2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 比例线段 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·长宁模拟）已知P是线段的黄金分割点，且，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·深圳模拟）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于）．已知cm，则AB约是（ ）
A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm
3．（2022九上·长清期末）如果，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·西安月考）若，则下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·惠阳月考）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020七上·景德镇期中）已知非负数 x，y，z 满足. .，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
7．（2020·泸县）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020七上·景德镇期末）设 ，且 ，则 （ ）
A．673 B． C． D．674
二、填空题
9．（2023七下·普宁期末）如图，用大小相同的小正方形拼图，第个图是一个小正方形；第个图由个小正方形拼成；第个图由个小正方形拼成，依此规律，若第个图比第个图多用了个小正方形，则的值是 ．
10．（2023·澄城模拟）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雕像，则该雕像的下部高度应设计为 m．（结果保留根号）
11．（2023·随州模拟）生活中到处可见黄金分割的美.向日葵就是一个很好的例子，如果仔细观察向日葵中心，就会发现似乎有条螺旋形的曲线，如果对此进行计算，结果会得到黄金分割数列，如图是一株向日葵的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割（黄金分割比≈0.618）.已知AC＝2，且AC＞BC，则BC的长约 .
12．（2021九上·嘉祥期中）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
13．（2020九上·四川期中）若 ， 则 的值为 ．
三、解答题
14．（2022八上·冠县期中）已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周长．
15．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 互不相等)，求 的值.
解：设 ，则 ， ，
， .
依照上述方法解答下列问题：
已知 ，其中 ，求 的值.
四、综合题
16．（2020九上·湖北月考）定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA17．（2021·黄埔模拟）如图1所示，点C把线段 分成 与 ，若 ，则称线段 被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比．
（1）根据上述定义求黄金比；
（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段 的垂直平分线，得线段 的中点M；②过点B作 垂线l；③以点B为圆心，以 为半径作圆交l于N；④连接 、 ，以N为圆心，以 为半径作圆交 于P；⑤以点A为圆心，以 为半径作圆交 于C．
（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段 的黄金分割点．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将B关于P对称得，根据黄金分割的定义可知是的黄金分割点，
故答案为：C
【分析】 由P是线段的黄金分割点，且，可得 BP=AP，据此即可求解.
2．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意可得：0.618，
∴AB≈49cm，
故答案为：B.
【分析】利用黄金比，结合图形，计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴或．
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
4．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，∴4x=3y，
A、∵，
∴4x+4y=7y，
∴4x=3y，故该选项不符合题意；
B、∵，
∴4x+12=3y+12，
∴4x=3y，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴y=4x-4y，
∴4x=5y，故该选项符合题意；
D、∵，
∴4x=3y，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积结合已知条件可得4x=3y，同理可得各个选项中x、y的关系式，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意，
∴，
∵线段x没法先作出，
根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
， ， 均为非负实数，
，
解得 ，
于是 ，
，
即 ．
的最大值是-2，最小值是-4，
的最大值与最小值的和为-6，
故答案为：C．
【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根据k的取值范围求解即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF= BC=2，
在Rt ,AF= ，
∵D是边 的两个“黄金分割”点，
∴ 即 ，
解得CD= ，
同理BE= ，
∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ，
∴DE=CD-CE=4 -8，
∴S△ABC= = = ，
故答案为：A.
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
8．【答案】B
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设
则
将x，y，z的值代入 可得：
解得：
故答案为：B.
【分析】令 ，可将x、z的值用y与a表示，利用 求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
9．【答案】9
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意，分析可得规律第n个图由（2n-1）2个小正方形组成；
若第（n+1）个图形比第n个图形多72个小正方形，即；
化简可得8n=72，即n=9；
故答案为：9.
【分析】根据图像，得到图像与正方形个数的关系：第n个图由（2n-1）2个小正方形组成。并以此构建方程：，解出方程，则得到答案.
10．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴BC=AB=×2=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据黄金分割的特点结合题意可得BC=AB，然后将AB=2代入进行计算.
11．【答案】1.236
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意知BC：AC≈0.618，
BC≈0.618AC＝0.618×2＝1.236.
