2023-2024学年初中数学九年级上册 25.2 平行线分线段成比例 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·深圳期末）如图，已知直线a//b//c，若AB=2，BC=3，EF=2.5，则DE=（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九下·萧山期中）如图，，，相交于点若，，：（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
3．（2023·奉贤模拟）在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·徐汇模拟）如图，，若，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·永年期中）如图：已知 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·三明模拟）如图，，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
7．（2023八下·镇海区期中）如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·鄞州期末）如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M.若，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
9．（2023·耿马模拟）如图， 在O ABC中，DE//AB，BE= 2，CE= 6，AD= 2.5，则AC的长为
10．（2023·奉贤模拟）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是 ．
11．（2022八上·金东月考）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠ABC＝20°，O为斜边的中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为 ．
12．（2023八下·宜兴月考）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接．若点恰好是中点时，则 ．
三、解答题
13．（2022八下·龙岗期末）如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：．
14．（2022九下·淮南月考）如图，已知中，，求BD的长.
四、作图题
15．（2023·洪山模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
⑴在图（1）中画的高；
⑵在图（1）的线段上画一点，使得：：；
⑶在图（2）中点的右侧画一点，使且．
五、综合题
16．（2023·江西）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线，垂足为．
求证：是菱形．
（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．
①求证：是菱形；
②延长至点，连接交于点，若，求的值．
17．（2023·文成模拟）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.
（1）在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边，上，且与互相平分.
（2）在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边，上，且要求分为两部分.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵a//b//c，AB=2，BC=3，AC=5，EF=2.5，
设DE=x，则CD=x+2.5，
，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用三条直线平行，对应线段成比例，设出DE的长度，知道DF的长，由题意得：AC长为5，AC与DF线成比例则知道DE的长度.
2．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=1，CD=2，
∴AB：CD=BO：CO=1：2.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得AB：CD=BO：CO，据此解答.
3．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：假设，
，，
，，
C不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：＝，
，
故A不符合题意；
l1∥l2∥l3，且＝，
，
故B不符合题意；
故D不符合题意；
根据已知条件不能求出的值，故C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由题可知 ， ，
题目未说明平行线AD与BE之间的距离是否和平行线BE和CF之间的距离相等，所以无法判断AB是否等于BC，故A不符合题意；
∵BC和AD的关系无法判断，故B不符合题意；
由平行可知， ，
又∵ ，
∴ ，故C符合题意；
∵ ，而BC与AB的关系无法确定，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】由平行线分线段成比例的性质可得，据此求解.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设EC、AF交于点I，连接DI，
，
DE=DC=AB=BG，AE=BF=DH=CG，
由DE=DC，得到为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
AE=AI，
，
AI=BF，
AB=IF，，
四边形DIFC为平行四边形，
OI=OC，OD=OF，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】如图，设EC、AF交于点I，连接DI，证明出四边形DIFC为平行四边形，得到，再根据 ，推出EI与EC的比，即得出AI与DC的比，即可得出结果.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点M作于点N，设与交与点K，如图，
四边形是正方形，
，，
，
.
由题意得：，
，.
.
，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
，
.
，，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，根据正方形的性质可得HE=HG=GF=EF，AH∥GF，由已知条件可知AH=GH，则AH=HE=GF=EF，由题意得△ABE≌△BCF≌△ADH≌△CDG，则BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG，推出BE=EF=GF=FC，根据等腰三角形的性质可得∠BAE=∠FAE，则∠DCG=∠FAE，由平行线的性质可得∠FAE=∠GFK，进而推出MF=MC，由等腰三角形的性质可得CN=NF，则CN=CG，然后根据平行线分线段成比例的性质进行计算.
9．【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵DE//AB，BE= 2，CE= 6，AD= 2.5 ，
∴，即，
∴CD=7.5，
∴AC=AD+CD=10；
故答案为：10.
【分析】根据平行线分线段成比例可得CD的长，利用AC=AD+CD即可求解.
10．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，，再求出即可。
11．【答案】40或100或70
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称图形；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵△BCP恰为轴对称图形，
∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，
∵O为斜边中点，OP＝OA，
∴BO＝OP＝OA，
∴∠APB＝90°，
当BC＝BP时，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP＝∠BPC+∠APC＝90°，
∴∠ACP＝∠APC，
∴AC＝AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP＝∠ABC＝20°，
∴θ＝2×20°＝40，
当BC＝PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，
∵BC＝CP，BO＝PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠BCH＝∠ABC＝20°，
∴∠CBH＝70°，
∴∠OBH＝50°，
∴θ＝2×50°＝100；
当PB＝PC时，如图3，
连接PO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB＝90°，O为斜边中点，
∴OB＝OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴θ＝∠BOG＝70，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40或100或70.
