2023-2024学年初中数学八年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．设 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
2．（2023·天津市）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·南山模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·蜀山期末）方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
5．（2023·齐齐哈尔模拟）若方程有两个同号不等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·菏泽）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
7．（2023八下·定远期中）下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有
①若，则；
②若方程两根为和，则；
③若方程有一个根是，则．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
8．（2023八下·包河期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题
9．（2023八下·嵊州期末）设，是方程的两根，则的值是 ．
10．（2023·本溪）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
11．（2023·包头）若是一元二次方程的两个实数根，则 .
12．（2023八下·玄武期末）写一个一元二次方程： ，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2，.
13．（2023·汕尾模拟）已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 ．
三、解答题
14．（2023·澄城模拟）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，求的值．
15．（2023八下·萧山期中）已知一元二次方程．
①若方程两根为1和2，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立．
判断以上说法是否正确，并说明理由．
四、综合题
16．（2023·通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
17．（2023八下·江州期末）已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若，满足，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由 ，可得x1+x2=4，x1x2=3.
∴
故答案为：C.
【分析】由二次函数根与系数的关系，得到x1+x2=4，x1x2=3，再变形，得到，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：因为所以x1，x2同号，再根据可得x1，x2均为正数。
故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
，
故答案为：C.
【分析】方程有两个不等的实数根意味着根的判别式大于零，而两根同号意味着韦达定理中两根之积大于零.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而根据代入求值即可求解。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①∵，
∴b=a+c，
∴，①为假命题；
②∵两根为和，
∴，
∴，②为真命题；
③∵方程有一个根是，
∴，
∴，
∴，③为真命题；
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系结合一元二次方程根的判别式、真命题和假命题对选项逐一判断即可求解。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得两边长和为6，
∴三角形第三边长＜6，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合三角形的三边关系即可求解。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+6x-1=0的两根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-，
∴x1+x2+x1x2=-3-=-.
故答案为：-.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-3，x1x2=-，然后代入计算即可.
10．【答案】k<-
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即（-1）2-4（k+1）＞0
化简得，1-4k-4＞0，-4k＞3，
∴，
故答案为.
【分析】利用一元二次方程根和系数的关系求解：当方程有两个不相等的实数根时，.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ，
∴x1+x2=2，x1x2=-8，
∴，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2=2，x1x2=-8，再代入求得 的值.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵两根分别为2、-3，
∴两根之和为=-1，两根之积为=-6.
∵二次项系数b=2，
∴a=2，c=-12，
∴对应的方程为2x2+2x-12=0.
故答案为：2x2+2x-12=0.
【分析】根据根与系数的关系可得=-1，=-6，结合b=2可得a、c的值，进而可得对应的一元二次方程.
13．【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n为方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴m2+m=2023，m+n=-1，
∴m2+2m+n=(m2+m)+(m+n)=2023-1=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程根的概念可得m2+m=2023，由根与系数的关系可得m+n=-1，然后将两式相加就可求出m2+2m+n的值.
14．【答案】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-4，将待求式变形为mn(m+n)，然后代入进行计算.
15．【答案】解：①
∵方程两根为1和2，
，
，
正确；
②，
，
正确；
③是方程的一个根，
，
，
，
正确；
∴①②③正确．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得1×2=，则2a=c，据此判断①；当b=2a+c时，△=4(a+c)2+5c2，结合偶次幂的非负性可判断②；根据方程根的概念可得am2=-(bm+c)，则(2am+b)2=4a2m2+4abm+b2=-4a(bm+c)+4abm+b2=b2-4ac，据此判断③.
16．【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-=，x1x2==-.
故答案为：，-.
【分析】（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答；
（2）根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-，然后根据m2+n2=(m+n)2-2mn进行计算；
（3）由题意可得：s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，则s+t=，st=-，根据(t-s)2=(t+s)2-4st可求出t-s的值，对待求式通分可得，据此计算.
17．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=[2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0
解得：a<3，
∵a为正整数，∴a=1，2；
（2）解：∵x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2
∵x12+x22-x1x2=16
∴(x1+x2)2-3x1x2=16
∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16，
解得，a1=-1，a2=6
∵a<3，∴a=1．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 由于关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，，可得，据此解出a<3，因为a为正整数，所以得到a=1，2.
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2，对式子x12+x22-x1x2进行化简，得到(x1+x2)2-3x1x2，将x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2代入即可求出答案.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．设 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列式求解即可.
2．（2023·天津市）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
3．（2023·南山模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由 ，可得x1+x2=4，x1x2=3.
