2023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 相似三角形同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·昆明模拟）小明用放大镜观察一个三角形器材，并在纸上画出该三角形器材的示意图．通过测量发现，示意图的边长与实际器材的边长之比为，则示意图的面积与实际器材的面积之比为（ ）
A．3：1 B．1：3 C．9：1 D．1：9
2．（2023·泰安）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·澄城模拟）已知两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·柯桥模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（ ）
A．PA+PB+PC+PD的最小值为10
B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC
C．若△PAB △PDA，则PA=2
D．若S1=S2，则S3=S4
5．（2023·潍城模拟）如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（ ）
A．52 B．54 C．56 D．58
7．（2023·大渡口模拟）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
8．（2021九上·宁波月考）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
二、填空题
9．（2023七下·宝安期末）如图，在一个面积为的等边三角形纸片中，取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积为 .
10．（2023·邛崃模拟）如图，在矩形纸片中，将和分别沿和折叠（），点A，B重合于点E处；再将沿折叠，点C落在上的点F处，若，且，则的长为 ．
11．（2017八下·江阴期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 ．
12．（2023·成都模拟）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
13．（2023·柯桥模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三、解答题
14．（2023九上·西安期末）已知的三边长分别为6，8，10，和相似的的最长边长为30，求的周长.
15．（2022九上·路南期中）如图，分别是、上的点，，，，，，求的长和的度数．
四、作图题
16．（2023·农安模拟）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
（1）在图①中画，使；
（2）在图②中画，使是轴对称图形；
（3）在图③中画，使边上的高将分成面积比为的两部分．
五、综合题
17．（2022九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B坐标为（2，0），点D是射线OB上不与点O重合的一个动点，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连结AD、AE.
（1）求证：DA＝DE；
（2）如图2，连结AC，BE，当△CDA与△DBE相似时，求BD的长；
（3）当点A关于直线ED的对称点A'落在正方形的边上时，求点D的坐标.
18．（2022·兰溪模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B分别是x轴、y轴正半轴上的点，以OA、OB为边构造矩形OACB.点E为OA上一点，满足BE＝BC.过点C作CF⊥BE，垂足为点F.已知 .
（1）求证：CA＝CF.
（2）如图2，连结CE，当∠BCF＝2∠ECF时，求AE的长.
（3）在（2）的条件下，连结AF，在坐标平面内是否存在一点M，使得以点M、A、F为顶点的三角形与△CBE相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得示意图与实际相似图形，且相似比为，
∴示意图的面积与实际器材的面积之比为9：1，
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】由作图过程知：BD平分∠ABC，MN垂直平分BD，
∴∠CBD=∠ABD，EB=ED，
∴∠ABD=∠EDB，
∴∠CBD=∠EDB，
∴ED∥BC，
∴∠AED=∠ABC，所以①正确；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°
∴CBD=∠ABD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BC=BD，
又∴∠ABD=∠A=36°，
∴BD=AD，
∴BC=AD，
又因为ED∥BC，
∴∠AED=∠ABC=72°，
∠ADE=∠C=72°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴BC=AE，∴②正确；
在△ABC和△BCD中，
∵∠A=∠DBC，∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC∶BC=BC∶CD，
∴AC∶AD=AD∶（AC-AD），
∴2∶AD=AD∶（2-AD），
∴AD=∴④正确；
对于③，假设结论成立，则ED应该是三角形ABC的中位线，所以点D是AC的中点，
∵AC=2，∴AD=1，与相矛盾，∴③不正确。
∴正确结论的个数是：3.
故答案为：C。
【分析】根据角平分线和中垂线的性质，可得出∠AED=∠ABC；根据△BCD和△ABD以及△AFD都是等腰三角形，可得出BC=AE；根据△ABC∽△BCD，可求得AD=；根据④的结论，可知点D不是AC的中点，可以说明③不正确，根据以上结论，可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴这两个相似三角形的周长之比为2：3.
