2023-2024学年初中数学九年级上册 25.2 平行线分线段成比例 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·原平模拟）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例进行解答即可.
2．（2023九下·江都）如图，，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】由平行线分线段成比例定理即可一一判断得出答案.
3．（2023·福田模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图4所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：根据平行线分线段成比例定理得，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算。
4．（2023九下·鹿城月考）如图，在矩形中，，延长至点，使得，以为直径的半圆交延长线于点.欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形的面积等于的平方（即）.现连接并延长交于点，若，则与矩形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，∵OF=2OG，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴，
∴CF=2BC，
设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，
∵DE是半圆O的直径，
∴DE=2OE=2（a+b），
∴DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，
∴S矩形ABCD=DC·BC=（a+2b）a，
∵S矩形ABCD=CF2=（2a）2=4a2，
∴4a2=a(a+2b），
∴b=，
∵S△OCF=OC·CF=b·2a=，
∴S△OCF∶S矩形ABCD=.
故答案为：B.
【分析】由矩形对边平行得CD∥AB，由平行线分线段成比例及已知得，则CF=2BC，设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，DE=2OE=2（a+b），由线段的和差得DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，由矩形的面积计算公式及已知得4a2=a(a+2b），则b=，然后用含a的式子表示出三角形OCF的面积，从而此题得解了.
5．（2023·福田模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵点A、B、C均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
6．（2023·香坊模拟）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A．∵是的中位线，
∴，，，
∴，故A不符合题意；
B．∵，
∴点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C．∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，故C符合题意；
D．∵，，
∴，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据 是的中位线 ， ， 再结合图形，对每个选项一一判断即可。
7．（2023·南岗模拟）如图，在中，点D，E分别在边，上，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例求出，再求出EC=6cm，最后计算求解即可。
8．（2023九下·青秀月考）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点E的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：在上截取，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，，
∴，，
∵，，
∴ 四边形是平行四边形，
∴，
∵为定值，
∴当共线时四边形的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为.
【分析】在BC上截取BH=3，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，HE，由题意根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BHEF是平行四边形，则BF=HE；结合已知可得：当共线时四边形BDEF的周长最小，根据平行线分线段成比例可得比例式求出OE的值，于是点E的坐标可求解.
二、填空题
9．（2023·惠水模拟）如图，直线，分别交直线、于点，，，，，若，，则的长为 .
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：，，
，即，
解得，
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例可得，据此即可求解.
10．（2023·北京）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
11．（2023·十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．
【答案】6
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∵菱形ABCD的面积为24，BD=8，
∴AC·BD=24，
∴AC=6，
∴AO=3，BO=3，
∴AB=5.
∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，
∴AE=DH=DG=FC，
∴EF∥AC∥HG，
∴，.
设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，
∴，，
∴，
∴EF+HG=6.
故答案为：6.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知条件可知BE=BF=CG=AH，则AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，接下来根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
12．（2023九下·江岸月考）如图，点D、E、F、G分别在锐角ΔABC的边上，四边形DEGF为矩形，DE=2DF，，BF+CG=，则 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过A作AM⊥BC，交DE于点N，交BC于点M，
设DF=x，则DE=2x.
∵四边形DEGF为矩形，
∴DE∥BC，
∴.
∵S△ADE=DE·AN=6，
∴·2x·AN=6，
∴AN=，
∴BC=FG+BF+GC=2x+，AM=AN+NM=+x，
∴，
解得x=2，
∴BC=2x+=，AM=+x=5，
∴S△ABC=BC·AM=××5=.
故答案为：.
【分析】过A作AM⊥BC，交DE于点N，交BC于点M，设DF=x，则DE=2x，由矩形的性质可得DE∥BC，根据平行线分线段成比例的性质可得，由三角形的面积公式可得AN，然后表示出BC、AM，代入可得x的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
三、解答题
13．（2023九上·西安期末）如图，在中，，若，求的长.
【答案】解：∵，且，
∴，即，
解得：，
∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据可得AE的值，然后根据EC=AC-AE进行计算.
