2023-2024学年初中数学九年级上册 24.2 解一元二次方程 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·深圳期末）若关于的一元二次方程有实数根，则可取的最大整数值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
2．（2022八下·长乐期末）若关于x的一元二次方程（x﹣2）2+m＝0有实数解，则m的取值是（ ）
A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．全体实数
3．（2019八上·虹口月考）一元二次方程 中，若a与c异号，根的情况是（ ）
A．有两个不同的实数根 B．有两个相同的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．（2021八下·杨浦期中）下列方程中，在实数范围内有解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0 B．+2＝0
C． D．
5．（2023八下·蜀山期末）用配方法解方程 时，配方后得的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·嘉兴期末）一元二次方程配方后，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·上虞期末）已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
二、填空题
9．（2023七下·虹口期末）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则 ．
10．（2023八下·宁波期末）将方程整理成的形式为 .
11．（2023·泰安）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
12．（2023八下·蜀山期末）关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
13．（2023·黄冈）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．
三、计算题
14．（2023八下·深圳期末）解下列方程：
（1）4x2-8x+1=0
（2）3(x-5)2=2(5-x)
四、解答题
15．（2023七下·榆树期末）利用平方根的意义求方程（x﹣1）2＝4中x的值．
16．（2023八下·嘉兴期末）在解一元二次方程时，小王的解答如下：
解：方程两边同时除以得：； 移项得：； 解得：．
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．
五、综合题
17．（2023八下·杭州期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）当k取最大整数值时，求该方程的解．
18．（2023八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解一元二次方程：．
（2）已知一组数据，，，的平均数是5，求数据，，，的平均数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程kx -x+1有实数根
则
解得：
又
所以k的最大正整数为-1
故答案为：C.
【分析】由题意可知，△≥0，代入一元二次方程的系数可求出k值范围，再由k≠0即可求出k的最大整数值.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 解：∵（x-2）2+m=0，
∴（x-2）2=-m，
∵方程有实数解，
∴-m≥0，
解得m≤0，
即m的取值范围为m≤0．
故选：A．
【分析】 先把方程变形为（x-2）2=-m，利用平方的意义得到-m≥0，然后解不等式即可．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 中，若 与 异号，
∴
∴
∵
∴
∴此一元二次方程有两个不同的实数根.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的情况与△的关系判断即可.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程；无理方程
【解析】【解答】解：A、a＝1，b＝﹣1，c＝1，△＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无实数根，
故A不符合题意；
B、非负数与正数的和是正数，得
+2≥2，
故B不符合题意；
C、方程两边都乘以（x﹣5），得
x﹣4＝1，
解得x＝5，
经检验：x＝5不是分式方程的根，原分式方程的解，
故C不符合题意；
D、由
，得
x﹣2≥0且2﹣x≥0，
解得x＝2，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】A、根据根的判别式判断；B、根据非负数与正数的和是正数即可判断；C、先解出分式方程，再判断即可；D、根据被开方数是非负数求解，再判断即可.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解： x2+4x-3=0 ，移项，得：x2+4x=3，方程两边都加上22，得：x2+4x+22=3+22，∴（x+2）2=7.
故答案为：B。
【分析】根据配方法解方程，先把常数项移到方程的右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-5=0，
∴x2-4x=5，
∴x2-4x+4=4+5，
∴(x-2)2=9.
故答案为：B.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0
∴4-4（kb+1）＞0
解之：kb＜0
当k＞0，b＜0时，直线 y＝kx＋b 经过第一、三、四象限
故答案为；B
【分析】由一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，求出kb＜0，再分情况讨论，就可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=a为方程的根，
∴a2-ab+b-a=0，
∴a(a-b)-(a-b)=0，
∴(a-b)(a-1)=0.
∵a>1，
∴a=b>1，
∴△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2-4b+4b=b2>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①正确，④错误；
∵a=b，
∴a=b=t+1，故②错误；
∵a=b，a为方程的一个根，
∴b为方程的根。故③正确.
故答案为：C.
【分析】将x=a代入方程中并化简可得(a-b)(a-1)=0，由a>1可得a=b>1，则△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2，据此判断①④；根据a=b可判断②③.
9．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知关于的一元二次方程有两个相等实数根 ，∴ 0.