故答案为：40或100或70.
【分析】由题意可得：△BCP是等腰三角形，连接AP，根据中点的概念可得BO＝OP＝OA，则∠APB＝90°；当BC＝BP时，∠BCP＝∠BPC，推出AB垂直平分PC，得到∠ABP＝∠ABC＝20°，据此可得θ的度数；当BC＝PC时，连接CO并延长交PB于H，则CH垂直平分PB，由等腰三角形的性质可得∠BCH＝∠ABC＝20°，则∠CBH＝70°，∠OBH＝50°，据此计算；当PB＝PC时，连接PO并延长交BC于G，连接OC，则PG垂直平分BC，据此计算.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作OH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴△OBC、△OAB均为等腰直角三角形，
∴∠BOP+∠EOC=90°.
∵OQ⊥OP，
∴∠QOC+∠EOC=90°，
∴∠BOP=∠COQ.
∵∠ABO=∠OCB=45°，
∴∠OBP=∠OCQ=135°.
∵OC=OB，
∴△OBP≌△OCQ（ASA），
∴PO=QO，
∴△OPQ为等腰直角三角形.
∵OH⊥AB，EB⊥AB，
∴BE∥OH，
∴PB：BH=PE：OE.
∵OE=PE，
∴BH=PB.
∵△OAB为等腰直角三角形，OH⊥AB，
∴OH=BH=AB=1，
∴PB=BH=1，
∴PH=PB+BH=2，
∴OP==，
∴PQ=PO=.
故答案为：.
【分析】作OH⊥AB于点H，则△OBC、△OAB均为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得∠BOP=∠COQ，利用ASA证明△OBP≌△OCQ，得到PO=QO，推出△OPQ为等腰直角三角形，易得BE∥OH，根据平行线分线段成比例的性质可得BH=PB，由等腰直角三角形的性质可得OH=BH=AB=1，则PB=BH=1，PH=PB+BH=2，由勾股定理可得OP，进而可得PQ.
13．【答案】证明：作EH∥AC交BC于H，
∵点E为AD的中点，
∴DH＝HC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，又DH＝HC，
∴BH＝3HC，
∵EH∥AC，
∴，
∴EF＝BF．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行线分线段成比例
【解析】【分析】先求出 BH＝3HC， 再求出 ， 最后证明即可。
14．【答案】解：∵DE∥BC，
∴AD：AB=AE：AC，
又∵BD=AE，AD=8，AC=6，
∴AB=8+BD，
∴8：(8+BD)=BD：6即BD2+8BD-48=0.
解得：BD=4或BD=-12（不合题意，舍去）
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得AD：AB=AE：AC， 据此即可求解.
15．【答案】解：解：⑴如图1中，线段即为所求作．
⑵如图2中，点即为所求作．
⑶如图2中，线段即为所求作．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；平行线分线段成比例；作图-垂线
【解析】【分析】（1）取格点P，连接CP与AB的交点即为H，则高为CH；
（2）将BC分成2：3两部分，过该点作AB的平行线，与AC的交点即为点D；
（3）取格线的中点R，连接CR，取格点K，格线的中点J，连接KJ交CR于点F，线段CF即为所求.
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵
∴，
在中，
∴
∴，
同理可得，则，
又∵
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点作交于点，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，从而判定四边形ABCD是菱形；
（2）①在△AOD中，利用三边长度，根据勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；②如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G， 可得：，所以，要求只需求即可，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD，结合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根据三角形中位线定理的推论，得出，从而得出，所以。
17．【答案】（1）解：如图1或图2，即为所求.
如图1：根据勾股定理可得：，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分.
如图2：根据勾股定理可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分.
（2）解：如图∶
∵，
∴点G、H、为EI的三等分点，
∵，
∴点J、K为EF的三点等分点，
过EF的三等分点画出MN即可.
