2023-2024学年四川省绵阳市江油市八校联考九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳市江油市八校联考九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为( )
A. B. C. D.
4. ，，，为三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是( )
A. ，，
B. ：：：：
C.
D. ，，为正整数
5. 如图，点、在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
6. 下列有关一次函数的说法中，错误的是( )
A. 的值随着值的增大而减小 B. 函数图象与轴的交点坐标为
C. 当时， D. 函数图象经过第一、二、四象限
7. 如图，在菱形中，，，为的中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8. 在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为尺．将它往前水平推送尺时，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
9. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离单位：与慢车行驶时间单位：的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在边长为的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与边交于点，则的长度为( )
A. B. C. D.
11. 地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，你发现( )
A. 海拔越高，大气压越大
B. 图中曲线是反比例函数的图象
C. 海拔为千米时，大气压约为千帕
D. 图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
12. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：，，，的面积，其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 计算的结果是______．
14. 如图所示的网格是正方形网格，则 ______ 点，，，，是网格线交点．
15. 甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲
乙
某同学分析如表后得到如下结论：甲，乙两班学生平均成绩相同；乙班优秀人数多于甲班优秀人数每分钟跳绳次为优秀；甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是______ ．
16. 在中，，若，，则的长是 ．
17. 如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为，若，，则的面积为________．
18. 如图，在 中，点在上，且平分，若，，则 的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
化简求值：
已知，求代数式的值；
已知，，求的值．
21. 本小题分
如图，在由边长为的小正方形组成的的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
通过计算判断的形状；
在图中确定一个格点，连接、，使四边形为平行四边形，并求出 的面积．
22. 本小题分
图是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高，连杆，灯罩如图，转动、，使得成平角，且灯罩端点离桌面的高度为，求的距离．
23. 本小题分
已知：如图，是的角平分线，过点分别作和的平行线交于点，交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，试求四边形的面积．
24. 本小题分
我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为．
______，______，的小数部分______．
设的小数部分为，则______．
已知：，其中是整数；且，则的相反数是______．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，若点的坐标为，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：被开方数中的因式是整式，因数是整数，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】
解：．，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、与不属于同同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】
【解析】解：将一次函数的图象向左平移个单位后，得到，
把代入，得到：，
解得．
故选：．
根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．
本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、若，，，则为直角三角形，故本选项不合题意；
B、若：：：：，则最大角，不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、若，则为直角三角形，故本选项不合题意；
D、若，，为正整数，则，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意．
故选：．
如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
5.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
故本选项符合题意；
B.四边形是矩形，
，
，
四边形不是矩形，
故本选项不符合题意；
C.四边形是矩形，
不能证明，
不能证明，
故本选项不符合题意；
D.四边形是矩形，
，
，
四边形不是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据对角线互相平分可判断；根据对角线不相等的平行四边形不是矩形可判断，；根据无法证明对角线互相垂直可判断．
本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、，当值增大时，的值随着增大而减小，正确，不合题意；
B、函数图象与轴的交点坐标为，正确，不合题意；
C、当时，，错误，合题意；
D、，，图象经过第一、二、四象限，正确，不合题意；
故选：．
根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点的位置是解此题的关键．首先连接，交于点，连接，则与交于点，此时的值最小，由在菱形中，，，易得是等边三角形，垂直平分，继而可得，则可求得的值，继而求得的最小值．
【解答】
解：连接，交于点，连接，则与交于点，此时的值最小，
在菱形中，，，
，，垂直平分，
是等边三角形，，
为中点，
，，
，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：设绳索有尺长，则
，
解得：．
故绳索长尺．
故选：．
设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
9.【答案】
【解析】解：根据图象可知，慢车的速度为．
对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是，
因此单程所花时间为，故其速度为．
所以对于慢车，与的函数表达式为．
