2023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 相似三角形同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：3
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴两个相似三角形的面积之比为.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
2．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，可得，
即
解得AE＝；
当△AED∽△ABC，得，
即
解得AE=3，
综上AE的长为：3或.
故答案为：D.
【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC，当△AED∽△ABC，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可．
3．（2022九上·柯城月考）如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，
，
.，，，
设AP的长为x，则BP长为8-x.
若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得或.
满足条件的点的个数是3个，
故答案为：C.
【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，设AP的长为x，则BP长为8-x，此题分两种情况：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可得出满足条件的点P的个数.
4．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF
∴相似比为：，
△ABC的周长为：，
∴△DEF的周长为：，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
5．（2022九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
6．（2021九上·高邑期中）如图所示， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合 ， ，可求出。
7．△ABC与△DEF的周长之比为4：9，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：4
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF的周长之比为4：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为4：9，
故选：B．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
8．（2022九上·东阳月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．AC2＝AD AB B．BC2＝BD BA C．CD2＝AD DB D．CD2＝CA CB
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA．
故答案为：D.
【分析】直接根据射影定理结论，即AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA，对各选项进行判断即可.
二、填空题
9．（2022九上·杨浦期中）如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们对应高之比为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为3：4，
∴它们对应高之比为：2.
故答案为：：2.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出答案.
10．（2023九上·沭阳期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是 .
【答案】4或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当△ADE∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝；
当△AED∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝4，
综上所述，AD的长为4或.
故答案为：4或.
【分析】分△ADE∽△ABC、△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
11．（2022·路北模拟）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：= ；
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间t=
【答案】（1）16-3t
（2）秒或4秒
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可知：，
（2）连接PQ，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴当时，，即，解得
当时，，即，解得t=4．
∴运动时间为秒或4秒．
故答案为：16-3t；秒或4秒
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）分类讨论：①当时，，②当时，，再分别列出比例式求解即可。
12．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 .
【答案】16cm
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.
故答案为：16cm.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.
13．（2023九上·崇左期末）如图，、交于点，且，，，当 时，与相似.
【答案】54或37.5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当△AOC∽△BOD时，
∴
当△AOC∽△DOB时，
∴
综上得：OA=54或37.5
故答案为：54或37.5.
【分析】分△AOC∽△BOD、△AOC∽△DOB，然后根据相似三角形的对应边成比例进行求解.
三、解答题
14．（2022九上·温州期中）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．
【答案】解：∵△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：DE，
∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，
∴15：（15+3）＝12：DE，
解得DE＝ ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得AB∶AD＝BC∶DE，然后将已知条件代入计算即可.
15．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.
【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
又∵△ADE的面积是1，
∴S四边形
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.
四、作图题
16．（2023九上·义乌期末）如图，在的方格中，点A、B、C均在格点上.（要求：①只用无刻度的直尺按要求作图，各画出一条即可；②所作的点P，点Q均在格点上；③先用铅笔画，再用签字笔描黑.）
（1）在图1作平分；
（2）在图2作垂直平分；
（3）在图3中作，与线段的交点为D，使.
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，作，且，则
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）理由：如图APBQ是矩形，
∴PQ、AB互相平分；
（2）理由：，
∴四边形APBQ是菱形，
又，则，
则是直角三角形，
∴四边形APBQ是正方形，
∴PQ垂直平分AB，
（3）理由如下，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分，作图即可；
（2）根据正方形的对角线互相垂直平分，作图即可；
（3）根据相似三角形对应边成比例作图即可.
五、综合题
17．（2022九上·西安月考）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为.
（1）当为何值时，的面积为？
（2）为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似.
【答案】（1）解：由题意知，，，
的面积为，
，
解得或，
，
时，的面积为；
（2）解：，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似，
或，
解得或，
或时，以A，，为顶点的三角形与相似.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，AQ=10-t，根据三角形的面积公式可得t的值，根据AP
（2）当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，然后代入求解即可.
18．（2022九上·西山期中）如图，一块三角形材料ABC中，，，cm，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上．
（1）若EF的长度为xcm，则 cm；（用含x的代数式表示）
（2）要使剪出的矩形CDEP的面积最大，则矩形的长、宽分别是多少？
【答案】（1）
（2）解：
当 时，S最大，这时矩形的宽为1.5米，长为 米
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）在 中
又 ， cm
∴ cm
∵
∴
又∵
∴
【分析】（1）利用锐角三角函数先求出 cm，再利用相似三角形的性质计算求解即可；
（2）利用矩形的面积公式计算求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 相似三角形同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：3
2．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
3．（2022九上·柯城月考）如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
5．（2022九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定
6．（2021九上·高邑期中）如图所示， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．△ABC与△DEF的周长之比为4：9，则△ABC与△DEF的相似比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：4
8．（2022九上·东阳月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．AC2＝AD AB B．BC2＝BD BA C．CD2＝AD DB D．CD2＝CA CB
二、填空题
9．（2022九上·杨浦期中）如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们对应高之比为 ．
10．（2023九上·沭阳期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是 .