14．（2022九上·杨浦期中）如图，梯形中，，点E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，交于点G．求证：．
【答案】证明：∵ ，∴ ， ．
∵点E是边 的中点，∴ ．
∴ ．∴ ．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，根据线段中点定义得出AE=DE，从而得出，即可证出EF·GB=BF·GE.
四、作图题
15．（2023·宁波模拟）在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，的顶点都是格点，请用无刻度的直尺作图．
（1）在图1中AB边上画点D，使得．
（2）在图2中作的高CE．
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）法一：根据△ABC的BC边上的高为4，利用平行线分线段成比例定理，可作出点D，使AD=3BD；法二：利用△BDM∽ADN，作出AD=3BD.
（2）利用△BAH∽△CFB，推出∠BEF=90°，即为高CE.
五、综合题
16．（2023·拱墅模拟）如图，在矩形ABCD中，AB
（1）求证：DF=AB．
（2）连接BF，若BE=6，CE=3，求线段BF的长．
【答案】（1）证明：因为在矩形ABCD中，AD∥BC，
所以∠DAF＝∠AEB．
因为DF⊥AE，
所以∠DFA＝∠B＝90°．
由题意得，AD＝AE，
所以△ADF≌△EAB，
所以DF＝AB．
（2）解：因为在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC，
所以AD＝6＋3＝9．
所以AE＝AD＝9，
所以
因为△ADF≌△EAB，
所以AF＝BE＝6，
所以FE＝3．
作FG⊥BC于点G，则FG∥AB，
所以，
所以GE＝2，BG＝4，
所以，
所以
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠DAF＝∠AEB，利用垂直的定义证明∠DFA＝∠ABE=90°，利用AAS可证得△ADF≌△EAB，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用已知可求出AD，AE的长，利用勾股定理求出AB的长，再利用全等三角形的性质可得到AF的长，即可求出EF的长；作FG⊥BC于点G，则FG∥AB，利用平行线分线段成比例定理可求出GE，BG的长；然后利用勾股定理先求出FG的长，然后求出BF的长.
17．（2023·亳州模拟）如图，中，于点E，点F是上一点，连接并延长交于点D，于点G，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求线段的长．
【答案】（1）证明：如图1，过点E作，交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点E作，垂足为M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点A、C、G、E四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.2 平行线分线段成比例 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·原平模拟）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023九下·江都）如图，，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福田模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图4所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2023九下·鹿城月考）如图，在矩形中，，延长至点，使得，以为直径的半圆交延长线于点.欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形的面积等于的平方（即）.现连接并延长交于点，若，则与矩形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·福田模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2023·香坊模拟）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·南岗模拟）如图，在中，点D，E分别在边，上，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九下·青秀月考）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点E的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·惠水模拟）如图，直线，分别交直线、于点，，，，，若，，则的长为 .
10．（2023·北京）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
11．（2023·十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．
12．（2023九下·江岸月考）如图，点D、E、F、G分别在锐角ΔABC的边上，四边形DEGF为矩形，DE=2DF，，BF+CG=，则 .
三、解答题
13．（2023九上·西安期末）如图，在中，，若，求的长.
14．（2022九上·杨浦期中）如图，梯形中，，点E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，交于点G．求证：．
四、作图题
15．（2023·宁波模拟）在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，的顶点都是格点，请用无刻度的直尺作图．
（1）在图1中AB边上画点D，使得．
（2）在图2中作的高CE．
五、综合题
16．（2023·拱墅模拟）如图，在矩形ABCD中，AB（1）求证：DF=AB．
（2）连接BF，若BE=6，CE=3，求线段BF的长．
17．（2023·亳州模拟）如图，中，于点E，点F是上一点，连接并延长交于点D，于点G，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例进行解答即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】由平行线分线段成比例定理即可一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：根据平行线分线段成比例定理得，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算。
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，∵OF=2OG，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴，
∴CF=2BC，
设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，
∵DE是半圆O的直径，
∴DE=2OE=2（a+b），
∴DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，
∴S矩形ABCD=DC·BC=（a+2b）a，
∵S矩形ABCD=CF2=（2a）2=4a2，
∴4a2=a(a+2b），
∴b=，
∵S△OCF=OC·CF=b·2a=，
∴S△OCF∶S矩形ABCD=.
故答案为：B.