∴
故答案为：C.
【分析】由二次函数根与系数的关系，得到x1+x2=4，x1x2=3，再变形，得到，即可求解.
4．（2023八下·蜀山期末）方程根的符号是（ ）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：因为所以x1，x2同号，再根据可得x1，x2均为正数。
故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
5．（2023·齐齐哈尔模拟）若方程有两个同号不等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
，
故答案为：C.
【分析】方程有两个不等的实数根意味着根的判别式大于零，而两根同号意味着韦达定理中两根之积大于零.
6．（2023·菏泽）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而根据代入求值即可求解。
7．（2023八下·定远期中）下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有
①若，则；
②若方程两根为和，则；
③若方程有一个根是，则．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①∵，
∴b=a+c，
∴，①为假命题；
②∵两根为和，
∴，
∴，②为真命题；
③∵方程有一个根是，
∴，
∴，
∴，③为真命题；
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系结合一元二次方程根的判别式、真命题和假命题对选项逐一判断即可求解。
8．（2023八下·包河期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得两边长和为6，
∴三角形第三边长＜6，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合三角形的三边关系即可求解。
二、填空题
9．（2023八下·嵊州期末）设，是方程的两根，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+6x-1=0的两根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-，
∴x1+x2+x1x2=-3-=-.
故答案为：-.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-3，x1x2=-，然后代入计算即可.
10．（2023·本溪）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k<-
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即（-1）2-4（k+1）＞0
化简得，1-4k-4＞0，-4k＞3，
∴，
故答案为.
【分析】利用一元二次方程根和系数的关系求解：当方程有两个不相等的实数根时，.
11．（2023·包头）若是一元二次方程的两个实数根，则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ，
∴x1+x2=2，x1x2=-8，
∴，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2=2，x1x2=-8，再代入求得 的值.
12．（2023八下·玄武期末）写一个一元二次方程： ，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2，.
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵两根分别为2、-3，
∴两根之和为=-1，两根之积为=-6.
∵二次项系数b=2，
∴a=2，c=-12，
∴对应的方程为2x2+2x-12=0.
故答案为：2x2+2x-12=0.
【分析】根据根与系数的关系可得=-1，=-6，结合b=2可得a、c的值，进而可得对应的一元二次方程.
13．（2023·汕尾模拟）已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 ．
【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n为方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴m2+m=2023，m+n=-1，
∴m2+2m+n=(m2+m)+(m+n)=2023-1=2022.
故答案为：2022.
【分析】根据方程根的概念可得m2+m=2023，由根与系数的关系可得m+n=-1，然后将两式相加就可求出m2+2m+n的值.
三、解答题
14．（2023·澄城模拟）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，求的值．
【答案】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-4，将待求式变形为mn(m+n)，然后代入进行计算.
15．（2023八下·萧山期中）已知一元二次方程．
①若方程两根为1和2，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立．
判断以上说法是否正确，并说明理由．
【答案】解：①
∵方程两根为1和2，
，
，
正确；
②，
，
正确；
③是方程的一个根，
，
，
，
正确；
∴①②③正确．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得1×2=，则2a=c，据此判断①；当b=2a+c时，△=4(a+c)2+5c2，结合偶次幂的非负性可判断②；根据方程根的概念可得am2=-(bm+c)，则(2am+b)2=4a2m2+4abm+b2=-4a(bm+c)+4abm+b2=b2-4ac，据此判断③.
四、综合题
16．（2023·通辽）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-=，x1x2==-.
故答案为：，-.
【分析】（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答；
（2）根据根与系数的关系可得m+n=，mn=-，然后根据m2+n2=(m+n)2-2mn进行计算；
（3）由题意可得：s、t可以看作方程2x2+3x-1=0的两个根，则s+t=，st=-，根据(t-s)2=(t+s)2-4st可求出t-s的值，对待求式通分可得，据此计算.
17．（2023八下·江州期末）已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若，满足，求a的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=[2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0
解得：a<3，
∵a为正整数，∴a=1，2；
（2）解：∵x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2
∵x12+x22-x1x2=16
∴(x1+x2)2-3x1x2=16
∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16，
解得，a1=-1，a2=6
∵a<3，∴a=1．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 由于关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，，可得，据此解出a<3，因为a为正整数，所以得到a=1，2.
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2，对式子x12+x22-x1x2进行化简，得到(x1+x2)2-3x1x2，将x1+x2=2(a-1)，x1x2=a2-a-2代入即可求出答案.
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