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一元二次方程的运用-增长率问题
知识回顾
增减率问题涉及的公式有:
(1)
(2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则.
典例精练
1.据乘用车市场信息联席会（CPCA）数据显示，我国纯电动车发展迅速，2021年8月至10月，纯电动车月批发销量由24.9万辆增加到30.3万辆．设2021年8月至10月纯电动车批发销量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．24.9（1+2x）＝30.3
B．24.9×2（1+x）＝30.3
C．24.9【1+（1+x）+（1+x）2】＝30.3
D．24.9（1+x）2＝30.3
2.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由
3.为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
4.（2023春·广东江门·九年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆．
(1)当售价为万元辆时，求平均每周的销售利润．
(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为万元，每辆汽车的售价定为多少合适？
5.（2023春·四川乐山·九年级统考期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
同步练习
1.某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20
2.某中学连续三年开展植树活动，已知2020年植树500棵，2022年植树720棵，假设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可以列方程为（ ）
A．500（1+x）2＝720
B．500（1+x%）2＝720
C．500（1+2x）＝720
D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
3.我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可得方程（ ）
A．4000（1+x）2=15000
B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
D．4000+4000（1+x）2=15000
4.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________．
6.某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________．
7.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
针对练习
电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
某市客流量已连续两周下降，由每周50万次下降至每周32万次，设平均下降率为，则根据题意列方程是 ．
3.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 ．根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2023春·重庆九龙坡·九年级统考期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值.
5.（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为万元，2022年数字阅读市场规模为万元.
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元
6.（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元？请说明理由．
7.（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润销售价进货价）
(1)水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；
(2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
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一元二次方程的运用-增长率问题
知识回顾
增减率问题涉及的公式有:
(1)
(2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则.
典例精练
1.据乘用车市场信息联席会（CPCA）数据显示，我国纯电动车发展迅速，2021年8月至10月，纯电动车月批发销量由24.9万辆增加到30.3万辆．设2021年8月至10月纯电动车批发销量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．24.9（1+2x）＝30.3
B．24.9×2（1+x）＝30.3
C．24.9【1+（1+x）+（1+x）2】＝30.3
D．24.9（1+x）2＝30.3
【答案】D
【解答】解：依题意得：24.9（1+x）2＝30.3．
故选：D．
2.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由
【解答】解：（1）设进馆人次的月增长率为x，
依题意得：128（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：进馆人次的月平均增长率50%．
（2）学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
∵进馆人次的月平均增长率50%，
∴第四个月的进馆人次为288×（1+50%）＝432（人次）．
∵432＞400，
∴学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次．
3.为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
【答案】
【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设年买书资金的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：年买书资金的平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
4.（2023春·广东江门·九年级期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆．
(1)当售价为万元辆时，求平均每周的销售利润．
(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为万元，每辆汽车的售价定为多少合适？
【答案】(1)平均每周的销售利润是万元
(2)每辆汽车的售价定为万元更合适
【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，即可求出当售价为万元辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润一辆汽车的利润销售数量列式计算；
（2）设每辆汽车降价万元，根据每辆的盈利销售的辆数万元，列方程求出的值，进而得到每辆汽车的售价．
【详解】（1）解：∵当售价为万元辆时，平均每周销量为：（辆，
∴平均每周利润为：（万元），
答：平均每周的销售利润是万元；
（2）解：设每辆汽车的售价是万元，
．
化简，得，
，
解得：，，
由于希望增大销量，定价万元售价更合适，
答：每辆汽车的售价定为万元更合适．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意找准数量关系与等量关系是解题的关键．
5.（2023春·四川乐山·九年级统考期末）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】(1)
(2)5元
【分析】（1）利用平均增长率的等量关系：，列式计算即可；
（2）利用总利润单件利润销售数量，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
同步练习
1.某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．20（1+x）2＝8 B．8（1+x）2＝20 C．20（1﹣x）2＝8 D．8（1﹣x）2＝20
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
20（1﹣x）2＝8，
故选：C．
2.某中学连续三年开展植树活动，已知2020年植树500棵，2022年植树720棵，假设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可以列方程为（ ）
A．500（1+x）2＝720
B．500（1+x%）2＝720
C．500（1+2x）＝720
D．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
【答案】A
【解答】解：根据题意得：500（1+x）2＝720，
故答案为：500（1+x）2＝720．
故选：A．
3.我县某贫围户2016年的家庭年收入为4000元，由于党的扶贫政策的落实，2017、2018年家庭年收入增加到共15000元，设平均每年的增长率为x，可得方程（ ）
A．4000（1+x）2=15000
B．4000+4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
C．4000（1+x）+4000（1+x）2=15000
D．4000+4000（1+x）2=15000
【答案】C
【解答】解：设平均每年的增长率是x，根据题意可得：
4000（1+x）+4000（1+x）2=15000．
故答案为：C
4.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
5.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________．
【答案】
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
6.某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________．
【答案】
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
7.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
针对练习
电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【分析】第一天为2亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为亿元，根据“第三天票房收入约达到4亿元”，即可得出关于的一元二次方程．
【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
某市客流量已连续两周下降，由每周50万次下降至每周32万次，设平均下降率为，则根据题意列方程是 ．
【分析】先表示出第二周客流量下降后的人数，根据两周下降后下降至每周32万次列出方程即可．
【解析】解：第一周客流量下降后为：，
第二周客流量下降后为：，
．
故答案为：．
3.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为 ．根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意列方程得：
．
故答案为：D．
4.（2023春·重庆九龙坡·九年级统考期末）某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元.
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）分别求出国庆节的总利润和国庆节后的总利润，根据国庆节后的总利润比国庆节的总利润多1200元列出方程，求出的值即可
【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：商城每次降价的百分率为．
（2）根据题意得，
整理得，
解得，，或（舍去）
故的值为
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为万元，2022年数字阅读市场规模为万元.
(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)若年平均增长率不变，求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元
【答案】(1)
(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是万元
【分析】（1）设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为，利用2022年该市数字阅读市场规模年该市数字阅读市场规模，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用2023年该市数字阅读市场规模年该市数字阅读市场规模，可预计出2023年该市数字阅读市场规模．
【详解】（1）解：设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为
根据题意得：
解得：，（不符合题意，舍去）
答：2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为
（2）（万元）
∴预计2023年该市数字阅读市场规模是万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
6.（2023春·河北承德·九年级承德市第四中学校考期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的5000元下降到5月份的4050元
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不会，理由见解析
【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为，5月份的房价为，然后根据5月份的4050元即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和3000元进行比较即可作出判断．
【详解】（1）解：设4、5两月平均每月降价的百分率是x，
，（舍）
答：4、5两月平均每月降价的百分率是．
（2）否，理由如下：
∵（元）
，
∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
7.（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润销售价进货价）
(1)水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；
(2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)A中苹果购进10件，B中苹果购进20件
(2)购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元
(3)将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元
【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进件和件，列方程组求解即可．
（2）设购进A种苹果件，利润为元，列出关于的函数关系式讨论最值即可．
（3）设B种苹果降价元销售，根据利润元，列出一元二次方程求出，得到结果．
【详解】（1）解：设A，B两种苹果分别购进件和件，
由题意得：，
解得，
答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．
（2）解：设购进A种苹果件，则购进B种苹果件，
由题意得：，
，
设利润为元，
则，
，
随的增大额增大，
当时，．
故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．
（3）解：设B种苹果降价元销售，则每天多销售件，每天每件利润为元，
由题意得：，
解得，或，
为了尽快减少库存，
，
，
答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．
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