∵这两个三角形的周长的和是100cm，
∴较小的三角形的周长为100×=40cm.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比可得：周长比为2：3，则较小的三角形的周长=周长之和×，据此计算.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确；
B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确；
C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误；
D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，据此可判断A选项；由三角形全等的性质得PA=PC，PB=PD，则点P是对角线的交点，进而用SSS判断出△PAD≌△PBC，据此可判断B选项；由相似三角形的对应角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，则B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA的长，据此可判断C选项；根据矩形的性质、三角形的面积计算公式及平行线间的距离易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，据此可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：、、，将向左平移4个单位，得到，
、、，
如图：
以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，
的坐标为，即，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标平移的特征，相似三角形的性质求解即可。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两相似三角形的周长分别是36和12
∴相似比为3：1
∵周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3
∴周长较大的三角形的最小边为9，周长较小的三角形的最大边为5
∴周长较大的三角形的第三条边为12
∴两个三角形均为直角三角形
∴周长较大的三角形的面积=×9×12=54
故选B．
【分析】根据已知先求得两相似三角形的相似比，然后根据相似比可求得较大的三角形的三边的长，根据其边长判定三角形为直角三角形，从而不难求得其面积．
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，
则，
；
解得.
②若，
则，
，
解得或6.
则满足条件的长为2.8或1或6.
故答案为：C.
【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk= ，
∴k4+ k2－1=0，
解得： 或 （舍去），
∴S2= k2S1= S1，S3= k2S2= k4S1= ，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，EH=m(1+ k2)，FM=，FK= km(1+ k2)，根据FK+MK=FM可求出k2，根据S2= k2S1，S3= k2S2= k4S1分别表示出S2、S3，据此解答.
9．【答案】9
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图所示，
∵D、E、F为△ABC三边中点，
∴DE//CB
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADE=S△ABC.
设S△ADE=a，则S△ABC=4a
∴阴影面积=（4a-a）=a
∴阴影部分的面积是整个图形面积的
∵S△ABC=24cm2
∴阴影面积=24×=9cm2
故答案为：9.
【分析】如图，由中位线定理可知S△ADE=S△ABC，设S△ADE=a，则S△ABC=4a，可计算出阴影部分的面积是整个图形面积的，最后由S△ABC=24cm2即可计算出阴影部分的面积.
10．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，AB＝CD，
∵将△AMP沿PM折叠得到△EMP，
∴∠AMP＝∠EMP＝∠AME，∠APM＝∠EPM＝∠APE，PA＝PE，AM＝EM，∠A＝∠MEP＝90°，
∵将△BPQ沿PQ折叠得到△EPQ，
∴∠B＝∠PEQ＝90°，PB＝PE，∠BPQ＝∠EPQ＝∠BPE，
∵将△CQD沿DQ折叠得到△FQD，
∴∠DQC＝∠DQF＝∠CQF，∠DFQ＝∠C＝90°，DF＝CD，
∴PA＝PE＝PB＝CD＝DF，∠DFM＝90°，
在Rt△MDF中，cos∠MDF＝
∴设DF＝3x，DM＝5x，
∴CD＝DF＝3x，PA＝PE＝PB＝CD=
在Rt△MDF中，FM＝4x
∵EF＝7，
∴ME＝FM-EF＝4x-7，
∴AM＝EM＝4x-7，
∵AB∥CD，
∴∠AME＝∠CQF，
∴∠EMP＝∠DQF，
∵∠MEP＝∠DFQ＝90°，
∴△PEM∽△DFQ，
∴
即
∴FQ＝8x-14，
∴QE＝EF+FQ＝8x-7，
∵∠MPE+∠EPQ＝∠APE+∠BPE＝＝90°，∠EPM+∠EMP＝90°，
∴∠EMP＝∠EPQ，
∵∠MEP＝∠PEQ＝90°，
∴△PEM∽△QEP，
∴
即
解得：x＝2或x＝
∵FQ＝8x-14＞0，
∴x＞
∴x＝2，
∴CQ＝FQ＝2，CD＝6，
在Rt△CDQ中，DQ＝
【分析】根据折叠可得∠AMP＝∠EMP，∠APM＝∠EPM，PA＝PE，AM＝EM，PB＝PE，∠BPQ＝∠EPQ，∠DQC＝∠DQF，DF＝CD，进而得到PA＝PE＝PB＝CD＝DF，根据cos，设DF＝3x，DM＝5x，则CD＝DF＝3x，PA＝PE＝PB＝CD=，根据勾股定理求得FM＝4x，则AM＝EM＝4x-7，根据平行线的性质可得∠AME＝∠CQF，于是∠EMP＝∠DQF，因此△PEM∽△DFQ，由相似三角形的性质得到FQ＝8x-14，则QE＝8x-7，再根据同角的余角相等可得∠EMP＝∠EPQ，以此可证明△PEM∽△QEP，利用相似三角形的性质可得方程，解得x＝2，则CQ＝2，CD＝6，最后根据勾股定理即可求解．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18﹣5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF= DE，
