4.3 角 同步练习（含解析） 2022-2023学年上学期广东省各地七年级数学期末试题选编

4.3 角
一、单选题
1．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，若射线的方向是北偏东，，则射线的方向是（ ）.
A．南偏东 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏西
2．（2022秋·广东揭阳·七年级统考期末）如图，下列说法中不正确的是（　　）
A．与是同一个角 B．与是同一个角
C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，，
3．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，点A在点O的北偏西60°方向，射线OB与射线OA所成的角是108°，则射线OB的方向是（ ）
A．北偏西42° B．北偏西48° C．北偏东42° D．北偏东48°
4．（2022秋·广东汕头·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．一个平角就是一条直线；
B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离；
C．两条射线组成的图形叫做角；
D．两点之间线段最短．
5．（2022秋·广东佛山·七年级统考期末）关于角的描述错误的是（　　）
A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC可以用∠O表示
C．∠AOC＝∠AOB+∠BOC D．∠β表示∠BOC
6．（2022秋·广东珠海·七年级统考期末）如图，的大小可由昰角器测得，则的大小为（　　）

A． B． C． D．
7．（2022秋·广东深圳·七年级统考期末）如图，点是直线外一点，连接、，若点是直线上一动点，则下列说法正确的是（　　）
A．点在射线上
B．
C．连接，
D．连接，若，则平分
8．（2022春·广东揭阳·七年级统考期末）若，则的余角的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点，则（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022秋·广东揭阳·七年级统考期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为 ．
11．（2022秋·广东阳江·七年级统考期末）如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东方向，则的度数是 ．
12．（2022秋·广东河源·七年级统考期末）下午时，时钟上分针与时针的夹角是 度．
13．（2022秋·广东潮州·七年级统考期末）若小明从A处沿北偏东方向行走至点B处，又从B处沿东偏南方向行走至点C处，则 ．
14．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）计算的结果为 ．
15．（2022秋·广东汕头·七年级统考期末）已知，则的余角的补角是 ．
16．（2022秋·广东江门·七年级统考期末）一个角的度数为，则它的余角的度数为 ．
17．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）一个角的补角是其余角的4倍，则这个角为 °．
18．（2022秋·广东深圳·七年级统考期末）龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线的垂足O处，并使两条直角边落在直线上，若将绕着点O顺时针旋转一个小于的角得到，射线是的角平分线且满足，则 ．
三、解答题
19．（2022秋·广东珠海·七年级统考期末）已知是直线上的一点，是直角，平分．

(1)在图1中，若，求的度数；
(2)在图1中，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，且保持射线在直线上方，在整个旋转过程中，当的度数是多少时，？
20．（2022秋·广东汕头·七年级统考期末）已知：如图，，是的平分线，是的平分线．求的大小．
21．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如果，，那么是多少度？
(2)如果，，那么是多少度？
22．（2022秋·广东云浮·七年级统考期末）如图①，O是直线上的一点，是直角，平分．
(1)若时，则的度数为__________；
(2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系：__________．
23．（2022秋·广东惠州·七年级统考期末）如图，为的平分线，是的平分线．
(1)如果，，那么为多少度？
(2)如果，，那么为多少度？
(3)如果，，则______°，如果，则______．
24．（2022秋·广东江门·七年级统考期末）已知点O是直线上的一点，，是的平分线．
(1)如图1，当点C、D、E在直线AB的同侧时，若，求出和的度数，并指出和之间的倍数关系；
(2)如图2，当点C与点D、E在直线的两侧时，若，请问（1）中和的倍数关系是否仍成立？请说明理由．
25．（2022秋·广东茂名·七年级统考期末）如图，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．
26．（2022秋·广东汕头·七年级统考期末）已知正方形的每个角都等于，请解决下列问题：
(1)如图1所示，将两个正方形的一个顶点重合放置，若，则_______度．
(2)如图2所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若，，求的度数．
(3)如图3所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若平分，则平分吗？为什么？
27．（2022秋·广东深圳·七年级统考期末）某节数学课后，小明同学在完成数学作业时，碰到了如下问题，请你跟小明一起来完成吧．
(1)比较图中与的大小：___________；（填“>”“＜“”或“=”）
