2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 比例线段 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·礼泉期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1 ，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1 ，2，3，6 D．1 ，3，4，7
3．（2023九上·余姚期末）已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
4．（2023九上·杭州期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·金牛期末）若（），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·嵊州期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·晋中期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
8．（2023九上·鄞州期末）已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·镇海区期末）已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
10．（2023九上·温州期末）已知线段a=2，b=8，则a，b的比例中项线段长是 ．
11．（2023九上·鄞州期末）若，则 .
12．（2023九上·成都期末）黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm．（结果保留根号）
13．（2022九上·即墨期末）黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8米，则宽约为 米．（结果精确到0.1）
三、计算题
14．（20212九上·义乌期末）已知，求的值.
四、解答题
15．（2022九上·余杭月考）已知.
判断是否成立，并说明理由.
16．（2022九上·怀宁月考）a，b，c为的三边长，且，，求的面积．
五、综合题
17．（2022九上·长兴月考）已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
18．（2022九上·蚌山期中）
（1）已知，且，求a值．
（2）已知线段cm，线段cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的特点可得AP=AB进行计算.
2．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故A不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，故B不符合题意；
C、1×6=2×3，故C符合题意；
D、1×7≠3×4，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用成比例线段的特征，最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的积，再对各选项逐一判断.
3．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，
∵ a=3，b=12 ，
∴c2=36，
∴c=6.
故答案为：C.
【分析】设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，进而代值计算即可.
4．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=4k，b=7k，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质设a=4k，b=7k，进而代入所求式子，分母合并同类项后再约分即可.
5．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴4x=3y，故此选项正确，符合题意；
B、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
C、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴xy=12，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，将各个选项中的比例式，变形为等积式，与题干给的等积式进行比较即可判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确.
故答案为：A.
【分析】根据作图可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=AB，设DB=EF=a，则AB=2a，AD=a，AF=AD-DF=a-a，则，据此解答.
7．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：，黄金分割数的近似值为0.618，
体现了“黄金分割”．
故答案为：D．
【分析】利用“黄金分割”的定义求解即可。
8．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质，设a=2x，b=3x，将a=2x与b=3x代入A选项的左边，合并并约分后即可判断A选项；将a=2x与b=3x代入B选项的右边，分子、分母分别提取公因式分解因式约分后即可判断B选项；将a=2x与b=3x代入C选项的左边与右边，分别计算后即可判断C选项；将a=2x与b=3x代入D选项的左边与右边，分别约分后即可判断D选项.
9．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，
∴，的比例中项线段长等于，
故答案为.
【分析】根据比例中项的概念可得：a、b的比例中项为，据此计算.
10．【答案】4
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设a，b的比例中项线段长c，
则c2=ab=2×8，即c2=16，
∴c=4（负根已舍）.
即a，b的比例中项线段长为4.
故答案为：4.
【分析】设a，b的比例中项线段长c，根据比例的性质可得c2=ab，进而代值求解即可.
11．【答案】
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据等比的性质用含b的式子表示出a，含d的式子表示出c，含f的式子表示出e，再分别代入待求式子，分子提取公因式后约分化简即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设该演员的上半身长为xm，根据题意得
解之：，
经检验是方程的根，
故答案为：
【分析】利用当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，可得到此时的身高，设该演员的上半身长为xm，根据上半身长：下半身长，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
13．【答案】1.1
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故答案为：D．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
14．【答案】解：∵，
∴设a=k，则b=4k，
∴=.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】由题意可设a=k，b=4k，把a、b的值代入所求代数式计算即可求解.
15．【答案】解：比例式成立. 理由如下：
∵ ，∴ ，
∴1－ ＝1－ ，
即
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】利用比例的性质可得到，可得到，再将等式的两边通分即可证得结论.
16．【答案】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
∴
∴是直角三角形
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形 ，然后利用三角形的面积公式计算即可.
17．【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
18．【答案】（1）解：设
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为12；
（2）解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，
∵，，，
∴，
故线段的长为6cm．
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）设，则，，，将a、b、c的值代入求出，再求出a的值即可；
（2）利用比例线段的性质可得，再将数据代入求出c的值即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 比例线段 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的特点可得AP=AB进行计算.
