2023-2024学年初中数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】B
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴=，
∴原式=-=-，位于②段.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.
2．（2023·南开模拟）方程的根是，，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．26
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程x2- 2x -24 =0的根是x1，x2，
∴x1，x2 =-24，x1+x2 = 2，
则原式
=x1x2 -(x1+x2 )=-24-2 =-26。
故答案选：C。
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值。
3．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
4．（2023·三台模拟）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为（ ）
A．11 B．-1 C．11或-1 D．11或-1或1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：k1=-1，k2=11，
故答案为：C.
【分析】利用根与系数的关系可得，，再结合，可得，再求出k的值即可。
5．（2020九上·呼和浩特期末）已知二次函数 ，当 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 总相等，则关于 的一元二次方程 的两根之积为（ ）
A． B． C．－1 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=（a-2）x2-（a+2）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴，
则：
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程（a-2）x2-（a+2）x+1=0为-4x2+1=0，
则两根之积为
故答案为：B．
【分析】由当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线x=，据此求出a值，将a值代入方程中，利用根与系数的关系求出两根之积即可.
6．（2023八上·绍兴月考）已知，是实数，定义：．若是常数，则关于的方程：，下列说法正确的是（ ）
A．方程一定有实数根
B．当取某些值时，方程没有实数根
C．方程一定有两个实数根
D．方程一定有两个不相等的实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】 ，
，
移项：，
当m=0时，x=-1，
当时，
方程一定有实数根.
故答案为：A.
【分析】根据题中定义化简 解出答案即可.
7．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.
8．（2022八下·温州期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，
设AB=a，BC=1，
∵点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1，
∴KB=BL=EG=1，FH=FM=FN=1，∠AKE=∠AGE=∠ELC=∠EGC=90°，
∴△AKE≌△AGE（HL），△ELC≌△EGC（HL），
∴AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，
∵AC=5，
∴a-1+b-1=5，即a+b=7①，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=49
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，
∴25=49-2ab
∴ab=12②，
由①和②可知a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
∴a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），
∴AB=3，BC=4，AG=2，
∴GO=AO-AG=，
∴EO===，
∵EG=FH，∠EGO=∠FHO=90°，∠GOE=∠HOF，
∴△EGO≌△FHO（AAS），
∴EO=FO，
∴EF=2EO=2×=.
故答案为：B.
【分析】如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC、AD、DC分别于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，设AB=a，BC=1，由点E，F在对角线AC两侧，且到所在三角形三边距离都等于1，易证△AKE≌△AGE，△ELC≌△EGC，即得AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，从而得a+b=7①，进而得（a+b）2=a2+2ab+b2=49，由勾股定理得AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，进而推出ab=12②，再根据根与系数的关系可得a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，即得a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），从而求得AB=3，BC=4，AG=2，进而得到GO=AO-AG=，再证出△EGO≌△FHO，可得EO=FO，最后由EF=2EO即可求出EF的长.
二、填空题
9．（2023·明水模拟）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
【答案】2028
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴x1+x2=4，x12=4x1+2020，
∴原式=4x1+2020-2x1+2x2=2020+2（x1+x2）=2020+2×8=2028.
故答案为：2028
【分析】利用已知条件可表示出x1+x2和x12，将x12代入后可得到2020+2（x1+x2），再整体代入可求出结果.
10．（2023八下·姜堰期末）若和是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，
∴a2-3a-5=0，a+b=3，
∴a2-3a=5，
a2-3a+a+b=5+3=8；
故答案为：8.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系，可得a2-3a=5，a+b=3，再将原式变形为a2-3a+a+b，然后整体代入计算即可.
11．（2019八下·北京期中）阅读材料：
如果 ， 是一元二次方程 的两根，那么有 .这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.例 是方程 的两根，求 的值.
解法可以这样：
则 .
请你根据以上解法解答下题：
已知 是方程 的两根，求：
（1） + = ;
（2） = ;
（3） = ;
（4） = .
