常州市重点中学2024届高三上学期期初检测
数学试卷 2023.09
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则等于（▲）
A． B． C． D．
2．已知全集，集合，或，则（▲）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，已知异面直线，的方向向量分别为，，则，所成角的余弦值为（▲）
A． B． C． D．
4．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（▲）
A． B． C． D．
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（▲）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
6．设，已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为，则中的系数为（▲）
A． B． C． D．
7．已知在直角三角形中，，以斜边的中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，为半圆弧上的动点，则的取值范围为（▲）
A． B． C． D．
8．将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（▲）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知一组样本数据，，，为不全相等的个正数，其中，若由生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据的（▲）可能相等．
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差
10． 若正实数，满足，则下列结论正确的有（▲）
A． B． C． D．
11．已知函数，其中，则（▲）
A．不等式对恒成立
B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围为
12．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（▲）
A．的图象关于对称 B．的图象关于点对称
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数则函数的所有零点构成的集合为
▲ ．
14．某校在新学期开设了“遇见”，“数学与生活”，“微积分初步”，“无限的世界”和“数学阅读与写作”门数学类校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明一定选报“遇见”课程，则两位同学不同的选课方案有 ▲ 种.（用数字作答）
15．设随机变量，记，.在研究的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值；若不为正整数，则当且仅当取的整数部分时，取最大值.某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 ▲ 的概率最大．
16．在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分） 已知函数（且）．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（本题满分12分）已知在中，，，，．
（1）求的取值范围；
（2）若线段BE上一点D满足，求的最小值．
19．（本题满分12分）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，且三棱锥的体积为，点满足，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．（本题满分12分）
已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围．
21．（本题满分12分）
某校为了增强学生的安全意识，组织学生参加安全知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分．学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为，且每次答题结果互不影响．
（1）求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；
（2）设学生甲第次答题所得分数的数学期望为．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）直接写出与满足的等量关系式（不必证明）；
（ⅲ）根据（ⅱ）的等量关系求表达式，并求满足的的最小值．
22．（本题满分12分）
已知函数，.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，试证明存在零点（记为），存在极小值点（记为），并比较与的大小关系．数学试卷答案与评分标准 2023.09
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．A 8． D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．
9．BC 10． ABD 11．ACD 12．ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1 e
( , )
13．{0,27} 14．36 15．17 16． e 1 e 1
