丰城县中 2023-2024 学年上学期高二年级入学考试试卷
创新班数学
本试卷总分值为 150分 考试时长为 120 分钟
考试范围：必修一、必修二、选择性必修一
一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分)
2
1．已知集合 A = 0,1,2,3 ，B = x x = n 1,n A ，P = A B ，则 P 的子集共有（ ）
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．64 个
2．实验测得六组成对数据 ( x, y )的值为 (4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68)，
由此可得 y 与 x 之间的回归方程为 y = 4x+b，则可预测当 x =10时，y的值为（ ）
A．67 B．66 C．65 D．64
1 2
1 1
3．已知a = log ,b = 23 ,c = ，则a,b,c的大小关系为（ ） 2
3 3
A．a b c B． a c b C．b
5 π
4．已知函数 f (x) = cos x +1，若将 y = f (x)的图像向右平移m (m 0)个单位长度后
2 4
图象关于 y 轴对称，则实数m的最小值为（ ）
π 3π 7π 11π
A． B． C． D．
10 10 10 10
5．临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的 5 位同学每人写一张祝福卡片放在一
起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有 3 位同
学摸到自己写的祝福卡片的概率为（ ）
11 16 11 5
A． B． C． D．
120 91 76 43
n
2 5rn
6．在 3x + x 3 的二项展开式中， rC 3n r x 3 称为二项展开式的第 r +1项，其中 r=0，1，2，n
n
2
3，……，n．下列关于 3 3x + x 的命题中，不正确的一项是（ ）
14
A．若 n = 8，则二项展开式中系数最大的项是 2C8 3
6 x 3
3
5
B．已知 x 0，若n = 9，则二项展开式中第 2项不大于第 3项的实数 x的取值范围是 4 0 x
3
4 4
C．若n =10，则二项展开式中的常数项是C103
D．若n = 27，则二项展开式中 x的幂指数是负数的项一共有 12 项
7．已知动点P1 ( x1, cos x1 )，P2 (x2 , cos x2 )，O 为坐标原点，则当 1 x1 x2 1时，下列说法
正确的是（ ）
A． OP1 有最小值 1 B． OP1 有最小值，且最小值小于 1
C．OP1 OP2 0恒成立 D．存在 x1， x2 使得OP1 OP2 2
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8．2022 年 12 月 4 日 20 点 10 分，神舟十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神
舟十四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内
设置了两个固定拍摄机位 A, B和一个移动拍摄机位C .根据当时气候与地理特征，点C 在拋
1
: y = x2物线 （直线 y = 0 与地平线重合， y 轴垂直于水平面.单位：十米，下同.C 的横坐
36
标 xC 6 2 ）上，A 的坐标为 ( 36, 2) .设D (0, 2)，线段 AC ，DC 分别交 于点M ，N ，
B 在线段MN 上.则两固定机位A ， B 的距离为（ ）
A．360m B．340m C．320m D．270m
二、多选题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分)
9．某种疾病在某地区人群中发病率为 0.1%.现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，
但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为 0.02，患病人群检测为阴性
的概率为 0.05.设事件 A=“某人不患该病”，B=“该人被检出阳性”，则（ ）
A．P (B | A) = 0.98 B．P (B) = 0.999
C．该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为 0.999
D．某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为 0.045
10．在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知sin A= sin BsinC ，则下列说法
正确的是（ ）
b2 + c2 a2 1 2 sin B sin C 4
A． tan A = B． S
2
ABC = a C． + 有最大值 D．a bc
2a2 2 sin C sin B 5
11．已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1, AA1 = 4 3，底面 ABCD是边长为 4 的菱形，且
BAD =120 ，点E, F,G, H 分别为 A1B1, A1D1,DD1,BC的中点．以 A1为球心作半径为 R 的球，
下列说法正确的是（ ）
25
A．点E, F,G, H 四点共面 B．直线 BE 与直线 AF 所成角的余弦值为
26
C．当球与直四棱柱的五个面有交线时， R 的范围是 (2 3,4)