2．（2023九上·礼泉期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1 ，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1 ，2，3，6 D．1 ，3，4，7
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故A不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，故B不符合题意；
C、1×6=2×3，故C符合题意；
D、1×7≠3×4，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用成比例线段的特征，最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的积，再对各选项逐一判断.
3．（2023九上·余姚期末）已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，
∵ a=3，b=12 ，
∴c2=36，
∴c=6.
故答案为：C.
【分析】设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，进而代值计算即可.
4．（2023九上·杭州期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=4k，b=7k，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质设a=4k，b=7k，进而代入所求式子，分母合并同类项后再约分即可.
5．（2023九上·金牛期末）若（），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴4x=3y，故此选项正确，符合题意；
B、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
C、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴xy=12，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，将各个选项中的比例式，变形为等积式，与题干给的等积式进行比较即可判断得出答案.
6．（2023九上·嵊州期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确.
故答案为：A.
【分析】根据作图可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=AB，设DB=EF=a，则AB=2a，AD=a，AF=AD-DF=a-a，则，据此解答.
7．（2022九上·晋中期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：，黄金分割数的近似值为0.618，
体现了“黄金分割”．
故答案为：D．
【分析】利用“黄金分割”的定义求解即可。
8．（2023九上·鄞州期末）已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质，设a=2x，b=3x，将a=2x与b=3x代入A选项的左边，合并并约分后即可判断A选项；将a=2x与b=3x代入B选项的右边，分子、分母分别提取公因式分解因式约分后即可判断B选项；将a=2x与b=3x代入C选项的左边与右边，分别计算后即可判断C选项；将a=2x与b=3x代入D选项的左边与右边，分别约分后即可判断D选项.
二、填空题
9．（2023九上·镇海区期末）已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，
∴，的比例中项线段长等于，
故答案为.
【分析】根据比例中项的概念可得：a、b的比例中项为，据此计算.
10．（2023九上·温州期末）已知线段a=2，b=8，则a，b的比例中项线段长是 ．
【答案】4
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设a，b的比例中项线段长c，
则c2=ab=2×8，即c2=16，
∴c=4（负根已舍）.
即a，b的比例中项线段长为4.
故答案为：4.
【分析】设a，b的比例中项线段长c，根据比例的性质可得c2=ab，进而代值求解即可.
11．（2023九上·鄞州期末）若，则 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据等比的性质用含b的式子表示出a，含d的式子表示出c，含f的式子表示出e，再分别代入待求式子，分子提取公因式后约分化简即可得出答案.
12．（2023九上·成都期末）黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设该演员的上半身长为xm，根据题意得
解之：，
经检验是方程的根，
故答案为：
【分析】利用当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，可得到此时的身高，设该演员的上半身长为xm，根据上半身长：下半身长，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
13．（2022九上·即墨期末）黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8米，则宽约为 米．（结果精确到0.1）
【答案】1.1
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故答案为：D．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
三、计算题
14．（20212九上·义乌期末）已知，求的值.
【答案】解：∵，
∴设a=k，则b=4k，
∴=.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】由题意可设a=k，b=4k，把a、b的值代入所求代数式计算即可求解.
四、解答题
15．（2022九上·余杭月考）已知.
判断是否成立，并说明理由.
【答案】解：比例式成立. 理由如下：
∵ ，∴ ，
∴1－ ＝1－ ，
即
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】利用比例的性质可得到，可得到，再将等式的两边通分即可证得结论.
16．（2022九上·怀宁月考）a，b，c为的三边长，且，，求的面积．
【答案】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
∴
∴是直角三角形
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形 ，然后利用三角形的面积公式计算即可.
五、综合题
17．（2022九上·长兴月考）已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
18．（2022九上·蚌山期中）
（1）已知，且，求a值．
（2）已知线段cm，线段cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
【答案】（1）解：设
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为12；
（2）解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，
∵，，，
∴，
故线段的长为6cm．
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）设，则，，，将a、b、c的值代入求出，再求出a的值即可；
（2）利用比例线段的性质可得，再将数据代入求出c的值即可。
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