故第1空答案为：0.
【分析】直接根据 一元二次方程根的判别式与方程的根的情况之间的关系，得出判别式的值即可。
10．【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x-5=0，
移项，得x2-6x=5，
配方，得x2-6x+9=5+9，
∴（x-3）2=14.
故答案为：（x-3）2=14.
【分析】首先移项，将常数项移到方程的右边；然后配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”；进而左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，所以a＞-4.
【分析】根据根的判别式大于零，列出关于a的不等式，解不等式，求出a的取值范围。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为方程有两个不相等的实数根，所以∴.
故第1空答案为：。
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出根的判别式大于零，得到关于k的不等式，解不等式求得解集即可。
13．【答案】3
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵AF=a，DF=b，
∴ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a.
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴DE·AF=EH·BH，
∴a2=(b-a)b，
∴a2=b2-ab，
∴1=()2-，
∴=，
∴=3.
故答案为：3.
【分析】由题意可得ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a，根据三角形的面积公式可得a2=(b-a)b，化简可得的值，然后根据进行计算.
14．【答案】（1）解：
（2）解：
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法可以知道是一个完全平方差公式，即可算出答案
（2）利用因式分解法，将2（5-x）放在等式的左边，此时符号需要改变，再提取公因式（x-5）就能求出答案.
15．【答案】解：∵（x﹣1）2＝4，由平方根的意义可知：
∴x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x＝3或x＝﹣1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据平方根的意义求出 x﹣1＝±2， 再解方程求解即可。
16．【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下：
或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解.
17．【答案】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
k的取值范围是
（2）解：由（1）可知，，
当k取最大整数值时，，
，
，
，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，得出，即可求出k的取值范围；
（2）根据k的取值范围，得出符合条件的一元二次方程的最大整数k=1，代入方程求出方程的解.
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，
（2）解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴数据，，，的平均数为
．
【知识点】配方法解一元二次方程；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后将二次项的系数化为1，再给两边同时加上1，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+1)2=，接下来利用直接开平方法计算即可；
（2）根据平均数的计算方法可得平均数为，据此计算.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 24.2 解一元二次方程 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·深圳期末）若关于的一元二次方程有实数根，则可取的最大整数值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程kx -x+1有实数根
则
解得：
又
所以k的最大正整数为-1
故答案为：C.
【分析】由题意可知，△≥0，代入一元二次方程的系数可求出k值范围，再由k≠0即可求出k的最大整数值.
2．（2022八下·长乐期末）若关于x的一元二次方程（x﹣2）2+m＝0有实数解，则m的取值是（ ）
A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．全体实数
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 解：∵（x-2）2+m=0，
∴（x-2）2=-m，
∵方程有实数解，
∴-m≥0，
解得m≤0，
即m的取值范围为m≤0．
故选：A．
【分析】 先把方程变形为（x-2）2=-m，利用平方的意义得到-m≥0，然后解不等式即可．
3．（2019八上·虹口月考）一元二次方程 中，若a与c异号，根的情况是（ ）
A．有两个不同的实数根 B．有两个相同的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 中，若 与 异号，
∴
∴
∵
∴
∴此一元二次方程有两个不同的实数根.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的情况与△的关系判断即可.
4．（2021八下·杨浦期中）下列方程中，在实数范围内有解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0 B．+2＝0
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程；无理方程
【解析】【解答】解：A、a＝1，b＝﹣1，c＝1，△＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无实数根，
故A不符合题意；
B、非负数与正数的和是正数，得
+2≥2，
故B不符合题意；
C、方程两边都乘以（x﹣5），得
x﹣4＝1，
解得x＝5，
经检验：x＝5不是分式方程的根，原分式方程的解，
故C不符合题意；
D、由
，得
x﹣2≥0且2﹣x≥0，
解得x＝2，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】A、根据根的判别式判断；B、根据非负数与正数的和是正数即可判断；C、先解出分式方程，再判断即可；D、根据被开方数是非负数求解，再判断即可.
5．（2023八下·蜀山期末）用配方法解方程 时，配方后得的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解： x2+4x-3=0 ，移项，得：x2+4x=3，方程两边都加上22，得：x2+4x+22=3+22，∴（x+2）2=7.