D．在直四棱柱内，球 A1外放置一个小球，当小球的体积最大时，球 A1半径的最大值为 31 3
2 2
12．已知曲线C ： ( x 1) + ( y 1) = 2，则（ ）
A．C 上两点间距离的最大值为2 2 B．若点P (a,a)在C 内部，则 2 a 2
C．若C 与直线 y = x+m有公共点，则 4 m 4
2 2 2
D．若C 与圆 x + y = r (r 0)有公共点，则1 r 2 2
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分)
13．已知复数 z 满足 zi2023 =1+ i，其中 i 是虚数单位，则 z = __________．
π π
14．已知sin + sin + =1，则cos + 2 =______．
3 3
15．A、B、C、D、E 五人按顺时针方向围成一圈玩传球游戏，要求每次只能传给不与自己
相邻的人．游戏开始时，球在 A 手里，则经过 5 次传球，传到 D 手中，不同的传球方案共
有__________种．
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x2 x +1, x 0
16．已知曲线C : y = ，点 P ，Q是曲线C 上任意两个不同点，若 POQ ，则
x2 +1, x 0
称 P ，Q两点心有灵犀，若 P ，Q始终心有灵犀，则 的最小值 0的正切值
tan 0 =__________．
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分 10分）已知函数 f (x) = loga (x 1)+ 2（a 0，且a 1）的图象过定点 P .
(1)求 P 的坐标；
(2)若 f ( x)在 2, 4 上的图象始终在直线 y = x+8的下方，求a的取值范围.
18．（本小题满分 12分）已知 ABC的内角 A, B,C的对边分别为a,b,c,a = 2 ，
1 2
bcsinA = (csinC +bsinB asinA) .
2 2
(1)求A ；
(2)求 ABC面积的最大值.
19．（本小题满分 12 分）如图， ABCD是一个边长为8m的有部分腐蚀的正方形铁皮，其中
腐蚀部分是一个半径为 6m的扇形 AMN ，其他部分完好可利用.铁匠师傅想在未被腐蚀部分
截下一个长方形铁皮PRCQ（ P 是圆弧上的一点），以用于制作其他物品.
(1)当长方形铁皮PRCQ为正方形时，求此时它的面积；
(2)求长方形铁皮PRCQ的面积S 的最大值.
20．（本小题满分 12 分）为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会
在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自 2018 年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书
活动”.下表是对 2018 年以来近 5 年该村少年儿童的年借阅量的数据统计：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 x 1 2 3 4 5
年借阅量 y （册） y1 y2 36 92 142
5
（参考数据： yi = 290）
i=1
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(1)在所统计的 5 个年借阅量中任选 2 个，记其中低于平均值的个数为 X ，求 X 的分布列和
数学期望E (X )；
(2)通过分析散点图的特征后，计划分别用① y = 35x 47和② y = 5x2 +m两种模型作为年借
阅量 y 关于年份代码 x的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型②的经验回归方程，
并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.
21．（本小题满分 12分）在如图所示的圆锥中，已知 P 为圆锥的顶点，O为底面的圆心，其
1
母线长为 6，边长为3 3的等边 ABC内接于圆锥底面，OD = OP且 ,1 .
2
(1)证明：平面DBC ⊥平面DAO；
(2)若 E 为 AB 中点，射线OE 与底面圆周交于点M ，当二面角
5
A DB C 的余弦值为 时，求点M 到平面BCD的距离.
19
x2 y2
22．（本小题满分 12分）如图，椭圆 + =1（a>b>0）的左焦点为 F，过点 F 的直线交
a2 b2
椭圆于 A、B 两点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60°.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴、
y 轴分别交于 D、E 两点.记△GDF 的面积为S1 ，
S1
△OED（O 坐标原点）的面积为 S2 .求 的取值范围. S2
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{#{QQABbYSQogAIAAJAABgCAQ3SCAGQkBACCAgGRFAIMAABiBFABAA=}#}丰城县中 2023-2024 学年上学期高二创新班入学考试数学答案
1．D 2．B 3．B 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B
9．AD 10．BC 11．ABD 12．BC
1
13． 2 14． 15．10 16．2
3
17．【详解】（1）令 x = 2 ，则 f (2) = loga1+ 2 = 2，所以 P 的坐标为 (2, 2) .
