2023-2024学年初中数学九年级上册 24.1 一元二次方程 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·南宁期末）一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·南宁期末）已知一元二次方程的一个根是1，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·赵县期末）方程x2=4的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=-2
4．（2023九上·内江期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·陈仓期末）我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元.设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022九上·聊城期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022九上·河东期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．5，4，1 B．5，4，-1 C．5，-4，1 D．5，-4，-1
8．（2022九上·杨村月考）若关于x的一元二次方程的两个根为3，-6，则二次三项式可分解为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023九上·礼泉期末）已知关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，则m的值是 .
10．（2023九上·新邵期末）若m是方程的一个根，则代数式的值等于 .
11．（2018九上·灌南期末）若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为 ．
12．（2018九上·阆中期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为 .
13．（2023九上·广安期末）已知方程有一个根是m，则代数式的值为 .
三、解答题
14．（2022九上·惠阳月考）把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
15．（2022九上·海淀期中）已知是方程的一个根，求代数式的值．
四、综合题
16．（2023九上·赵县期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，
（1）解方程x2+2x-8=0，
（2）方程x2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”
17．（2021九上·南昌期末）已知关于的一元二次方程．其中分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是.
故答案为：.
【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】将x=1代入方程中即可求出b值.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】x2=4
x1=2，x2=-2
故答案为：D
【分析】正数的平方根有两个
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】由题知，是一元一次方程，是分式方程，是二元二次方程，是一元二次方程；
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，未知数项的最高次数是2次，且二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，据此一一判断即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均增长率为x，
根据题意得： ，
故答案为：C.
【分析】设平均增长率为x，则2020年我国快递业务收入为7500(1+x)亿元，2021年我国快递业务收入为7500(1+x)2亿元，然后结合到2021年增加到9000亿元就可列出方程.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①满足概念，是一元二次方程；
②满足概念，是一元二次方程；
③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；
④满足概念，是一元二次方程；
⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；
⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；
一元二次方程有①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：5x2+1=4x可化为5x2-4x+1=0，
它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，-4，1．
故答案为：C．
【分析】先将方程化为一般式，再求出a、b、c的值即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为3，-6，
∴，
即二次三项式可分解为．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的根直接列出代数式即可。
9．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，
∴4-6-m=0
解之：m=-2.
故答案为：-2
【分析】将x=-2代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
10．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2023.
【分析】根据方程根的概念得m2+m=2023，进而将待求式子去括号后整体代入可得答案.
11．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵4a﹣2b+c=0，
∴当x=-2时，ax2+bx+c=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为-2.
故答案为：-2.
【分析】根据4a﹣2b+c=0知ax2+bx+c=0一定有一个根为-2.
12．【答案】12
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2-12x+35=0，解得x=5或x=7
∵x=7时，3+4=7，∴x=7（舍去）
∴x=5
∴三角形的周长为3+4+5=12.
【分析】根据题意，解出方程的两个解，根据三角形的三边关系，得到符合题意的方程的解，计算周长即可。
13．【答案】2018
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵有一个根是m，
∴，即，
∴，
故答案为： .
【分析】根据方程解的概念可得m2-3m=-1，待求式可变形为4(m2-3m)+2022，然后代入计算即可.
14．【答案】解：去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 1，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，16，0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将方程化为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
15．【答案】解：∵是方程的一个根，
∴．
∴．
原式
．
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】先求出 ，再求解即可。
16．【答案】（1）解：方程x2+2x-8=0， 可化为(x+4) (x-2) =0，解得x=-4或2
（2）解：不是；x2+9x+18=0． (答案不唯一)
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）原方程化为：（x+4）（x-2）＝0，
则x+4＝0或x-2＝0，
∴x1＝-4，x2＝2；
（2）解：∵x1＝-4，x2＝2，
∴两个根不满足其中一个根是另一个根的2倍，则该方程不是“倍根方程”，
“倍根方程”可以为x2+9x+18＝0，因为它的两个根是x1＝-3，x2＝-6，满足x2＝2x1．
故答案为：不是；x2+9x+18＝0（答案不唯一）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据所给“倍根方程”的定义判断解答即可．
17．【答案】（1）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x=1代入方程得b-c-2a+c+b=0，
则a=b，
所以△ABC为等腰三角形
（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ=（-2a）2-4（b-c）（b+c）=0，
整理得b2-c2=a2，即b2 =a2+c2，
所以△ABC为直角三角形．
【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 a=b， 再判断三角形即可；
（2）先求出 Δ=0， 再求出 b2 =a2+c2， 最后作答即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 24.1 一元二次方程 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·南宁期末）一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是.