故答案为：1.236.
【分析】由题意知BC：AC≈0.618，然后结合AC=2进行计算.
12．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.
13．【答案】-1或2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ,得
b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，
①+②+③，得
2（a+b+c）=k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，
因式分解，得
（a+b+c）（2-k）=0
a+b+c=0或k=2，
当 时， ，
，
∴ 或2．
故答案为：-1或2．
【分析】将 进行变形，求出k的值即可。
14．【答案】解：根据题意可设a=5k，则b=7k，c=8k，
代入3a-2b+c=9，得：，
解得：，
∴，
∴△ABC的周长=a+b+c=5+7+8=20．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设a=5k，则b=7k，c=8k，结合3a-2b+c=9，可得，求出，再求出，最后利用三角形的周长公式计算即可。
15．【答案】解：设 ，
则
① +②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，
，
，
原式 .
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设 ，将这一式子变形可得 y+y，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.
16．【答案】（1）证明：设 ， ，则 ，
由 得： ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
；
（2）解：①设 ， ，则 ， ， ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；② ， .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；黄金分割
【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ，
由黄金分割点的定义得： ，
解得 ，
则 ，
故 ， .
【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得 ，从而可得 ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得.
17．【答案】（1）解：如图，设 ， ， ．
由 ，得 ．∴ ，
即 ，
解这个方程，得 ， （不合题意，舍去）．
所以，黄金比
（2）解：如图所示．
①作线段 的垂直平分线，得线段 的中点M；
②过点B作 垂线l；
方法2：如图所示，用圆规过点B作 垂线l．
③以点B为圆心，以 为半径作圆交l于N；
④连接 、 ，以N为圆心，以 为半径作圆交 于P；
⑤以点A为圆心，以 为半径作圆交 于C．
（3）解：设 ，由以上作法可知 ， ，
在 中， ，
∴ ．
∴ ，所以点C是线段 的黄金分割点
【知识点】勾股定理；黄金分割
【解析】【分析】（1）设 ， ，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案；
（2）根据要求作图即可；
（3）设 ，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 比例线段 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·长宁模拟）已知P是线段的黄金分割点，且，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将B关于P对称得，根据黄金分割的定义可知是的黄金分割点，
故答案为：C
【分析】 由P是线段的黄金分割点，且，可得 BP=AP，据此即可求解.
2．（2023·深圳模拟）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于）．已知cm，则AB约是（ ）
A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意可得：0.618，
∴AB≈49cm，
故答案为：B.
【分析】利用黄金比，结合图形，计算求解即可。
3．（2022九上·长清期末）如果，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴或．
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
4．（2022九上·西安月考）若，则下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，∴4x=3y，
A、∵，
∴4x+4y=7y，
∴4x=3y，故该选项不符合题意；
B、∵，
∴4x+12=3y+12，
∴4x=3y，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴y=4x-4y，
∴4x=5y，故该选项符合题意；
D、∵，
∴4x=3y，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积结合已知条件可得4x=3y，同理可得各个选项中x、y的关系式，据此判断.
5．（2022九上·惠阳月考）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意，
∴，
∵线段x没法先作出，
根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
6．（2020七上·景德镇期中）已知非负数 x，y，z 满足. .，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】C
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ， ， ，
， ， 均为非负实数，
，
解得 ，
于是 ，
，
即 ．
的最大值是-2，最小值是-4，
的最大值与最小值的和为-6，
故答案为：C．
【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根据k的取值范围求解即可。
7．（2020·泸县）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF= BC=2，
在Rt ,AF= ，
∵D是边 的两个“黄金分割”点，
∴ 即 ，
解得CD= ，
同理BE= ，
∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ，
∴DE=CD-CE=4 -8，
∴S△ABC= = = ，
故答案为：A.
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
8．（2020七上·景德镇期末）设 ，且 ，则 （ ）
A．673 B． C． D．674
【答案】B
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设
则
将x，y，z的值代入 可得：
解得：
故答案为：B.