对于快车，与的函数表达式为
联立，可解得交点横坐标为，
联立，可解得交点横坐标为，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是，
故选：．
根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为从而得出快车和慢车对应的与的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．
本题主要考查根据函数图象求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标．解题的关键是利用图象信息得出快车和慢车的速度，进而写出与的关系．
10.【答案】
【解析】解：在边长为的菱形中，，为边上的高，
，由折叠易得为等腰直角三角形，
，
，
，
，
又由折叠的性质知，，
为等腰直角三角形，．
故选C．
由在边长为的菱形中，，为边上的高，可求得的长，由折叠易得为等腰直角三角形，得到，根据平行线的性质得到，又由折叠的性质得到，即可得到结论．
此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，折叠的性质，此题难度不大．
11.【答案】
【解析】【分析】
根据所给图象进行分析，确定答案即可．
【解答】
解：观察图象可知，海拔越高，大气压越低，选项不符合题意；
图象经过点和，两点的横、纵坐标之积不同，说明图中曲线不是反比例函数的图象，选项不符合题意；
海拔为千米时，由图象可知大气压应该是千帕左右，选项不符合题意；
图中曲线表达的是大气压和海拔两个量之间的变化关系，选项符合题意．
故选：．
【点评】
本题考查读图，分析图中的数据，关键要读懂题意，会分析图中数据．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
故正确；
，
，
，
，
故正确；
作于，作交的延长线于，
则，
，
，
，
，
故错误；
的面积，
故错误；
故选：．
根据正方形的性质和平角的定义可求；
根据正方形的性质可求，再根据线段的和差关系可求的长；
作于，作交的延长线于，根据含的直角三角形的性质可求，根据勾股定理可求，，即可求解；
根据三角形面积公式即可求解．
考查了正方形的性质，含的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
按从左往右依次计算，也可以把除法化为乘法计算．
本题考查了二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除法法则和运算顺序是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形、平行线的性质等知识点，能灵活运用勾股定理和勾股定理的逆定理进行计算和推理是解此题的关键．
设小正方形的边长是，连接，根据勾股定理求出、、的长度，求出，，根据勾股定理的逆定理得出，再求出答案即可．
【解答】
解：设小正方形的边长是，连接，
，，，
，，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
．
15.【答案】
【解析】解：从表中可知，平均数都是，正确；
甲班的中位数是，乙班的中位数是，比甲的多，而平均数都要为，说明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况大，所以也正确．
故答案为：．
根据平均数、中位数和方差的意义分别进行分析，即可得出答案．
本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
在中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【解答】
解：在中，，，，
，
即，
解得．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为，
是的垂直平分线，
，
设，
在中，有勾股定理得：，
，
解得：，
即，，
的面积为，
故答案为：．
根据折叠的性质求出，根据勾股定理得出关于的方程，求出，求出，根据面积公式求出即可；
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，能得出关于的方程是解此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，过点作，垂足为，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又平分，即，
，
，
的面积，
故答案为：．
过点作，垂足为，利用直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，含的角直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
先利用二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后化简后合并即可．
20.【答案】解：，
，
，
，
；
，，
，，
．
【解析】根据求出，求出，把变成，再代入求出答案即可；
求出和的值，再通分，根据完全平方公式进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，能正确根据分式和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
21.【答案】解：由题意可得，，
，，
，
即，
是直角三角形．
过点作，过点作，
直线和的交点就是的位置，格点的位置如图，
的面积为：．
【解析】此题考查直角三角形的判定和性质，关键是根据勾股定理以及勾股定理的逆定理解答．
分别计算三边长度，根据勾股定理的逆定理判断；
过点作，过点作，根据平行四边形的面积解答即可．
22.【答案】解：过点作于，如图，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
的距离为．
【解析】过点作于，如图，，，易得四边形为矩形，所以，，则，，然后利用勾股定理计算出．
本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
23.【答案】证明：是的角平分线，
，
，，
四边形是平行四边形，，
，
四边形是菱形；
解：连接，与交于点，
四边形是菱形，
、互相垂直且平分，
根据勾股定理，，
，
四边形的面积．
【解析】由已知易得四边形是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得，，四边形是菱形；
因为菱形的对角线互相垂直平分，可得，根据勾股定理，，菱形的面积．
此题主要考查菱形的判定和性质和面积计算．
24.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
的小数部分为：，
故答案为：，，；
，
，
的整数部分为，
的小数部分为：，
，
，
，
，
，
故答案为：；
，
，
，是整数，且，
，，
，
的相反数为：，
故答案为：．
根据平方运算估算出，的值，即可解答，再根据的整数部分是，即可求出的小数部分；
根据平方运算估算出，的值，即可解答；
利用的结论可得，从而求出，的值，进而求出的值，然后根据相反数的意义，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
25.【答案】解：过作轴于，
轴于点，点的坐标为，
，
点的坐标为，
，，
由勾股定理得，，
，，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，，，
轴，
在中，由勾股定理得：，
点的横坐标是，纵坐标是，
即点的坐标为
【解析】解直角三角形求出和，根据旋转的性质得出，，求出轴，求出，即可求出答案．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出、的长是解此题的关键．
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