故答案为：B。
【分析】根据配方法解方程，先把常数项移到方程的右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案。
6．（2023八下·嘉兴期末）一元二次方程配方后，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-5=0，
∴x2-4x=5，
∴x2-4x+4=4+5，
∴(x-2)2=9.
故答案为：B.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
7．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0
∴4-4（kb+1）＞0
解之：kb＜0
当k＞0，b＜0时，直线 y＝kx＋b 经过第一、三、四象限
故答案为；B
【分析】由一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，求出kb＜0，再分情况讨论，就可得出答案。
8．（2023八下·上虞期末）已知是关于x的方程的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当时，一定有；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=a为方程的根，
∴a2-ab+b-a=0，
∴a(a-b)-(a-b)=0，
∴(a-b)(a-1)=0.
∵a>1，
∴a=b>1，
∴△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2-4b+4b=b2>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①正确，④错误；
∵a=b，
∴a=b=t+1，故②错误；
∵a=b，a为方程的一个根，
∴b为方程的根。故③正确.
故答案为：C.
【分析】将x=a代入方程中并化简可得(a-b)(a-1)=0，由a>1可得a=b>1，则△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2，据此判断①④；根据a=b可判断②③.
二、填空题
9．（2023七下·虹口期末）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知关于的一元二次方程有两个相等实数根 ，∴ 0.
故第1空答案为：0.
【分析】直接根据 一元二次方程根的判别式与方程的根的情况之间的关系，得出判别式的值即可。
10．（2023八下·宁波期末）将方程整理成的形式为 .
【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x-5=0，
移项，得x2-6x=5，
配方，得x2-6x+9=5+9，
∴（x-3）2=14.
故答案为：（x-3）2=14.
【分析】首先移项，将常数项移到方程的右边；然后配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”；进而左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
11．（2023·泰安）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，所以a＞-4.
【分析】根据根的判别式大于零，列出关于a的不等式，解不等式，求出a的取值范围。
12．（2023八下·蜀山期末）关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为方程有两个不相等的实数根，所以∴.
故第1空答案为：。
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出根的判别式大于零，得到关于k的不等式，解不等式求得解集即可。
13．（2023·黄冈）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．
【答案】3
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵AF=a，DF=b，
∴ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a.
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴DE·AF=EH·BH，
∴a2=(b-a)b，
∴a2=b2-ab，
∴1=()2-，
∴=，
∴=3.
故答案为：3.
【分析】由题意可得ED=AF=a，EH=EF=DF-DE=b-a，根据三角形的面积公式可得a2=(b-a)b，化简可得的值，然后根据进行计算.
三、计算题
14．（2023八下·深圳期末）解下列方程：
（1）4x2-8x+1=0
（2）3(x-5)2=2(5-x)
【答案】（1）解：
（2）解：
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法可以知道是一个完全平方差公式，即可算出答案
（2）利用因式分解法，将2（5-x）放在等式的左边，此时符号需要改变，再提取公因式（x-5）就能求出答案.
四、解答题
15．（2023七下·榆树期末）利用平方根的意义求方程（x﹣1）2＝4中x的值．
【答案】解：∵（x﹣1）2＝4，由平方根的意义可知：
∴x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x＝3或x＝﹣1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据平方根的意义求出 x﹣1＝±2， 再解方程求解即可。
16．（2023八下·嘉兴期末）在解一元二次方程时，小王的解答如下：
解：方程两边同时除以得：； 移项得：； 解得：．
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．
【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下：
或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解.
五、综合题
17．（2023八下·杭州期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）当k取最大整数值时，求该方程的解．
【答案】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
k的取值范围是
（2）解：由（1）可知，，
当k取最大整数值时，，
，
，
，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，得出，即可求出k的取值范围；
（2）根据k的取值范围，得出符合条件的一元二次方程的最大整数k=1，代入方程求出方程的解.
18．（2023八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）用配方法解一元二次方程：．
（2）已知一组数据，，，的平均数是5，求数据，，，的平均数．
【答案】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，
（2）解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴数据，，，的平均数为
．
【知识点】配方法解一元二次方程；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）首先将常数项移至右边，然后将二次项的系数化为1，再给两边同时加上1，对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+1)2=，接下来利用直接开平方法计算即可；
（2）根据平均数的计算方法可得平均数为，据此计算.
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