【答案】（1）4
（2）2
（3）2
（4）8
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）（2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，
∴x1+x2=4；
故答案为：4（2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，
∴x1x2=2；
故答案为：2；（3） = =2；
故答案为：2；（4）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，
∴x1+x2=4，x1x2=2，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42-4×2=16-8=8．
故答案为：8
【分析】（1）根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值；（2）根据根与系数的关系即可得出 的值；（3）根据（1）（2），把要求的式子进行通分，然后代值计算即可；（2）把要求从的式子变形为（x1+x2）2-4x1x2，再把x1+x2=4，x1x2=2代入进行计算即可．
12．（2023八下·蜀山期中）已知实数，且满足，．请解决下列问题：
（1）当时，的值为 ；
（2）当时，的值为 ．
【答案】（1）
（2）2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，
故答案为：-3；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，ab=-c，
∴，
∴，
故答案为：2
【分析】（1）先根据题意得到，进而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（2）先根据题意得到，进而得到，从而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，ab=-c，进而得到，然后结合题意代入即可求解。
13．（2022九上·晋江月考）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
【答案】①④
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
故①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，
则x1＝﹣1，x2 ，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，
故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即＝4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x+＝0有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，
∴x1x2＝×＝（x1+x2），
∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为：①④．
【分析】①②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，且b=-4a（a≠0）得到x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
④根据韦达定理（，）和x1=3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用 关于2的等距方程的定义进行判断.
三、解答题
14．（2023·凤县模拟）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】解：设AB= ，AC=
∵x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴ ＝2k+3， ＝k2+3k+2．
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴ ＝52，
∵
∴
整理得k2+3k-10＝0，
解得：k1＝-5，k2＝2．
又∵AB+AC＞0，
∴2k+3＞0，
∴k＝2．
∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2， 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.
15．（2022七上·长沙开学考）a是大于零的实数，已知存在唯一的实数，使得关于的二次方程的两个根均为质数求的值．
【答案】解：设方程的两个质数根为 、 由根与系数的关系，有
，①
，②
，得 ，
则
由 知， 、 显然均不为2，所以必为奇数．
故 和 均为整数，且 ，
若 为奇数，则必 ，从而， 为合数，矛盾．
因此， 必为偶数．同理， 也为偶数．
所以， 和 均为整数，且 ．
不妨设 ，则 或 ．
当 时， ，得 ， ，均为质数．
当 时， ，得 ， ， 为合数，不合题意．
综上可知， ， ．
代入 得
依题意，方程 有唯一的实数解．
故 ．
解得 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设方程的两个质数根为p、q，由根与系数的关系可得p+q=-(k2+ak)，pq=1999+k2+ak，将两式相加可得(p+1)(q+1)=24×53，则和均为整数，且·=22×53，若为奇数，则p=2×5t-1为合数，矛盾，因此必为偶数，同理也为偶数，设p≤q，则=1或5，据此求出p、q的值，代入p+q=-(k2+ak)中并结合判别式为0可得a的值.
四、综合题
16．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明：∵Δ＝[-2（n-1）]2-4（n2-2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100-20（n-1）+n2-2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2-22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2-18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）＝100，
解得n＝8或-6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8-1）＝14，符合题意，
当n＝-6时，AB+AC＝2×（-6-1）＝-14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式b2-4ac的值，由判断是的值大于0可得结论；
（2）根据（1）的结论及等腰三角形的定义可得x＝10为一元二次方程的一个根，从而将x=10代入可得关于字母n的方程，求解可得n的值为12或10；然后分①当n＝12时，②当n＝10时，两种情况，分别根据一元二次方程根与系数的关系求出等腰三角形的底边，最后根据三角形周长计算方法算出三角形的周长即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，然后根据勾股定理及完全平方公式建立出寡欲字母n的方程，求解再根据实际情况检验可得答案.
17．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．(填写序号)
【答案】①②③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①若a-b+c=0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，又a≠0，则b2－4ac≥0正确；
② 若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2， 由根与系数的关系得1×2=，整理得2a=c，即2a-c=0，故正确；
③ 若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根 ，则-4ac＞0， 所以b2-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0 一定有两个不相等的实数根，故正确；
④ 若b＝2a＋c， 则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，由于a≠0，故4a2+c2＞0，∴ 方程有两个不相等的实数根正确.
故答案为：①②③④.