【分析】由矩形对边平行得CD∥AB，由平行线分线段成比例及已知得，则CF=2BC，设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，DE=2OE=2（a+b），由线段的和差得DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，由矩形的面积计算公式及已知得4a2=a(a+2b），则b=，然后用含a的式子表示出三角形OCF的面积，从而此题得解了.
5．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵点A、B、C均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A．∵是的中位线，
∴，，，
∴，故A不符合题意；
B．∵，
∴点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C．∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，故C符合题意；
D．∵，，
∴，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据 是的中位线 ， ， 再结合图形，对每个选项一一判断即可。
7．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例求出，再求出EC=6cm，最后计算求解即可。
8．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：在上截取，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，，
∴，，
∵，，
∴ 四边形是平行四边形，
∴，
∵为定值，
∴当共线时四边形的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为.
【分析】在BC上截取BH=3，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，HE，由题意根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BHEF是平行四边形，则BF=HE；结合已知可得：当共线时四边形BDEF的周长最小，根据平行线分线段成比例可得比例式求出OE的值，于是点E的坐标可求解.
9．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：，，
，即，
解得，
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例可得，据此即可求解.
10．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
又∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
11．【答案】6
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∵菱形ABCD的面积为24，BD=8，
∴AC·BD=24，
∴AC=6，
∴AO=3，BO=3，
∴AB=5.
∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，
∴AE=DH=DG=FC，
∴EF∥AC∥HG，
∴，.
设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，
∴，，
∴，
∴EF+HG=6.
故答案为：6.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知条件可知BE=BF=CG=AH，则AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，接下来根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过A作AM⊥BC，交DE于点N，交BC于点M，
设DF=x，则DE=2x.
∵四边形DEGF为矩形，
∴DE∥BC，
∴.
∵S△ADE=DE·AN=6，
∴·2x·AN=6，
∴AN=，
∴BC=FG+BF+GC=2x+，AM=AN+NM=+x，
∴，
解得x=2，
∴BC=2x+=，AM=+x=5，
∴S△ABC=BC·AM=××5=.
故答案为：.
【分析】过A作AM⊥BC，交DE于点N，交BC于点M，设DF=x，则DE=2x，由矩形的性质可得DE∥BC，根据平行线分线段成比例的性质可得，由三角形的面积公式可得AN，然后表示出BC、AM，代入可得x的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
13．【答案】解：∵，且，
∴，即，
解得：，
∴
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据可得AE的值，然后根据EC=AC-AE进行计算.
14．【答案】证明：∵ ，∴ ， ．
∵点E是边 的中点，∴ ．
∴ ．∴ ．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，根据线段中点定义得出AE=DE，从而得出，即可证出EF·GB=BF·GE.
15．【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）法一：根据△ABC的BC边上的高为4，利用平行线分线段成比例定理，可作出点D，使AD=3BD；法二：利用△BDM∽ADN，作出AD=3BD.
（2）利用△BAH∽△CFB，推出∠BEF=90°，即为高CE.
16．【答案】（1）证明：因为在矩形ABCD中，AD∥BC，
所以∠DAF＝∠AEB．
因为DF⊥AE，
所以∠DFA＝∠B＝90°．
由题意得，AD＝AE，
所以△ADF≌△EAB，
所以DF＝AB．
（2）解：因为在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC，
所以AD＝6＋3＝9．
所以AE＝AD＝9，
所以
因为△ADF≌△EAB，
所以AF＝BE＝6，
所以FE＝3．
作FG⊥BC于点G，则FG∥AB，
所以，
所以GE＝2，BG＝4，
所以，
所以
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠DAF＝∠AEB，利用垂直的定义证明∠DFA＝∠ABE=90°，利用AAS可证得△ADF≌△EAB，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用已知可求出AD，AE的长，利用勾股定理求出AB的长，再利用全等三角形的性质可得到AF的长，即可求出EF的长；作FG⊥BC于点G，则FG∥AB，利用平行线分线段成比例定理可求出GE，BG的长；然后利用勾股定理先求出FG的长，然后求出BF的长.
17．【答案】（1）证明：如图1，过点E作，交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点E作，垂足为M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点A、C、G、E四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
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