11．（2022·路北模拟）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：= ；
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间t=
12．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 .
13．（2023九上·崇左期末）如图，、交于点，且，，，当 时，与相似.
三、解答题
14．（2022九上·温州期中）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．
15．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.
四、作图题
16．（2023九上·义乌期末）如图，在的方格中，点A、B、C均在格点上.（要求：①只用无刻度的直尺按要求作图，各画出一条即可；②所作的点P，点Q均在格点上；③先用铅笔画，再用签字笔描黑.）
（1）在图1作平分；
（2）在图2作垂直平分；
（3）在图3中作，与线段的交点为D，使.
五、综合题
17．（2022九上·西安月考）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为.
（1）当为何值时，的面积为？
（2）为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似.
18．（2022九上·西山期中）如图，一块三角形材料ABC中，，，cm，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上．
（1）若EF的长度为xcm，则 cm；（用含x的代数式表示）
（2）要使剪出的矩形CDEP的面积最大，则矩形的长、宽分别是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴两个相似三角形的面积之比为.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，可得，
即
解得AE＝；
当△AED∽△ABC，得，
即
解得AE=3，
综上AE的长为：3或.
故答案为：D.
【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC，当△AED∽△ABC，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可．
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，
，
.，，，
设AP的长为x，则BP长为8-x.
若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得或.
满足条件的点的个数是3个，
故答案为：C.
【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，设AP的长为x，则BP长为8-x，此题分两种情况：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可得出满足条件的点P的个数.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF
∴相似比为：，
△ABC的周长为：，
∴△DEF的周长为：，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合 ， ，可求出。
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF的周长之比为4：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为4：9，
故选：B．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA．
故答案为：D.
【分析】直接根据射影定理结论，即AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA，对各选项进行判断即可.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为3：4，
∴它们对应高之比为：2.
故答案为：：2.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出答案.
10．【答案】4或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当△ADE∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝；
当△AED∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝4，
综上所述，AD的长为4或.
故答案为：4或.
【分析】分△ADE∽△ABC、△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
11．【答案】（1）16-3t
（2）秒或4秒
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可知：，
（2）连接PQ，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴当时，，即，解得
当时，，即，解得t=4．
∴运动时间为秒或4秒．
故答案为：16-3t；秒或4秒
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）分类讨论：①当时，，②当时，，再分别列出比例式求解即可。
12．【答案】16cm
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.
故答案为：16cm.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.
13．【答案】54或37.5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当△AOC∽△BOD时，
∴
当△AOC∽△DOB时，
∴
综上得：OA=54或37.5
故答案为：54或37.5.
【分析】分△AOC∽△BOD、△AOC∽△DOB，然后根据相似三角形的对应边成比例进行求解.
14．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：DE，
∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，
∴15：（15+3）＝12：DE，
解得DE＝ ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得AB∶AD＝BC∶DE，然后将已知条件代入计算即可.
15．【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
又∵△ADE的面积是1，
∴S四边形
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.
16．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，作，且，则
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）理由：如图APBQ是矩形，
∴PQ、AB互相平分；
（2）理由：，
∴四边形APBQ是菱形，
又，则，
则是直角三角形，
∴四边形APBQ是正方形，
∴PQ垂直平分AB，
（3）理由如下，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分，作图即可；
（2）根据正方形的对角线互相垂直平分，作图即可；
（3）根据相似三角形对应边成比例作图即可.
17．【答案】（1）解：由题意知，，，
的面积为，
，
解得或，
，
时，的面积为；
（2）解：，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似，
或，
解得或，
或时，以A，，为顶点的三角形与相似.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，AQ=10-t，根据三角形的面积公式可得t的值，根据AP（2）当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，然后代入求解即可.
18．【答案】（1）
（2）解：
当 时，S最大，这时矩形的宽为1.5米，长为 米
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）在 中
又 ， cm
∴ cm
∵
∴
又∵
∴
【分析】（1）利用锐角三角函数先求出 cm，再利用相似三角形的性质计算求解即可；
（2）利用矩形的面积公式计算求解即可。
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