2023-2024学年初中数学九年级上册 24.1 一元二次方程 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·东阳期末）已知方程x2-4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x-5）2-4（x-5）+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝6，x2＝8
C．x1＝-4，x2＝-2 D．x1＝0，x2＝2
2．（2023八下·金东期末）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由万辆增加到万辆．设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·老河口模拟）某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·拱墅期中）杭州地铁号线于2022年2月21日实现试运行，从星桥站至潮王路站共设计了1482种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有个站点，根据题意下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·深圳模拟）下列说法正确的是（ ）
A．五边形的外角和是540°
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．因式分解是正确的
D．关于x的方程有两个不相等的实数根
6．（2023·宜宾模拟）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
7．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·番禺模拟）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
9．（2023八下·德清期末）若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是 .
10．（2023八下·上虞期末）某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
11．（2023八下·海曙期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
12．（2020九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
13．（2022九上·晋江月考）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
三、解答题
14．（2022九上·海东期中）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
15．（2022九上·应城月考）若a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a+的值．
四、综合题
16．（2022八下·道外期末）在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，且、的长是方程的两个根．
（1）如图1，求点C坐标；
（2）如图2，点D在上，点E在的延长线上，且．连接，过点O作交于点G，垂足为点F．设长为m，点G的横坐标为n，求n与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，求直线的解析式．
17．（2022·黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点A，交x轴于点B，OA，OB（）的长是关于x的一元二次方程的两个根，直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，设．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设的面积为S（），求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当，且点P在AB上方时，在第一象限是否存在点C，使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，
解得x1=6，x2=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可.
2．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，
由题意可得33.2×(1+x)2=54.6.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：2月的销量为33.2(1+x)万辆，3月的销量为33.2(1+x)2万辆，然后根据增加到54.6万辆就可列出方程.
3．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得
400×（1+x）2=625.
故答案为：A
【分析】此题的等量关系：第一年植树的棵树×（1+年平均增长率）2=第三年植树的棵树，列方程即可.
4．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这段公路有x个站点，由题意可得x(x-1)=1482.
故答案为：B.
【分析】根据站点数×(站点数-1)=总共的往返车票就可列出方程.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根；多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、 五边形的外角和是360°，A错误；
B、 反例：菱形也是对角线相等且互相垂直的四边形，B错误；
C、因式分解的正确结果：，C错误；
D、判别式，，， 关于x的方程有两个不相等的实数根 ，D正确；
故答案为：D.
【分析】A、所有的多边形的外角和都为360°；
B、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，例如菱形；
C、利用提公因式法得到答案；
D、根据判别式判断一元二次方程根的情况，，有两个不相等的实数根 ；，有两个相等的实数根；，无实数根.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，
∴a2 +a-2023=0，
∴a2 =-a+2023，
∴a2 +2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b
∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴a+b=-1，
∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022
故答案选D。
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2 =-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵，，
∴， ，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出， ，再求解即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一次函数的实际应用；勾股定理的应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，
设BE的长度为t，
则BA＝t+1，
∴（t+1）2+t2＝25，
即：t2+t﹣12＝0，
∴（t+4）（t﹣3）＝0，
由于t＞0，
∴t+4＞0，
∴t﹣3＝0，
∴t＝3．
∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，(这是做题关键)
根据等量关系式写出等量关系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，
∴1+a+2a+3=0，
解得a=.
故答案为：.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值.
10．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得100(1+x)2=169.
故答案为：100(1+x)2=169.
【分析】由题意可得：2021年底的新注册用户数为100(1+x)万，2022年底的新注册用户数为100(1+x)2万，然后根据到2022年底的新注册用户数达到169万就可列出方程.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为-2，
∴4a-2b-1=0，
∴4a-2b=1，
∴2a-b=.
故答案为：.
【分析】将x=-2代入方程中可得4a-2b-1=0，据此不难得到2a-b的值.
12．【答案】2，4，4或3，3，4
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。
13．【答案】①④
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
故①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，
则x1＝﹣1，x2 ，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，
故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即＝4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x+＝0有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，
∴x1x2＝×＝（x1+x2），
∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为：①④．
【分析】①②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，且b=-4a（a≠0）得到x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
④根据韦达定理（，）和x1=3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用 关于2的等距方程的定义进行判断.
14．【答案】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，
2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，
所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，
解得b＝1，c＝﹣2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将一元二次方程化为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，再利用待定系数法可得b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，最后求出b、c的值即可。
15．【答案】解：把x＝a代入方程，可得：a2﹣2018a+1＝0，
所以a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a，
所以a2﹣2019a＝﹣a﹣1，
所以a2﹣2019a+＝﹣a﹣1+＝﹣1，即a2﹣2019a+＝﹣1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】 把x＝a代入方程，可得 a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a， 从而求出a2﹣2019a＝﹣a﹣1， 再代入原式即可求解.