(2)利用量角器画一个角，使得（点不在射线上）；
(3)利用能够画直角的工具（如直角三角板）画一个角，使得与共顶点，且．（保留画图痕迹）
28．（2022秋·广东广州·七年级统考期末）如图，为直线上一点，将两个直角三角板的顶点叠合在处，其中一个直角三角板的另一顶点也叠合在直线上的点处．
(1)在如图的位置，若射线是的平分线，试判断射线是否为的平分线？并说明理由；
(2)在如图的位置，若，求的大小；
(3)将直角三角板绕点逆时针方向旋转，旋转角度不超过度，在旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由．
29．（2022秋·广东汕头·七年级统考期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在O处，射线OC平分∠MOB．
(1)如图（1），若∠AOM=30°，求∠CON的度数；
(2)在图（1）中，若∠AOM=，直接写出∠CON的度数（用含的代数式表示）；
(3)将图（1）中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图（2）的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
参考答案：
1．A
【分析】根据方位角定义得到，再利用补角关系求出即可．
【详解】解：∵射线的方向是北偏东，
∴，
∵，
∴
∴射线的方向是南偏东，
故选：A．
【点睛】此题考查了方位角的表示及计算，正确理解方位角的表示方法及补角的定义进行计算是解题的关键．
2．C
【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时，这个角才可以用一个顶点字母来表示，由此可得结论．
【详解】解：A、∠1与表示的是同一个角，故A说法正确，不符合题意；
B、与是同一个角，故B说法正确，不符合题意；
C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C说法错误，符合题意；
D、由图可知，图中共有三个角：，，，故D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．
3．D
【分析】根据射线OB与射线OA所成的角是108°，可得∠AOB的度数，再根据角的和差，可得答案．
【详解】解：∵射线OB与射线OA所成的角是108°，
∴∠AOB=108°，
∵点A在点O的北偏西60°，
∴射线OA与正北方向所成的角是60°，
∴射线OB与正北方向所成的角是108°-60°=48°，
∴射线OB的方向是北偏东48°．
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角．解题的关键是掌握方向角的表示方法：北偏东或北偏西，南偏东或南偏西．
4．D
【分析】根据平角、两点间的距离、角的定义和两点之间线段最短逐项进行解答即可得．
【详解】A．平角的两条边在一条直线上，故本选项错误，不符合题意；
B．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故此选项错误，不符合题意；
C．有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误，不符合题意；
D．两点之间线段最短，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平角、两点间的距离、角的概念以及直线公理的内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．有公共端点是两条射线组成的图形叫做角、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离．
5．B
【分析】根据角的概念及角的表示方法即可求出答案．
【详解】解：A．与表示同一个角，故选项正确，不符合题意．
B．由于顶点O处，共有3个角，所以不可以用来表示，故选项错误，符合题意．
C．由图可知，故选项正确，不符合题意．
D．由图可知与表示同一个角，故选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查角的概念及角的表示方法，解题的关键是正确理解角的表示方法，本题属于基础题型．
6．B
【分析】根据量角器，得到，再进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查角度的计算．熟练掌握量角器的使用方法，确定的大小，是解题的关键．
7．D
【分析】根据点是直线上一动点，分类讨论，逐项判断，即可得出答案．
【详解】解：A.当点在点的右侧时，点在射线上，故A选项错误，不符合题意；
B.当点在点的右侧时，，故B选项错误，不符合题意；
C.当点在点的左侧时，，此时不一定成立，故C选项错误，不符合题意；
D.连接，若，根据角平分线的定义，可得平分，故D选项正确，符合题意．
【点睛】本题主要考查了直线、射线的相关知识，角平分线的定义，邻补角，解题的关键是利用分类思想、数形结合思想、举反例来解决相关问题．
8．A
【分析】根据余角的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴它的余角．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角的知识，解题的关键是熟记互为余角的两个角的和等于．
9．B
【分析】延长至点，得是平角，根据三角尺中两个直角的关系即可求解．
【详解】解：如图所示，延长至点，得是平角，

∵，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查角的和差倍分，掌握角与角的数量关系是解题的关键．
10．/141度
【分析】首先根据题意可得，再根据题意可得，然后再根据角的和差关系可得答案．
【详解】∵在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，
∴，
∴，
∵轮船B在南偏东的方向，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了方向角，关键是掌握方向角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