如图，M1N1、M2N2、M3N3即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）答案不唯一，将点E向下平移四个单位长度后的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；或将点E向下平移四个单位长度后再向右平移一个单位长度的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后再向左平移一个单位长度的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；
（2）易得JG∥KH∥FI，由平行线等分线段定理得 点J、K为EF的三点等分点， 过EF的三等分点画出MN即可.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.2 平行线分线段成比例 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·深圳期末）如图，已知直线a//b//c，若AB=2，BC=3，EF=2.5，则DE=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵a//b//c，AB=2，BC=3，AC=5，EF=2.5，
设DE=x，则CD=x+2.5，
，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用三条直线平行，对应线段成比例，设出DE的长度，知道DF的长，由题意得：AC长为5，AC与DF线成比例则知道DE的长度.
2．（2023九下·萧山期中）如图，，，相交于点若，，：（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=1，CD=2，
∴AB：CD=BO：CO=1：2.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得AB：CD=BO：CO，据此解答.
3．（2023·奉贤模拟）在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：假设，
，，
，，
C不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
4．（2023·徐汇模拟）如图，，若，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：＝，
，
故A不符合题意；
l1∥l2∥l3，且＝，
，
故B不符合题意；
故D不符合题意；
根据已知条件不能求出的值，故C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
5．（2020九上·永年期中）如图：已知 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由题可知 ， ，
题目未说明平行线AD与BE之间的距离是否和平行线BE和CF之间的距离相等，所以无法判断AB是否等于BC，故A不符合题意；
∵BC和AD的关系无法判断，故B不符合题意；
由平行可知， ，
又∵ ，
∴ ，故C符合题意；
∵ ，而BC与AB的关系无法确定，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可.
6．（2023九上·三明模拟）如图，，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】由平行线分线段成比例的性质可得，据此求解.
7．（2023八下·镇海区期中）如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设EC、AF交于点I，连接DI，
，
DE=DC=AB=BG，AE=BF=DH=CG，
由DE=DC，得到为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
AE=AI，
，
AI=BF，
AB=IF，，
四边形DIFC为平行四边形，
OI=OC，OD=OF，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】如图，设EC、AF交于点I，连接DI，证明出四边形DIFC为平行四边形，得到，再根据 ，推出EI与EC的比，即得出AI与DC的比，即可得出结果.
8．（2023八上·鄞州期末）如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M.若，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点M作于点N，设与交与点K，如图，
四边形是正方形，
，，
，
.
由题意得：，
，.
.
，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
，
.
，，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，根据正方形的性质可得HE=HG=GF=EF，AH∥GF，由已知条件可知AH=GH，则AH=HE=GF=EF，由题意得△ABE≌△BCF≌△ADH≌△CDG，则BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG，推出BE=EF=GF=FC，根据等腰三角形的性质可得∠BAE=∠FAE，则∠DCG=∠FAE，由平行线的性质可得∠FAE=∠GFK，进而推出MF=MC，由等腰三角形的性质可得CN=NF，则CN=CG，然后根据平行线分线段成比例的性质进行计算.
二、填空题
9．（2023·耿马模拟）如图， 在O ABC中，DE//AB，BE= 2，CE= 6，AD= 2.5，则AC的长为
【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵DE//AB，BE= 2，CE= 6，AD= 2.5 ，
∴，即，
∴CD=7.5，
∴AC=AD+CD=10；
故答案为：10.
【分析】根据平行线分线段成比例可得CD的长，利用AC=AD+CD即可求解.
10．（2023·奉贤模拟）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，，再求出即可。
11．（2022八上·金东月考）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠ABC＝20°，O为斜边的中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为 ．
【答案】40或100或70
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称图形；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵△BCP恰为轴对称图形，
∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，
∵O为斜边中点，OP＝OA，
∴BO＝OP＝OA，
∴∠APB＝90°，
当BC＝BP时，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP＝∠BPC+∠APC＝90°，
∴∠ACP＝∠APC，
∴AC＝AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP＝∠ABC＝20°，
∴θ＝2×20°＝40，
当BC＝PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，
∵BC＝CP，BO＝PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠BCH＝∠ABC＝20°，
∴∠CBH＝70°，
∴∠OBH＝50°，
∴θ＝2×50°＝100；
当PB＝PC时，如图3，
连接PO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB＝90°，O为斜边中点，
∴OB＝OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴θ＝∠BOG＝70，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40或100或70.
故答案为：40或100或70.
【分析】由题意可得：△BCP是等腰三角形，连接AP，根据中点的概念可得BO＝OP＝OA，则∠APB＝90°；当BC＝BP时，∠BCP＝∠BPC，推出AB垂直平分PC，得到∠ABP＝∠ABC＝20°，据此可得θ的度数；当BC＝PC时，连接CO并延长交PB于H，则CH垂直平分PB，由等腰三角形的性质可得∠BCH＝∠ABC＝20°，则∠CBH＝70°，∠OBH＝50°，据此计算；当PB＝PC时，连接PO并延长交BC于G，连接OC，则PG垂直平分BC，据此计算.