16．【答案】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
（2）解：延长交于H，
∵∠AFO=∠B=∠OAB=，
∴∠OAF+∠BAD=∠AOH+∠OAF=，
∴∠AOB=∠BAD，
∵OA=AB，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴G为中点，
过E作交CO延长线于M，取中点N，连接，
∴是的中位线，
∴GNEM，即，
∵，
∴，
（3）解：∵，
设，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
连接，
，
，
∴解得，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线解析式为：．
【知识点】一元二次方程的根；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）解方程得， 即得点C坐标；
（2）延长交于H， 根据ASA证明△AOH≌△BAD，可得，又， 再证， 可得EG=GC，过E作交CO延长线于M，取中点N，连接， 利用三角形中位线定理可得GNEM，即， 由即得结论；
（3） 由，可设，，可得，连接，根据可求出， 即得AD=5，由勾股定理求出BD=5，从而求出CD=5，即得D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可.
17．【答案】（1）解：解方程，得，，
∵，
∴，，
∴点，，
设直线AB的解析式为，
∴
解得
∴直线AB的解析式为；
（2）解：当时，，即点，
①当时，，
∵，
∴；
②同理，当时，，
∴，
综上，得
（3）解：存在，点C的坐标是或或．
【知识点】一元二次方程的根；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：(3)假设存在C使是等腰直角三角形，
∵当，且点P在AB上方，
∴，得，即，
①当时，如图：
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形PEBC是正方形，
∴，，
故；
②当时，作交于点F，如图：
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形EBCF是矩形，
∴，
故；
③当时，作轴交于点G，如图：
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形EPCG是矩形，
∴，
∴，
故；
综上所述：点C的坐标是或或．
【分析】（1）先解方程得，，即得OA=3，OB=4，可得A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）将x=2代入直线AB：中得y=，即的点 ， 分两种情况：①当时，， 当时，， 根据即可求解；
（3）当，且点P在AB上方，此时，分三种情况：①当时，PC=CB；②当时PC=PB，③当BC=PB时，BC=PB，据此分别求解即可.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 24.1 一元二次方程 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·东阳期末）已知方程x2-4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x-5）2-4（x-5）+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝6，x2＝8
C．x1＝-4，x2＝-2 D．x1＝0，x2＝2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，
解得x1=6，x2=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可.
2．（2023八下·金东期末）据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由万辆增加到万辆．设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，
由题意可得33.2×(1+x)2=54.6.
故答案为：D.
【分析】由题意可得：2月的销量为33.2(1+x)万辆，3月的销量为33.2(1+x)2万辆，然后根据增加到54.6万辆就可列出方程.
3．（2023·老河口模拟）某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得
400×（1+x）2=625.
故答案为：A
【分析】此题的等量关系：第一年植树的棵树×（1+年平均增长率）2=第三年植树的棵树，列方程即可.
4．（2023八下·拱墅期中）杭州地铁号线于2022年2月21日实现试运行，从星桥站至潮王路站共设计了1482种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有个站点，根据题意下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这段公路有x个站点，由题意可得x(x-1)=1482.
故答案为：B.
【分析】根据站点数×(站点数-1)=总共的往返车票就可列出方程.
5．（2023·深圳模拟）下列说法正确的是（ ）
A．五边形的外角和是540°
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．因式分解是正确的
D．关于x的方程有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根；多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、 五边形的外角和是360°，A错误；
B、 反例：菱形也是对角线相等且互相垂直的四边形，B错误；
C、因式分解的正确结果：，C错误；
D、判别式，，， 关于x的方程有两个不相等的实数根 ，D正确；
故答案为：D.
【分析】A、所有的多边形的外角和都为360°；
B、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，例如菱形；
C、利用提公因式法得到答案；
D、根据判别式判断一元二次方程根的情况，，有两个不相等的实数根 ；，有两个相等的实数根；，无实数根.
6．（2023·宜宾模拟）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，
∴a2 +a-2023=0，
∴a2 =-a+2023，
∴a2 +2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b
∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴a+b=-1，
∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022
故答案选D。
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2 =-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。
7．（2023·来安模拟）已知，，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵，，
∴， ，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出， ，再求解即可。
8．（2022·番禺模拟）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一次函数的实际应用；勾股定理的应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，
设BE的长度为t，
则BA＝t+1，
∴（t+1）2+t2＝25，
即：t2+t﹣12＝0，
∴（t+4）（t﹣3）＝0，
由于t＞0，
∴t+4＞0，
∴t﹣3＝0，
∴t＝3．
∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，(这是做题关键)
根据等量关系式写出等量关系式：BA2+BE2＝AE2＝25，解得BE=3，BC=6
二、填空题
9．（2023八下·德清期末）若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，
∴1+a+2a+3=0，
解得a=.