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为函数 f (x) 为奇函数，所以 f ( x) f (x) 0 对定义域内每一个元素 x恒
成立．即 f ( x) f (x) log x2 (4 a) x log2 (4
x a) x
log [(4x a)(4 x a)] log [1 a(4x 4 x2 2 ) a
2 ] 0，则1 a(4x 4 x ) a2 1，即
a 4x 4 x a 0． ……………………4 分
又因为 a≥0 ，所以 4x 4 x a 0，故 a 0 ． ……………………5 分
2x 2 x 2x
（2）因为 f x log2 ，所以 f ( x) log2 logx x 2
．
4 a 4 a 1 a 4x
1 a 4x 1 a 4x
由 f (x) f ( x) log2 ≤1，得到0 ≤2 ， ……………………6 分
4x a 4x a
1
又 a≥0 ，故只需要1 a 4x ≤ 2 4x 2a，即 a(4x 2)≤2 4x 1对任意 x ( ,1]恒成立．
2
1
因为 x ( ,1]，所以 4x 2 0，
2
2 4x 1 3 1
故 a≤ 2 对任意的 x ( ,1]恒成立． ……………………8 分
4x 2 4x 2 2
数学试卷 第 1 页（共 6 页）
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3 1 3 7 7
因为 y 2 x 在 ( ,1]为减函数，所以
2 ，故 a≤ ．
4 2 2 4x 2 min 2 2
7
综上所述，0≤a≤ ． ……………………10 分
2
18．解：（1）在△ABC 中， A 60 ， AB 2 ， AC 4 ， AE AC(0 1) ，
2 2 2BE AE AB AC AB
2 2
2 AC 2 AC AB AB 16 2 8 4 ． ……………………3 分
1
因为0 1，所以当 时，则 2
4 BE
取最小值3，
当 1时，则 2BE 取最大值12 ，
2
则3≤BE | BE |2 12，因此 | BE |的取值范围为 3,2 3 ； …………………6 分
AB AC
（2）因为 AD ( ) 且 AB 2 ， AC 4 ，所以 AD AB AC．
| AB | | AC | 2 4
又 AE AC，所以 AD AB AE ．
2 4
1 1 1
因为 B，E，D三点共线，所以 1，即 ． …………………9 分
2 4 2 4
1 1 1 1 1 3 1 1因此， ≥ 2 ，当且仅当 即 时等号成立，
4 2 4 2 2 4 2
1 3故 的最小值为 ． …………………12 分
2
19．解：（1）由题设，△BCD为等边三角形，则 AB=2BD=4，
又四边形 ABCD为梯形，AB//DC，则 ABD 60 ，
在△ABD中， AB 4,BD 2，
所以 AD2 AB2 BD2 2AB BD cos ABD，
即 AD2 42 22 2 4 2 cos60 12 ，则 AD 2 3 ， …………………1 分
所以 AD2 BD2 AB2 ，即 AD⊥ BD， …………………2 分
面 PBD⊥面 ABCD，面 PBD∩面 ABCD=BD，AD 面 ABCD，则 AD⊥面 PBD，
数学试卷 第 2 页（共 6 页）
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又 PB 面 PBD，故 PB⊥ AD． …………………4 分
（2）若 O为 BD中点，PB=PD，则 PO⊥ BD，
面 PBD⊥面 ABCD，面 PBD∩面 ABCD=BD， PO 面 PBD，则 PO⊥面 ABCD，
连接 OC，则 OC⊥ BD，且OC 面 ABCD，故 PO OC ，
综上，PO，BD，OC两两垂直，以 O为原点，OB,OC,OP为 x，y，z轴正方向的空间直
角坐标系． …………………6 分
所以 A 1, 2 3,0 ， B 1,0,0 ，C 0, 3,0 ，D 1,0,0 ，
1
由三棱锥 P BCD的体积为 3 ，则 S BCDOP 3 ， 3
1 1 3
即 2 2 OP 3 ，故OP 3． …………………7 分
3 2 2
3
则 P 0,0,3 ，则 F 0, ,2 ，
3
3
所以 BF 1, ,2 ，DB 2,0,0 ，
3
BC 1, 3,0 ，BP 1,0,3 ，
若m x, y, z 是面 BDF 的一个法向量，
3
m BF x y 2z 0
则 3 ，取
y 6，则 z 3 ，则m 0,6, 3 ．…………9 分
m DB 2x 0
若 n x1, y1, z1 是面 PBC的一个法向量，
n BP x1 3z1 0
则 ，取 z1 1，则 x 3, y 3 ，则 n 3, 3,1 ，…………11 分
n BC
1 1
x1 3y1 0
m n 5 3 5
所以 cos m,n ，
m n 39 13 13
5
则锐二面角D BF C的余弦值为 . …………………12 分
13
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20．解：（1）因为 f (x) ax2 ln x (2a 1)x， x 0 ，
1 (2ax 1)(x 1)所以 f (x) 2ax 2a 1 ． ……………………2 分
x x
当 a≤0时， f (x) 0 恒成立，则 f (x) 在 (0, )上单调递减； …………………3 分
1 1
当 a 0时，由 f (x) 0 ，得0 x ，由 f (x) 0，得 x ，
2a 2a
1 1
则 f (x) 在 (0, )上单调递减，在 ( , ) 上单调递增，
2a 2a
综上，当 a≤0时， f (x) 的单调减区间为 (0, )，无单调增区间；
1 1
当 a 0时， f (x) 的单调减区间为 (0, )，单调增区间为 ( , ) ． ………… 5 分
2a 2a
1 1
（2）当 a 0时，由（1）可知 f (x) 在 (0, )上单调递减，在 ( , ) 上单调递增，