（2）当 x = 2时， y = 6，当 x = 4 时， y = 4 .
当a 1时， f ( x)在 2, 4 上单调递增，则 f (4) = loga 3+ 2 4，得a 3 .
当 0 a 1时， f ( x)在 2, 4 上单调递减， f (4) = loga 3+ 2 4恒成立.
故a的取值范围为 (0,1) ( 3,+ ) .
1 2
18．【详解】（1）因为 bcsinA = (csinC +bsinB asinA)，
2 2
1 2
由正弦定理得 abc = (b2 + c2 a2 )，
2 2
根据余弦定理可知b2 +c2 a2 = 2bccosA，
1
所以 abc = 2bccosA，
2
1 π
又a = 2 ，得cosA = ，因为 A (0,π)，所以 A = .
2 3
π 2 2 π
（2）因为 A = ，a = 2 ，由余弦定理2 = b + c 2bccos ，
3 3
即2 = b2 + c2 bc，
由于b2 +c2 2bc，所以2 = b2 +c2 bc 2bc bc = bc，
即bc 2（当且仅当b = c时取等号），
1 π 1 π 3
所以 S （当且仅当b = c时取等号）， ABC = bcsin 2sin =
2 3 2 3 2
3
所以b = c = 2 时 ABC的面积最大，最大值为 .
2
π
19．【详解】（1）连接 AP ，设 PAD = 0 ，延长QP交 AD 于 E，
2
π π
当长方形铁皮PRCQ为正方形时，显然 = ，此时RD = PE = PAsin = 3 2 ，
4 4
2
所以 S = CR = (8 3 2)
2 = 82 48 2 (cm2 )；
（2）由（1）设，得PE = PAsin = 6sin , AE = PAcos = 6cos
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所以 S = PR PQ = (8 6cos )(8 6sin ) = 64 48(sin + cos )+36sin cos ，
π
其中，0 ，
2
t2 1
令 t = sin +cos ，则sin cos = ，
2
2 2
所以 S = 64 48t +18(t 1) =18t 48t + 46，
π π
因为0 ，所以 t = 2 sin + [1, 2]，
2 4
2
4
所以 S =18 t +14, t [1, 2]，
3
2
所以当 t =1时，得 Smax =16(cm )，
2
即长方形铁皮PRCQ的面积S 的最大值为16(cm ) .
290
20．【详解】（1）由题知，5 年的借阅量的平均数为： = 58，又
5
y1 + y2 = 290 36 92 142 = 20，则 y1, y2 58
CkC2 k3 2
所以低于平均值的有 3 个，所以 X 服从超几何分布，P (X = k ) = , k = 0,1,22 ( )， C5
C0C2 C11 C
1 6 3 C2C0 3
所以P (X = 0) = 3 2 = ，P(X =1) = 3 2 = = ，P (X = 2) = 3 2 = ，
C2 10 C2 C
2
5 10 5 5 105
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
1 3 3
10 5 10
1 3 3 6
所以E (X ) = 0 +1 + 2 = ；
10 5 10 5
i=1
12 + 22 +32 + 42 + 52 y（2）因为 i 290=11, 5 = = 58
5 5 5
所以58 = 5 11+m，即m = 3 .
所以模型②的经验回归方程为： y = 5x2 +3
根据模型①的经验回归方程可得： y 1 = 12, y 2 = 23, y 3 = 58, y 4 = 93, y 5 =128
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根据模型②的经验回归方程可得： y 1 =8, y 2 = 23, y3 = 48, y 4 =83, y5 =128
因为
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( y1 +12) + ( y2 23) + (36 58) + (92 93) + (142 128) ( y1 8) + ( y2 23) + (36 48) + (92 83) + (142 128)
2 2
= ( y1 +12) ( y
2 2 2 2
1 8) + 22 12 +1 9 = 40y1 +340，且 y1 0
所以模型①的残差平方和大于模型②的残差平方和，
所以模型②的拟合效果更好.