12．（2023八下·宜兴月考）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接．若点恰好是中点时，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作OH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴△OBC、△OAB均为等腰直角三角形，
∴∠BOP+∠EOC=90°.
∵OQ⊥OP，
∴∠QOC+∠EOC=90°，
∴∠BOP=∠COQ.
∵∠ABO=∠OCB=45°，
∴∠OBP=∠OCQ=135°.
∵OC=OB，
∴△OBP≌△OCQ（ASA），
∴PO=QO，
∴△OPQ为等腰直角三角形.
∵OH⊥AB，EB⊥AB，
∴BE∥OH，
∴PB：BH=PE：OE.
∵OE=PE，
∴BH=PB.
∵△OAB为等腰直角三角形，OH⊥AB，
∴OH=BH=AB=1，
∴PB=BH=1，
∴PH=PB+BH=2，
∴OP==，
∴PQ=PO=.
故答案为：.
【分析】作OH⊥AB于点H，则△OBC、△OAB均为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得∠BOP=∠COQ，利用ASA证明△OBP≌△OCQ，得到PO=QO，推出△OPQ为等腰直角三角形，易得BE∥OH，根据平行线分线段成比例的性质可得BH=PB，由等腰直角三角形的性质可得OH=BH=AB=1，则PB=BH=1，PH=PB+BH=2，由勾股定理可得OP，进而可得PQ.
三、解答题
13．（2022八下·龙岗期末）如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：．
【答案】证明：作EH∥AC交BC于H，
∵点E为AD的中点，
∴DH＝HC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，又DH＝HC，
∴BH＝3HC，
∵EH∥AC，
∴，
∴EF＝BF．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行线分线段成比例
【解析】【分析】先求出 BH＝3HC， 再求出 ， 最后证明即可。
14．（2022九下·淮南月考）如图，已知中，，求BD的长.
【答案】解：∵DE∥BC，
∴AD：AB=AE：AC，
又∵BD=AE，AD=8，AC=6，
∴AB=8+BD，
∴8：(8+BD)=BD：6即BD2+8BD-48=0.
解得：BD=4或BD=-12（不合题意，舍去）
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得AD：AB=AE：AC， 据此即可求解.
四、作图题
15．（2023·洪山模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
⑴在图（1）中画的高；
⑵在图（1）的线段上画一点，使得：：；
⑶在图（2）中点的右侧画一点，使且．
【答案】解：解：⑴如图1中，线段即为所求作．
⑵如图2中，点即为所求作．
⑶如图2中，线段即为所求作．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；平行线分线段成比例；作图-垂线
【解析】【分析】（1）取格点P，连接CP与AB的交点即为H，则高为CH；
（2）将BC分成2：3两部分，过该点作AB的平行线，与AC的交点即为点D；
（3）取格线的中点R，连接CR，取格点K，格线的中点J，连接KJ交CR于点F，线段CF即为所求.
五、综合题
16．（2023·江西）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线，垂足为．
求证：是菱形．
（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．
①求证：是菱形；
②延长至点，连接交于点，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∵
∴，
在中，
∴
∴，
同理可得，则，
又∵
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，过点作交于点，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，从而判定四边形ABCD是菱形；
（2）①在△AOD中，利用三边长度，根据勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；②如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G， 可得：，所以，要求只需求即可，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD，结合已知，可得∠E=∠CDE，所以，再根据三角形中位线定理的推论，得出，从而得出，所以。
17．（2023·文成模拟）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.
（1）在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边，上，且与互相平分.
（2）在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边，上，且要求分为两部分.
【答案】（1）解：如图1或图2，即为所求.
如图1：根据勾股定理可得：，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分.
如图2：根据勾股定理可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分.
（2）解：如图∶
∵，
∴点G、H、为EI的三等分点，
∵，
∴点J、K为EF的三点等分点，
过EF的三等分点画出MN即可.
如图，M1N1、M2N2、M3N3即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）答案不唯一，将点E向下平移四个单位长度后的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；或将点E向下平移四个单位长度后再向右平移一个单位长度的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后再向左平移一个单位长度的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；
（2）易得JG∥KH∥FI，由平行线等分线段定理得 点J、K为EF的三点等分点， 过EF的三等分点画出MN即可.
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