11．
【分析】根据方位角得出，，然后根据平角为求出结果即可．
【详解】解：∵轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了方位角的有关计算，解题的关键是根据题意得出，．
12．75
【分析】画出草图，利用钟表表盘的特征解答．
【详解】解：如图，
由题意知，3：30，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴下午3：30分针与时针的夹角是
故答案为：75．
【点睛】本题考查了钟面角问题．解题的关键在于明确钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
13．110°/110度
【分析】根据题意可得，，得出，，根据各角之间的数量关系求解即可得．
【详解】解：如图所示：根据题意可得，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查方位角的计算，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
14．/
【分析】先将角度相加，再利用角度的60进制，即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角度的加法运算，解题关键是掌握角度的加法运算法则，同单位相加，即度与度相加、分与分相加、秒与秒相加.秒够60进1分，分够60进1度．
15．
【分析】互余是两个角的和等于，互补是两个角的和等于，由此即可求解．
【详解】解：的余角是，
∴的余角的补角是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查互余、互补的综合，理解并掌握互余、互补的概念，及运算方法是解题的关键．
16．
【分析】根据余角的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵一个角的度数是，
∴它的余角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了余角与角度单位互化的知识；解题的关键是熟练掌握余角的性质，从而完成求解．
17．60
【分析】设这个角的度数为x，根据互为余角的两个角的角度和等于90°，互为补角的两个角的角度和等于180°表示出出这个角的余角与补角，然后列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，则它的余角为，补角为，
根据题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了互为余角与补角的定义，一元一次方程的应用，根据题意表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．
18．或
【分析】分两种情况进行讨论，①当在内部时，②当在内部时，根据角平分线的定义，以及角度之间的和差关系，即可进行解答．
【详解】解：设，
①当在内部时，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，解得：
∴；
②当在内部时，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及角度之间的和差关系．
19．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；
（2）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；
（3）分点在直线上方和下方，两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵是直角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）同法（1）可得：，
即：；
（3）设，则，
∵平分，
∴，
①当点在直线上方时：

，
∵，
∴，
解得：；
②当点在直线下方时：

，
∵，
∴，
解得：；
综上：当的度数是或时，．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的计算．正确的识图，理清角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．
20．
【分析】由角分线的定义得到，，再代入计算即可．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴
．
∴的大小为．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角的有关计算的应用．解题的关键结合图形确定．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线定义求出和的度数即可；
（2）根据角平分线定义求出，由此得到的度数，再根据角平分线定义求出的度数即可．
【详解】（1）解：∵是的平分线，，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
∴；
（2）∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的定义：从角的顶点引出的射线，且将角分成相等的两个小角的射线是角的平分线，正确理解角平分线定义是解题的关键．
22．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度数；
（2）由是直角，平分可得出，则得，从而得出和的度数之间的关系；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
【详解】（1）由已知得，
又是直角，平分，
，
故答案为：；
（2）；
理由：是直角，平分，
，
则得，
所以得：；
（3）；
理由：平分，
，
则得，
所以得：．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的定义、及角的计算，解题的关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．