【分析】①若a-b+c=0，说明原方程有一个根为1，又a≠0，说明原方程是一元二次方程，一元二次方程有根必有两个，故 b2－4ac≥0；②已知方程的两根，用根与系数关系的式子变形即可得出结论；③判断方程根的情况，只需要看根的判别式b2－4ac的值的符号就可以了；④ 把b＝2a＋c代入b2-4ac就可以判断根的情况.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
2．（2023·南开模拟）方程的根是，，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．26
3．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·三台模拟）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为（ ）
A．11 B．-1 C．11或-1 D．11或-1或1
5．（2020九上·呼和浩特期末）已知二次函数 ，当 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 总相等，则关于 的一元二次方程 的两根之积为（ ）
A． B． C．－1 D．0
6．（2023八上·绍兴月考）已知，是实数，定义：．若是常数，则关于的方程：，下列说法正确的是（ ）
A．方程一定有实数根
B．当取某些值时，方程没有实数根
C．方程一定有两个实数根
D．方程一定有两个不相等的实数根
7．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八下·温州期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·明水模拟）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
10．（2023八下·姜堰期末）若和是一元二次方程的两个实数根，则 ．
11．（2019八下·北京期中）阅读材料：
如果 ， 是一元二次方程 的两根，那么有 .这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.例 是方程 的两根，求 的值.
解法可以这样：
则 .
请你根据以上解法解答下题：
已知 是方程 的两根，求：
（1） + = ;
（2） = ;
（3） = ;
（4） = .
12．（2023八下·蜀山期中）已知实数，且满足，．请解决下列问题：
（1）当时，的值为 ；
（2）当时，的值为 ．
13．（2022九上·晋江月考）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．
三、解答题
14．（2023·凤县模拟）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
15．（2022七上·长沙开学考）a是大于零的实数，已知存在唯一的实数，使得关于的二次方程的两个根均为质数求的值．
四、综合题
16．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
17．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．(填写序号)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴=，
∴原式=-=-，位于②段.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程x2- 2x -24 =0的根是x1，x2，
∴x1，x2 =-24，x1+x2 = 2，
则原式
=x1x2 -(x1+x2 )=-24-2 =-26。
故答案选：C。
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：k1=-1，k2=11，
故答案为：C.
【分析】利用根与系数的关系可得，，再结合，可得，再求出k的值即可。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=（a-2）x2-（a+2）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴，
则：
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程（a-2）x2-（a+2）x+1=0为-4x2+1=0，
则两根之积为
故答案为：B．
【分析】由当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线x=，据此求出a值，将a值代入方程中，利用根与系数的关系求出两根之积即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】 ，
，
移项：，
当m=0时，x=-1，
当时，
方程一定有实数根.
故答案为：A.
【分析】根据题中定义化简 解出答案即可.
7．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，
设AB=a，BC=1，
∵点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1，
∴KB=BL=EG=1，FH=FM=FN=1，∠AKE=∠AGE=∠ELC=∠EGC=90°，
∴△AKE≌△AGE（HL），△ELC≌△EGC（HL），
∴AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，
∵AC=5，
∴a-1+b-1=5，即a+b=7①，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=49
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，
∴25=49-2ab
∴ab=12②，
由①和②可知a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
∴a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），
∴AB=3，BC=4，AG=2，
∴GO=AO-AG=，
∴EO===，
∵EG=FH，∠EGO=∠FHO=90°，∠GOE=∠HOF，
∴△EGO≌△FHO（AAS），
∴EO=FO，
∴EF=2EO=2×=.
故答案为：B.
【分析】如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC、AD、DC分别于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，设AB=a，BC=1，由点E，F在对角线AC两侧，且到所在三角形三边距离都等于1，易证△AKE≌△AGE，△ELC≌△EGC，即得AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，从而得a+b=7①，进而得（a+b）2=a2+2ab+b2=49，由勾股定理得AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，进而推出ab=12②，再根据根与系数的关系可得a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，即得a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），从而求得AB=3，BC=4，AG=2，进而得到GO=AO-AG=，再证出△EGO≌△FHO，可得EO=FO，最后由EF=2EO即可求出EF的长.
9．【答案】2028
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴x1+x2=4，x12=4x1+2020，
∴原式=4x1+2020-2x1+2x2=2020+2（x1+x2）=2020+2×8=2028.
故答案为：2028
【分析】利用已知条件可表示出x1+x2和x12，将x12代入后可得到2020+2（x1+x2），再整体代入可求出结果.
10．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，
∴a2-3a-5=0，a+b=3，
∴a2-3a=5，
a2-3a+a+b=5+3=8；
故答案为：8.
【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系，可得a2-3a=5，a+b=3，再将原式变形为a2-3a+a+b，然后整体代入计算即可.
