CDA=∠DAB;根据同旁内角互补,两直线平行,可以添加∠BAC+∠ACD=180°.
答案：∠FCD=∠FAB或∠CDA=∠DAB或∠BAC+∠ACD=180°(填一个即可)
6.【解析】∵∠CDF=55°,
DF平分∠CDE,
∴∠EDF=55°,∴∠ADE=70°,
∴∠ADE=∠C,∴BC∥DE.
答案：BC DE
7.答案：∠FAE 角平分线定义 ∠DCB 角平分线定义 已知 ∠FAE ∠CEB 同位角相等,两直线平行
8.【解析】CD∥AB.
∵∠BAF+∠BAC=180°,
∠BAF=46°(已知),
∴∠BAC=180°-∠BAF=180°-46°=134°.
∵CE⊥CD(已知),∴∠DCE=90°(垂直的性质).
又∵∠FCD+∠DCE+∠ACE=360°,
∴∠FCD=360°-∠DCE-∠ACE
=360°-90°-136°=134°,
∴∠BAC=∠FCD(等量代换),
∴CD∥AB(内错角相等,两直线平行).
9.【解析】(1)当∠1与∠2互余时,AB∥CD.
理由为:∵EG平分∠BEF,FH平分∠DFE,
∴∠BEF=2∠1,∠DFE=2∠2,
当∠1+∠2=90°时,∠BEF+∠DFE=180°,
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
(2)当∠1=∠2时,AB∥CD.
理由为:EG平分∠MEB,FH平分∠DFE.
∴∠MEB=2∠1,∠DFE=2∠2,
当∠1=∠2时,∠MEB=∠DFE,
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
(3)当∠1=∠2时,AB∥CD.
理由为:∵EG平分∠AEF,FH平分∠DFE,
∴∠AEF=2∠1,∠DFE=2∠2.
当∠1=∠2时,∠AEF=∠DFE.
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
【归纳整合】平行线的判定技巧
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,或内错角相等,或同旁内角互补,那么两条被截直线互相平行.
2.“垂直于同一直线的两条直线互相平行”是由平行线的判定方法推导得来的,利用垂直的特点可以推出同位角相等或内错角相等且都等于90°,或者由同旁内角的和为180°,继而可得两直线平行的位置关系.
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平行线的性质
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2012·恩施中考)如图,AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,EG平分∠BEF,交CD于点G,∠1=50°,则∠2等于 ( )
A.50° B.60° C.65° D.90°
2.(2012·临沂中考)如图,AB∥CD,DB⊥BC,∠1=40°,则∠2的度数是 ( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
3.如图,若∠DAC=∠ECA,∠ADB=35°,B在CE上,则∠DBE= ( )
A.35° B.135°
C.145° D.大小不能确定
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,∠1=∠2,∠3=110°,则∠4=__________度.
5.(2012·长沙中考)如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=________度.
6.珠江流域某江段江水流向经过B,C,D三点拐弯后与原来相同,如图,若
∠ABC=120°,∠BCD=80°,则∠CDE=____________度.
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知:如图AB∥CD,EF交AB于G,交CD于F,FH平分∠EFD,交AB于H,∠AGE=50°,求∠BHF的度数.
8.(9分)已知,如图所示,∠BAE+∠AED=180°,∠M=∠N.试说明∠1=∠2.
【拓展延伸】
9.(9分)如图,AB∥CD.完成填空,探索各图中标有数字的角之间存在的关系,并把发现的规律用符号语言表示.
(1)∠1=∠2.(2)∠1+____=____.(3)____+____=∠2+____.(4)____+____+____=
____+____.…
(2013)____+____+…+____=____+____+…+____.
答案解析
1.【解析】选C.∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠1=180°,∠2=∠BEG.
∵∠1=50°,∴∠BEF=130°.
∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠BEF=65°,
∴∠2=∠BEG=65°.
2.【解析】选B.如图,∵DB⊥BC,
∠1=40°,∴∠3=180°-90°-∠1=180°-90°-40°=50°.
∵AB∥CD,∴∠2=∠3=50°.
3.【解析】选C.∵∠DAC=∠ECA,∴AD∥CE,∴∠DBC=∠ADB.∵∠ADB=35°,B在CE上,∴∠DBC=35°,∴∠DBE=145°.
4.【解析】∵∠2=∠5,∠1=∠2,∴∠1=∠5,∴l1∥l2,
∴∠3=∠6,∠3=110°,∴∠6=110°.
∵∠4+∠6=180°,∴∠4=180°-110°=70°.
答案：70
5.【解析】∵AB∥CD∥EF,
∴∠BAC+∠ACD=180°,∠DCE+∠CEF=180°,
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°.
答案：360
6.【解析】如图,过点C作CF∥AB,
∴∠BCF+∠ABC=180°,
∴∠BCF=60°,∴∠DCF=20°.
由题意得AB∥DE,∴CF∥DE,
∴∠CDE=∠DCF=20°.
答案：20
7.【解析】∵AB∥CD,∴∠BHF+∠HFD=180°,
∠CFG=∠AGE=50°,∴∠GFD=130°.
又FH平分∠EFD,∴∠HFD=∠EFD=65°,
∴∠BHF=180°-∠HFD=115°.
8.【解析】∵∠BAE+∠AED=180°(已知),∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠BAE=∠AEC(两直线平行,内错角相等).
又∵∠M=∠N(已知),∴AN∥ME(内错角相等,两直线平行),
∴∠NAE=∠MEA(两直线平行,内错角相等),
∴∠BAE-∠NAE=∠AEC-∠MEA(等式性质),
即∠1=∠2.
【归纳整合】
1.由平行线的性质可知,如果两直线平行,那么同位角的平分线互相平行;内错角的平分线互相平行;同旁内角的平分线互相垂直.
2.判断两个角相等关系的依据有互余角的性质;互补角的性质;对顶角的性质及平行线的性质等.
3.如果同位角相等,那么必定有内错角相等,同旁内角互补,这三者之间可以互相转化;如果三者之中有其一不成立,那么另外两个结论均不成立.
9.【解析】分别过折点作AB(或CD)的平行线,根据平行线的性质从中发现规律,奇数角之和等于偶数角之和.
(2)∠1+∠3=∠2,
(3)∠1+∠3=∠2+∠4,
(4)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4
…
(2013)∠1+∠3+…+∠2013
=∠2+∠4+…+∠2014.
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