23．(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，再根据角度之间的关系求出的度数即可；
（2）先根据角平分线的定义，，得出，根据，求出，根据角平分线的定义即可得出答案；
（3）根据角平分线的定义得出，，根据角度之间的关系得出；根据角平分线的定义得出．
【详解】（1）解：∵为的平分线，是的平分线，
∴，，
∴．
（2）解：∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴．
（3）解：∵为的平分线，是的平分线，，，
∴，，
∴；
∵为的平分线，是的平分线，
∴，，
∴
．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．
24．(1)，，是的2倍
(2)，，成立
【分析】（1）直接根据角的加减求出、的度数，再根据是的平分线求出的度数，进而求出的度数，最后相除即可；
（2）先求出的度数，进而求出的度数，再根据是的平分线求出的度数，进而求出的度数，最后相除判断即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
即是的2倍；
（2）解：成立，理由为：
∵，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
即是的2倍，
故和的倍数关系仍成立．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的运算，能够根据题意求出和是解题的关键．
25．(1)的度数为
(2)的度数为
【分析】（1）根据平分得到，根据平分得到，即可得到答案；
（2）根据平分得到，，根据平分得到，结合整体代换即可得到答案．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查角平分线性质：分得两个小角相等等于大角一半，解题的关键是整体代入．
26．(1)
(2)
(3)平分，理由见解析
【分析】（1）根据正方形各角等于，得出，再根据，，即可得出答案；
（2）结合图形可得，再利用即可求出的度数；
（3）根据和等角的余角相等得出，，再根据角平分线的性质得出，从而得出答案．
【详解】（1）解：∵正方形的每个角都等于，
∴，，
∴，
∵，
∴。
故答案为：；
（2）∵正方形的每个角都等于，
∴，
∵，，
∴。
∴的度数为；
（3）平分，理由如下：
∵正方形的每个角都等于，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分。
【点睛】本题考查角的计算，余角，角平分线的性质．根据所给出的图形，找到角与角的关系是解题的关键．
27．(1)>
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）使用量角器分别量的两个角的度数，即可得到答案；
（2）用量角器量出的度数，再以为顶点，为边画出；
（3）利用直角三角板，以为顶点，为边画出直角，再以以为顶点，为边画出直角，同角的余角相等，则．
【详解】（1）解：用量角器量得：，
故答案为：>；
（2）用量角器量出的度数，再以为顶点，为边画出，如图所示：
（3）利用直角三角板，以为顶点，为边画出直角，再以以为顶点，为边画出直角，则，如图所示：
【点睛】本题考查了作图，量角器、直角三角板的使用，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．
28．(1)射线是的平分线；详见解析
(2)
(3)和互补，详见解析
【分析】（1）利用角的和差计算并判断；
（2）利用角的和差计算；
（3）读懂题意，分类讨论不同情况，发现旋转的过程中与之间存在互补的关系．
【详解】（1）解：∵射线是的平分线，
，
，
，
射线是的平分线；
（2）解：，
，
；
的大小为；
（3）解：当在的右侧时，
由图可知，，，
；
当在的左侧时，
由图可知，，
，
，
当在上方时，如图，
由图可知，，，
；
综上可知，和互补．
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，涉及补角的定义，余角的定义，角平分线的定义等相关知识，由图形得到角度之间的和差关系是解题关键．
29．(1)∠CON=15°；
(2)∠CON=a；理由见解析
(3)∠AOM=144°．
【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（3）设∠AOM=a，则∠BOM=180°-a，①根据角平分线的定义得到∠MOC=∠BOM=（180°-α）=90°-α，根据余角的性质得到∠CON=∠MON-∠MOC=90°-（90°-α）=α，于是得到结论；
②由①知∠BON=∠MON-∠BOM=90°-（180°-α）=α-90°，∠AOC=∠AOM+∠MOC=α+90°-α=90°+α，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：由已知得∠BOM=180°-∠AOM=150°，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×150°=15°；
（2）解：∠CON=a；理由如下：
由已知得∠BOM=180°-∠AOM=180°-α，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×（180°-α）=a；
（3）解：设∠AOM=a，则∠BOM=180°-a，
①∠CON=a；，
理由如下：
∵OC平分∠BOM，
∴∠MOC=∠BOM=（180°-α）=90°-α，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-（90°-α）=α，
∴∠CON=∠AOM；即∠CON=a；
②由①知∠BON=∠MON-∠BOM=90°-（180°-α）=α-90°，
∠AOC=∠AOM+∠MOC=α+90°-α=90°+α，
∵∠AOC=3∠BON，
∴90°+α=3（α-90°），
解得α=144°，
∴∠AOM=144°．
【点睛】本题主要考查的是余角与补角，角的计算、角平分线的定义的运用，正确的理解题意是解题的关键．解题时注意方程思想的运用．