且末县第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试
数学试卷
考试时长：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M={x|x -1≤0},N={x|x<0},则M∩N=
A. {x|x≤-1} B. {x|x<0} C. {x|-1≤x<0} D. {x|02. 已知复数则
A. 2 B. 4 C.8 D. 16
3. 已知某设备的使用年限x(年)与年维护费用y(千元)的对应数据如下表：
x 2 4 5 6 8
y 3 4.5 6.5 7.5 9
由所给数据分析可知：x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为 y=1.05x+ ，则 =
A. 0.75 B. 0.85 C. 0.95 D. 1.05
4. 若函数 为奇函数，则m=
A. -1 B. 0 C. 1 D. ±1
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A. B. C. D.
6. 设抛物线C:x =2py的焦点为 F, M(x,4)在C上, |MF|=5, 则C的方程为
A. x =4y B. x =-4y C. x =-2y D. x =2y
7. 已知 则cos(2α+2β)=
A. 1 D. -1
8. 记Sn为等比数列的前n项和，且 成等差数列，则.S =
A. 256 B. 254 C. 128 D. 126
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 一组样本数据11, 19, 15, 16, 19, 则这组数据的
A. 众数是19 B. 平均数是16
C. 中位数是15 D. 方差是44
10. 已知 的展开式的各二项式系数的和为256.则
A. n=8 B. 展开式中 x 的系数为-448
C. 展开式中常数项为16 D. 展开式中所有项的系数和为1
11.正四棱锥P-ABCD的底面边长是4，侧棱长为 则
A. 正四棱锥P-ABCD的体积为 B. 侧棱与底面所成角为π/3
C. 其外接球的半径为 D.其内切球的半径为
12. 已知函数 则
A. x=2是f(x)的极大值点
B. y=f(x)-x有且只有1个零点
C. 存在正实数k, 使得f(x)>kx对于任意x∈(0,+∞)成立
D. 若 f(x )=f(x ),x ≠x ,则. x +x >4
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知向量，满足，，则______．
14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
15. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
16. 已知函数，如图A，B是直线与
曲线的两个交点，若，则______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 记的内角的对边分别为，
(1)求A的大小;
(2)若a=1, B=45°,求△ABC的面积.
18. 已知数列中，a =1,a =2, 数列 是公差为1的等差数列.
（1）求的通项公式；
(2)若 求数列{b }的前n项和T .
19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
对照组
实验组
（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
参考数据：
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
20. 在长方体ABCD-A B C D 中,AB=BB =2, BC=4,AB 与A B交于点E,点F 为BC中点.
(1)求证: AE⊥平面A BC;
(2)求平面AEF与平面AA C的夹角的余弦值.
21. 已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
22. 已知 函数.
(1)求证: f(x)≥-4x+4;
(2)若β为f(x)的极值点. 点(β,f(β))在圆. 上. 求a.参考答案：
1-4 C B B C 5-8 C A C D
9．AB 10．ABD 11．BCD 12．BD
13． 3 14． 28
1 1 3
15． 2 （2, 2, , 中任意一个皆可以） 16．
2 2 2
17．(10 分)
18．（12 分）
答案第 1页，共 5页
{#{QQABCYwUgggAABAAABhCAQlQCkGQkAECCIgGREAAoAIBCQFABAA=}#}
19．（12 分）
（1）依题意， X 的可能取值为0,1, 2，
C0 C2 1 1 2 019 C C 20 C C 19
则 P(X = 0) = 20 20 = ，P(X =1) = 20 20 = ， P(X = 2) = 20 20 =2 C2
，
C 78 40 3940 C
2
40 78
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
19 20 19
P
78 39 78
19 20 19
故 E(X ) = 0 +1 + 2 =1 .
78 39 78
（2）（i）依题意，可知这 40 只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，
从小到大排后第 20 位与第 21 位数据的平均数，
观察数据可得第 20 位为 23.2 ，第 21 位数据为 23.6 ，
23.2+ 23.6
所以m = = 23.4，
2
故列联表为：
m m 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
40 (6 6 14 14)2
（ii）由（i）可得，K 2 = = 6.400 3.841，
20 20 20 20
所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
20．（12 分）
答案第 2页，共 5页
{#{QQABCYwUgggAABAAABhCAQlQCkGQkAECCIgGREAAoAIBCQFABAA=}#}
21．（12 分）
x2 y2
（1）设双曲线方程为 =1(a 0,b 0)，由焦点坐标可知 c = 2 5 ，
a2 b2
c
则由 e = = 5 可得 a = 2，b = c2 a2 = 4，
a
x2 y2
双曲线方程为 =1 .
4 16
（2）由(1)可得 A1 ( 2,0) , A2 (2,0)，设M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 )，
1 1
显然直线的斜率不为 0，所以设直线MN 的方程为 x = my 4，且 m ，
2 2
x2 y2 2 2
与 =1联立可得 (4m 1) y 32my + 48 = 0，且 = 64(4m2 + 3) 0 ，
4 16
32m 48
则 y1 + y2 = , y2 1y2 = ， 4m 1 4m2 1
答案第 3页，共 5页
{#{QQABCYwUgggAABAAABhCAQlQCkGQkAECCIgGREAAoAIBCQFABAA=}#}
y1 yMA 2直线 1 的方程为 y = (x + 2)，直线 NA y = x 22的方程为 ( )，
x1 + 2 x2 2
联立直线MA1 与直线 NA2的方程可得：
x + 2 y2 (x1 + 2) y2 (my1 2) my1y2 2( y1 + y2 )+ 2y1
= = =
x 2 y1 (x2 2) y1 (my2 6) my1y2 6y1
48 32m 16m
m 2 + 2y + 2y
4m2 2
1 1
1 4m 1 4m2 1 1= = = ，
48 48m 3
m 6y1 6y1
4m2 1 4m2 1
x + 2 1
由 = 可得 x= 1，即 xP = 1，
x 2 3
据此可得点 P 在定直线 x= 1上运动.
22．（12 分）
答案第 4页，共 5页
{#{QQABCYwUgggAABAAABhCAQlQCkGQkAECCIgGREAAoAIBCQFABAA=}#}
答案第 5页，共 5页
{#{QQABCYwUgggAABAAABhCAQlQCkGQkAECCIgGREAAoAIBCQFABAA=}#}