21．【详解】（1）因为 P 为圆锥的顶点，O为底面的圆心，所以PO ⊥面 ABC .
又因为BC 面 ABC，所以PO ⊥ BC，即DO ⊥ BC .
因为O为 ABC外接圆圆心，且 ABC为正三角形，所以OA⊥ BC .
又因为OA OD =O且OA，OD 面 AOD，所以BC ⊥面 AOD，
因为BC 面BCD，所以面DBC ⊥面DAO .
（2）作OG∥BC交 AB 于G ，取BC中点为F .
因为OA⊥ BC，OG∥BC，所以OF ⊥OG .
因为OD⊥面 ABC，OG，OF 面 ABC，所以OD ⊥OG，OD⊥OF .
如图，以点O为坐标原点，OG，OF ，OD所在的直线分别为 x， y ， z 轴建立空间直角坐
标系O xyz .
因为PA = 6， AB = 3 3，所以 AO = 3，PO = 3 3，
3 3 3 3 3 3
所以O (0,0,0)， A(0, 3,0)，B , ,0 C , ,0 P 0,0,3 3 2 2
， ， ( ) .
2 2
由OD = OP，得D (
3 3 9
0,0,3 3 )， AB = , ,0 ， AD = (0,3,3 3 )，
2 2
3 3 3
BC = ( 3 3,0,0)，DB = , , 3 3 .
2 2
3 3 9
m AB = x1 + y1 = 0
设面 ABD的法向量为m = (x1, y1, z1)，则 2 2 ，
m AD = 3y1 +3 3 z1 = 0
取 y1 = 3 ，则 z1 = 1， x = 3 ，所以m = ( 3 , 3 , 11 ) .
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n BC = 3 3x2 = 0
设面BCD的法向量为n = (x2, y2, z2 )，则 3 3 3 ,
n DB = x2 + y2 3 3 z2 = 0
2 2
取 y = 6 3 ，则 z2 = 3， x2 = 02 ，所以n = (0,6 3 ,3) .
m n 18 2 3 5 1
由 cos m,n = = = ，且 ,1 ，
m n 9 2 +3 2 +1 108 2 +9 19 2
2
解得 = ，所以D (0,0,2 3)，n = (0,4 3,3) .
3
3 3 3 3 3 3
又因为M , ,0 ，所以DM = , , 2 3 ，
2 2 2 2
所以M 到面BCD的距离
3
DM n 4 3 +3 ( 2 3)2 12 3 12 19
d = = = = .
n 57 57 19
22．【详解】（1）依题意，当直线 AB 经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为 60°.设F ( c,0)，
b c 1
则 = tan60 = 3 .将b = 3c 代入a2 = b2 +c2，得a = 2c .所以椭圆的离心率e = = .
c a 2
x2 y2
（2）由（1）知，椭圆方程可设为 + =1，设 A(x , y )， B ( x , y ) .依题意，直线 AB
4c2 3c2
1 1 2 2
不能与 x、y 轴垂直，故设直线 AB 的方程为 y = k (x + c)，将其代入3x2 +4y2 =12c2 ，整理
(4k 2 +3) x2 +8ck 2x + 4k 2c2 12c2得 = 0 .
8ck 2 6ck 4ck
2 3ck
则 x + x = , y + y = .所以G ,1 2 2 1 2 2 . 4k +3 4k 2 +3 4k +3 4k
2 +3
3ck
2
4k 2 +3 ck
因为GD ⊥ AB，所以 k = 1, x =2 D 2 .因为 GFD∽ OED， 4ck 4k +3
x
2 D4k +3
4ck 2 ck 2
2
3ck
2
2 +2 2 2
S GD 4k + 3 4k
2 +3 4k
2 + 3 (3ck ) + (3ck ) 9c21 k 4 +9c2k 2 9
所以 = = = = = 9+ 92 2 2 2 4 2 . S2 OD ck 2 (ck 2 ) c k k
4k
2 +3
S1
所以 的取值范围是 (9,+ ) .
S2
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