【分析】令 ，可将x、z的值用y与a表示，利用 求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
二、填空题
9．（2023七下·普宁期末）如图，用大小相同的小正方形拼图，第个图是一个小正方形；第个图由个小正方形拼成；第个图由个小正方形拼成，依此规律，若第个图比第个图多用了个小正方形，则的值是 ．
【答案】9
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意，分析可得规律第n个图由（2n-1）2个小正方形组成；
若第（n+1）个图形比第n个图形多72个小正方形，即；
化简可得8n=72，即n=9；
故答案为：9.
【分析】根据图像，得到图像与正方形个数的关系：第n个图由（2n-1）2个小正方形组成。并以此构建方程：，解出方程，则得到答案.
10．（2023·澄城模拟）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雕像，则该雕像的下部高度应设计为 m．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴BC=AB=×2=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据黄金分割的特点结合题意可得BC=AB，然后将AB=2代入进行计算.
11．（2023·随州模拟）生活中到处可见黄金分割的美.向日葵就是一个很好的例子，如果仔细观察向日葵中心，就会发现似乎有条螺旋形的曲线，如果对此进行计算，结果会得到黄金分割数列，如图是一株向日葵的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割（黄金分割比≈0.618）.已知AC＝2，且AC＞BC，则BC的长约 .
【答案】1.236
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意知BC：AC≈0.618，
BC≈0.618AC＝0.618×2＝1.236.
故答案为：1.236.
【分析】由题意知BC：AC≈0.618，然后结合AC=2进行计算.
12．（2021九上·嘉祥期中）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.
13．（2020九上·四川期中）若 ， 则 的值为 ．
【答案】-1或2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ,得
b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，
①+②+③，得
2（a+b+c）=k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，
因式分解，得
（a+b+c）（2-k）=0
a+b+c=0或k=2，
当 时， ，
，
∴ 或2．
故答案为：-1或2．
【分析】将 进行变形，求出k的值即可。
三、解答题
14．（2022八上·冠县期中）已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周长．
【答案】解：根据题意可设a=5k，则b=7k，c=8k，
代入3a-2b+c=9，得：，
解得：，
∴，
∴△ABC的周长=a+b+c=5+7+8=20．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设a=5k，则b=7k，c=8k，结合3a-2b+c=9，可得，求出，再求出，最后利用三角形的周长公式计算即可。
15．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 互不相等)，求 的值.
解：设 ，则 ， ，
， .
依照上述方法解答下列问题：
已知 ，其中 ，求 的值.
【答案】解：设 ，
则
① +②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，
，
，
原式 .
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设 ，将这一式子变形可得 y+y，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.
四、综合题
16．（2020九上·湖北月考）定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA【答案】（1）证明：设 ， ，则 ，
由 得： ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
；
（2）解：①设 ， ，则 ， ， ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；② ， .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；黄金分割
【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ，
由黄金分割点的定义得： ，
解得 ，
则 ，
故 ， .
【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得 ，从而可得 ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得.
17．（2021·黄埔模拟）如图1所示，点C把线段 分成 与 ，若 ，则称线段 被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比．
（1）根据上述定义求黄金比；
（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段 的垂直平分线，得线段 的中点M；②过点B作 垂线l；③以点B为圆心，以 为半径作圆交l于N；④连接 、 ，以N为圆心，以 为半径作圆交 于P；⑤以点A为圆心，以 为半径作圆交 于C．
（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段 的黄金分割点．
【答案】（1）解：如图，设 ， ， ．
由 ，得 ．∴ ，
即 ，
解这个方程，得 ， （不合题意，舍去）．
所以，黄金比
（2）解：如图所示．
①作线段 的垂直平分线，得线段 的中点M；
②过点B作 垂线l；
方法2：如图所示，用圆规过点B作 垂线l．
③以点B为圆心，以 为半径作圆交l于N；
④连接 、 ，以N为圆心，以 为半径作圆交 于P；
⑤以点A为圆心，以 为半径作圆交 于C．
（3）解：设 ，由以上作法可知 ， ，
在 中， ，
∴ ．
∴ ，所以点C是线段 的黄金分割点
【知识点】勾股定理；黄金分割
【解析】【分析】（1）设 ， ，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案；
（2）根据要求作图即可；
（3）设 ，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可。
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