2a 2a
1 1 1 1 1
故 f (x) 的最小值为 f ( ) a ( )2 ln (2a 1) ln(2a) 1． ……6 分
2a 2a 2a 2a 4a
e 1 e
因为不等式 f (x) ≥0 对 x (0, ) 恒成立，所以 ln(2a) 1 ≥0 ． ……8 分
2 4a 2
1 e 1 1
设 g(x) ln x 1，则 g (x) 02 恒成立，故 g(x) 在 (0, )上单调递增． 2x 2 x 2x
1 1 e 1 1 1
因为 g( ) 0 ，所以 ln(2a) 1 ≥0 即 g(2a)≥ g( ) ，故 2a≥ ，即 a≥ ．
e 4a 2 e e 2e
1
综上，a的取值范围是[ , )． ……………………12 分
2e
21．解：（1）学生甲前三次答题得分之和为 4 分的概率，即为学生甲前三次答题中仅只答
对一次的概率，设“学生甲前三次答题得分之和为 4 分”为事件 A，
2 2 2
所以 P(A) C1 23 (1 ) . ……………………2 分 3 3 9
（2）（i）学生甲第 1 次答题得 2 分、1 2 1分的概率分别为 , ，
3 3
2 1 5所以 E X1 2 1 . ……………………3 分 3 3 3
2 2 1 2 1
甲第 2 次答题得 4 分、2 分、1 分的概率分别为 , , ，
3 3 3 3 3
2 2 1 2 1 23所以 E X 2 4 2 1 . ……………………4 分 3 3 3 3 3 9
数学试卷 第 4 页（共 6 页）
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2 2 2 1 2 2 1 2 1
甲第 3 次答题得 8 分、4 分、2 分、1 分的概率分别为 , , , ，
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 1 2 2 1 2 1 101所以 E X 3 8 4 2 1 .……………………5 分 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27
4
（ii）由（i）知， E X 2 E X1
1 4 1
， E X 3 E X ， 3 3 3 2 3
当 i≥ 2 时，甲第 i 1次答题所得分数 X i 1 的期望为 E X i 1 ，则第 i次答对题所得分数
2E(X i 1)，答错题所得分数为 1，
2 1
其概率分别为 , ，于是甲第 i 次答题所得分数 X i 的期望为
3 3
2 1 4 1E X i 2E X i 1 1 E X i 1 ， 3 3 3 3
即 E 4 1X *i E X i 1 ,i N ,i≥ 2 . ……………………7 分 3 3
5
（iii）由（i）知 E X1 ，由（ii）知 E X i
4 1 E X i 1 ,i N* ,i≥ 2， 3 3 3
因此 E X i
4
1 [E 8 4X i 1 1] ，即数列 E X i 1 以 为首项， 为公比的等比数列， 3 3 3
i 1 i
8 4 4 则 E X i 1 ，即 E X i 2 1 . ……………………10 分 3 3 3
i i 5 6
E X 10 4 4 11 4 11 4 11由 i ，得 2 1 10，整理得 ，而 , ，
3 3 2
3 2 3 2
因此 i≥6，所以 i的最小值是 6. ……………………12 分
1
22．解：（1）当 a 2时， f x ln x 2x ， f x 的定义域为 0, ．
x
1 1 2x2 x 1 2x 1 x 1
因此， f (x) 2 ． ……………………2 分
x x2 x2 x2
令 f (x) 0 ，解得0 x 1，令 f (x) 0，解得 x 1，所以 f x 在 0,1 上单调递增，在
1, 上单调递减，故 f x 3max ． ……………………4 分
数学试卷 第 5 页（共 6 页）
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2
（2）因为 f x 1 1 1 ax x 1ln x ax ，则 f x a (x 0) ，
x x x2 x2
当 a 1时，则 f x 0，故 f (x) 在 (0, ) 上单调递增，
1 1
又 f (1)
a 1 0， f ln a 0 ，且 f (x) 图象不间断，
a 2
1
所以存在唯一的 x0 ,1 ，使 f x0 0． ……………………6 分
a
1 1
因为 g(x) x ln x (a 1)x (x 0) ，则 g (x) ln x a，
x x2
1
令 h(x) ln x a2
1 2
x 0 ，则 h (x) 0，
x x x3
所以 h(x) 在 (0, ) 上单调递增，即 g (x) 在 (0, ) 上单调递增．
1 1
又 g
(1) a 1 0 ， g ln a 0，且 g (x) 图象不间断，
a 2
1
所以存在m ,1 ，使 g (m) 0，则当0 x m时，g (m) 0；当 x>m时，g (m) 0；
a
所以 g(x) 在 (0,m) 单调递减，在 (m, )上单调递增，
所以m为 g(x) 的极小值点，故 x1 m． ……………………8 分
1 1
由 g (m) 0可得 ln x1 a 0，故 a ln x2 2 1 ， x1 x1
1 1 1
所以 f x1 ln x1 ax1 ln x1 x1( ln x ) (1 x ) ln xx x2 1 x 1 1， 1 1 1
1
又 x1 ,1 ，所以 f x1 1 x1 ln x1 0，
a
又因为 f x0 0，且 f (x) 在 (0, ) 上单调递增，所以 x0 x1 . …………………12 分
数学试卷 第 6 页（共 6 页）
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