11．【答案】（1）4
（2）2
（3）2
（4）8
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）（2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，
∴x1+x2=4；
故答案为：4（2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，
∴x1x2=2；
故答案为：2；（3） = =2；
故答案为：2；（4）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，
∴x1+x2=4，x1x2=2，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42-4×2=16-8=8．
故答案为：8
【分析】（1）根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值；（2）根据根与系数的关系即可得出 的值；（3）根据（1）（2），把要求的式子进行通分，然后代值计算即可；（2）把要求从的式子变形为（x1+x2）2-4x1x2，再把x1+x2=4，x1x2=2代入进行计算即可．
12．【答案】（1）
（2）2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，
故答案为：-3；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴a和b为方程的两个根，
∴a+b=-3，ab=-c，
∴，
∴，
故答案为：2
【分析】（1）先根据题意得到，进而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（2）先根据题意得到，进而得到，从而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，ab=-c，进而得到，然后结合题意代入即可求解。
13．【答案】①④
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
故①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，
则x1＝﹣1，x2 ，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，
故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即＝4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x+＝0有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，
∴x1x2＝×＝（x1+x2），
∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为：①④．
【分析】①②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，且b=-4a（a≠0）得到x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
④根据韦达定理（，）和x1=3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用 关于2的等距方程的定义进行判断.
14．【答案】解：设AB= ，AC=
∵x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
∴ ＝2k+3， ＝k2+3k+2．
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴ ＝52，
∵
∴
整理得k2+3k-10＝0，
解得：k1＝-5，k2＝2．
又∵AB+AC＞0，
∴2k+3＞0，
∴k＝2．
∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2， 在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.
15．【答案】解：设方程的两个质数根为 、 由根与系数的关系，有
，①
，②
，得 ，
则
由 知， 、 显然均不为2，所以必为奇数．
故 和 均为整数，且 ，
若 为奇数，则必 ，从而， 为合数，矛盾．
因此， 必为偶数．同理， 也为偶数．
所以， 和 均为整数，且 ．
不妨设 ，则 或 ．
当 时， ，得 ， ，均为质数．
当 时， ，得 ， ， 为合数，不合题意．
综上可知， ， ．
代入 得
依题意，方程 有唯一的实数解．
故 ．
解得 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】设方程的两个质数根为p、q，由根与系数的关系可得p+q=-(k2+ak)，pq=1999+k2+ak，将两式相加可得(p+1)(q+1)=24×53，则和均为整数，且·=22×53，若为奇数，则p=2×5t-1为合数，矛盾，因此必为偶数，同理也为偶数，设p≤q，则=1或5，据此求出p、q的值，代入p+q=-(k2+ak)中并结合判别式为0可得a的值.
16．【答案】（1）证明：∵Δ＝[-2（n-1）]2-4（n2-2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100-20（n-1）+n2-2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2-22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2-18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）＝100，
解得n＝8或-6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8-1）＝14，符合题意，
当n＝-6时，AB+AC＝2×（-6-1）＝-14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式b2-4ac的值，由判断是的值大于0可得结论；
（2）根据（1）的结论及等腰三角形的定义可得x＝10为一元二次方程的一个根，从而将x=10代入可得关于字母n的方程，求解可得n的值为12或10；然后分①当n＝12时，②当n＝10时，两种情况，分别根据一元二次方程根与系数的关系求出等腰三角形的底边，最后根据三角形周长计算方法算出三角形的周长即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，然后根据勾股定理及完全平方公式建立出寡欲字母n的方程，求解再根据实际情况检验可得答案.
17．【答案】①②③④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①若a-b+c=0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，又a≠0，则b2－4ac≥0正确；
② 若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2， 由根与系数的关系得1×2=，整理得2a=c，即2a-c=0，故正确；
③ 若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根 ，则-4ac＞0， 所以b2-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0 一定有两个不相等的实数根，故正确；
④ 若b＝2a＋c， 则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，由于a≠0，故4a2+c2＞0，∴ 方程有两个不相等的实数根正确.
故答案为：①②③④.
【分析】①若a-b+c=0，说明原方程有一个根为1，又a≠0，说明原方程是一元二次方程，一元二次方程有根必有两个，故 b2－4ac≥0；②已知方程的两根，用根与系数关系的式子变形即可得出结论；③判断方程根的情况，只需要看根的判别式b2－4ac的值的符号就可以了；④ 把b＝2a＋c代入b2-4ac就可以判断根的情况.
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