故答案为：.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值.
10．（2023八下·上虞期末）某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得100(1+x)2=169.
故答案为：100(1+x)2=169.
【分析】由题意可得：2021年底的新注册用户数为100(1+x)万，2022年底的新注册用户数为100(1+x)2万，然后根据到2022年底的新注册用户数达到169万就可列出方程.
11．（2023八下·海曙期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为-2，
∴4a-2b-1=0，
∴4a-2b=1，
∴2a-b=.
故答案为：.
【分析】将x=-2代入方程中可得4a-2b-1=0，据此不难得到2a-b的值.
12．（2020九上·达拉特旗月考）等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x2-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是 ．
【答案】2，4，4或3，3，4
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（1）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（2）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；（3）若 ，这个三角形是等腰三角形，
则 ，
此时三角形的三边长是 ，满足三角形的三边关系定理；
综上，此三角形的三边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=6，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可。
13．（2022九上·晋江月考）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
【答案】①④
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
故①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，
则x1＝﹣1，x2 ，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，
故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即＝4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x+＝0有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，
∴x1x2＝×＝（x1+x2），
∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为：①④．
【分析】①②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，且b=-4a（a≠0）得到x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
④根据韦达定理（，）和x1=3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用 关于2的等距方程的定义进行判断.
三、解答题
14．（2022九上·海东期中）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
【答案】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，
2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，
所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，
解得b＝1，c＝﹣2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】将一元二次方程化为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，再利用待定系数法可得b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，最后求出b、c的值即可。
15．（2022九上·应城月考）若a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a+的值．
【答案】解：把x＝a代入方程，可得：a2﹣2018a+1＝0，
所以a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a，
所以a2﹣2019a＝﹣a﹣1，
所以a2﹣2019a+＝﹣a﹣1+＝﹣1，即a2﹣2019a+＝﹣1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】 把x＝a代入方程，可得 a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a， 从而求出a2﹣2019a＝﹣a﹣1， 再代入原式即可求解.
四、综合题
16．（2022八下·道外期末）在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，且、的长是方程的两个根．
（1）如图1，求点C坐标；
（2）如图2，点D在上，点E在的延长线上，且．连接，过点O作交于点G，垂足为点F．设长为m，点G的横坐标为n，求n与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，求直线的解析式．
【答案】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
（2）解：延长交于H，
∵∠AFO=∠B=∠OAB=，
∴∠OAF+∠BAD=∠AOH+∠OAF=，
∴∠AOB=∠BAD，
∵OA=AB，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴G为中点，
过E作交CO延长线于M，取中点N，连接，
∴是的中位线，
∴GNEM，即，
∵，
∴，
（3）解：∵，
设，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
连接，
，
，
∴解得，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线解析式为：．
【知识点】一元二次方程的根；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）解方程得， 即得点C坐标；
（2）延长交于H， 根据ASA证明△AOH≌△BAD，可得，又， 再证， 可得EG=GC，过E作交CO延长线于M，取中点N，连接， 利用三角形中位线定理可得GNEM，即， 由即得结论；
（3） 由，可设，，可得，连接，根据可求出， 即得AD=5，由勾股定理求出BD=5，从而求出CD=5，即得D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可.
17．（2022·黑龙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点A，交x轴于点B，OA，OB（）的长是关于x的一元二次方程的两个根，直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，设．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设的面积为S（），求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当，且点P在AB上方时，在第一象限是否存在点C，使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：解方程，得，，
∵，
∴，，
∴点，，
设直线AB的解析式为，
∴
解得
∴直线AB的解析式为；
（2）解：当时，，即点，
①当时，，
∵，
∴；
②同理，当时，，
∴，
综上，得
（3）解：存在，点C的坐标是或或．
【知识点】一元二次方程的根；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：(3)假设存在C使是等腰直角三角形，
∵当，且点P在AB上方，
∴，得，即，
①当时，如图：
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形PEBC是正方形，
∴，，
故；
②当时，作交于点F，如图：
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形EBCF是矩形，
∴，
故；
③当时，作轴交于点G，如图：
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形EPCG是矩形，
∴，
∴，
故；
综上所述：点C的坐标是或或．
【分析】（1）先解方程得，，即得OA=3，OB=4，可得A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）将x=2代入直线AB：中得y=，即的点 ， 分两种情况：①当时，， 当时，， 根据即可求解；
（3）当，且点P在AB上方，此时，分三种情况：①当时，PC=CB；②当时PC=PB，③当BC=PB时，BC=PB，据此分别求解即可.
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