故答案为：.
【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.
2．（2023九上·南宁期末）已知一元二次方程的一个根是1，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】将x=1代入方程中即可求出b值.
3．（2023九上·赵县期末）方程x2=4的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=-2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】x2=4
x1=2，x2=-2
故答案为：D
【分析】正数的平方根有两个
4．（2023九上·内江期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】由题知，是一元一次方程，是分式方程，是二元二次方程，是一元二次方程；
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，未知数项的最高次数是2次，且二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，据此一一判断即可得出答案.
5．（2023九上·陈仓期末）我国快递业务逐年增加，2019年至2021年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元.设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均增长率为x，
根据题意得： ，
故答案为：C.
【分析】设平均增长率为x，则2020年我国快递业务收入为7500(1+x)亿元，2021年我国快递业务收入为7500(1+x)2亿元，然后结合到2021年增加到9000亿元就可列出方程.
6．（2022九上·聊城期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①满足概念，是一元二次方程；
②满足概念，是一元二次方程；
③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；
④满足概念，是一元二次方程；
⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；
⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；
一元二次方程有①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
7．（2022九上·河东期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．5，4，1 B．5，4，-1 C．5，-4，1 D．5，-4，-1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：5x2+1=4x可化为5x2-4x+1=0，
它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，-4，1．
故答案为：C．
【分析】先将方程化为一般式，再求出a、b、c的值即可。
8．（2022九上·杨村月考）若关于x的一元二次方程的两个根为3，-6，则二次三项式可分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为3，-6，
∴，
即二次三项式可分解为．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的根直接列出代数式即可。
二、填空题
9．（2023九上·礼泉期末）已知关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，则m的值是 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，
∴4-6-m=0
解之：m=-2.
故答案为：-2
【分析】将x=-2代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
10．（2023九上·新邵期末）若m是方程的一个根，则代数式的值等于 .
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2023.
【分析】根据方程根的概念得m2+m=2023，进而将待求式子去括号后整体代入可得答案.
11．（2018九上·灌南期末）若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵4a﹣2b+c=0，
∴当x=-2时，ax2+bx+c=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为-2.
故答案为：-2.
【分析】根据4a﹣2b+c=0知ax2+bx+c=0一定有一个根为-2.
12．（2018九上·阆中期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为 .
【答案】12
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2-12x+35=0，解得x=5或x=7
∵x=7时，3+4=7，∴x=7（舍去）
∴x=5
∴三角形的周长为3+4+5=12.
【分析】根据题意，解出方程的两个解，根据三角形的三边关系，得到符合题意的方程的解，计算周长即可。
13．（2023九上·广安期末）已知方程有一个根是m，则代数式的值为 .
【答案】2018
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵有一个根是m，
∴，即，
∴，
故答案为： .
【分析】根据方程解的概念可得m2-3m=-1，待求式可变形为4(m2-3m)+2022，然后代入计算即可.
三、解答题
14．（2022九上·惠阳月考）把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】解：去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 1，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，16，0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将方程化为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
15．（2022九上·海淀期中）已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】解：∵是方程的一个根，
∴．
∴．
原式
．
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】先求出 ，再求解即可。
四、综合题
16．（2023九上·赵县期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，
（1）解方程x2+2x-8=0，
（2）方程x2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”
【答案】（1）解：方程x2+2x-8=0， 可化为(x+4) (x-2) =0，解得x=-4或2
（2）解：不是；x2+9x+18=0． (答案不唯一)
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）原方程化为：（x+4）（x-2）＝0，
则x+4＝0或x-2＝0，
∴x1＝-4，x2＝2；
（2）解：∵x1＝-4，x2＝2，
∴两个根不满足其中一个根是另一个根的2倍，则该方程不是“倍根方程”，
“倍根方程”可以为x2+9x+18＝0，因为它的两个根是x1＝-3，x2＝-6，满足x2＝2x1．
故答案为：不是；x2+9x+18＝0（答案不唯一）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据所给“倍根方程”的定义判断解答即可．
17．（2021九上·南昌期末）已知关于的一元二次方程．其中分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x=1代入方程得b-c-2a+c+b=0，
则a=b，
所以△ABC为等腰三角形
（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ=（-2a）2-4（b-c）（b+c）=0，
整理得b2-c2=a2，即b2 =a2+c2，
所以△ABC为直角三角形．
【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 a=b， 再判断三角形即可；
（2）先求出 Δ=0， 再求出 b2 =a2+c2， 最后作答即可。
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