∴EF=CF= DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD= = =12．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF= （BC﹣CE）= （12﹣5）= ．
故答案为： ．
【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．
12．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：记CH与DF的交点为点N，AF与BH的交点为点M，则四边形MHNF是平行四边形
设直角三角形较短直角边的长为a，长直角边的长为b
解得：
故答案为
【分析】求出阴影部分面积和正方形ABCD的面积即可求出概率。
13．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴点P在AC的垂直平分线上或以点C为圆心，AC为半径的圆弧上；
①如图，点P在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与OB的交点即是点E，
∵四边形ABOC是矩形，点A的坐标为（8，6），
∴点P的横坐标为4，OC=6，BO=8，BE=4，
∵PE⊥OB，OC⊥OB，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∴，即，
解得PE=3，
∴点P的坐标为（4，3）；
②如图，点P在以点C为圆心，AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为点P，过点P作PE⊥OB于点E，
∵四边形ABOC是矩形，点A的坐标为（8，6），
∴AC=BO=8，CP=AB=OC=6，
∴，
∴BP=2，
∵CO⊥BO，PE⊥OB，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∴，即，
解得，
∴OE=8-=，
∴点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为：或.
故答案为：或.
【分析】分类讨论：①如图，点P在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与OB的交点即是点E，先由矩形的性质及点A的坐标得点P的横坐标为4，OC=6，BO=8，BE=4，然后判断出△PBE∽△CBO，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PE，从而即可得出点P的坐标；②点P在以点C为圆心，AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为点P，过点P作PE⊥OB于点E，由矩形的性质及点A的坐标得AC=BO=8，CP=AB=OC=6，用勾股定理算出BC，然后判断出△PBE∽△CBO，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PE，BE的长，进而可求出OE，从而得到点P的坐标，综上即可得出答案.
14．【答案】解：∵与相似，
∴，
∴
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
15．【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的性质计算求解即可。
16．【答案】（1）解：如图①， 为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②， 为所求（答案不唯一）；
（3）解：取格点M、N，连接 ，根据相似三角形的相似比确定点E， 即为所求．
如图③， 为所求（答案不唯一）．
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意画图即可求解；
（2）根据轴对称图形的定义画图即可求解；
（3）取格点M、N，连接 ，根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
17．【答案】（1）证明：如图1中，∵四边形OABC是正方形，
∴A，C关于OB对称，
∴DA＝DC，
∵线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，
∴DC＝DE，
∴DA＝DE；
（2）解：如图2中，设AC交OB于点J，过点D作DK⊥BC于点K.
∵DA＝DC＝DE，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DAE＝∠DEA，
∵△ADC与△EBD相似，
∴∠ACD＝∠DEB，
∴∠CAD＝∠DAE，
∵∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠ACD＝∠BCD＝22.5°，
∵DJ⊥CJ，DK⊥CB，
∴DJ＝DK，
∵B（2 ，0），
∴OJ＝JB＝ ，
∴DJ+ DJ＝ ，
∴DJ＝2﹣ ，
∴OD＝2，
∴BD＝2 ﹣2；
（3）解：如图3﹣1中，当点A′落在BC上时，
由对称性可知，∠CDE＝∠ADA′＝90°，∠EDA＝∠EDA′＝45°，
∴∠ADC＝135°，
∴∠BDC＝∠BDA＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC＝67.5°，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝2 ﹣2，
∴D（2 ﹣2，0）；
当点D在AC上时，A′与点C重合，满足条件，此时D（ ，0）；
如图3﹣2中，当点A′落在AC上时，同法可证OD＝OC＝2，可得D（2，0）.
当点D与B重合时，A与A′重合，满足条件，此时D（2 ，0）.
综上所述，满足条件的点D的坐标为（2 ﹣2，0）或（ ，0）或（2，0）或（2 ，0）.
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；轴对称的性质；相似三角形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用正方形是轴对称图形，可得 DA＝DC， 根据旋转的性质得DC=DE，等量代换即可得出答案；
（2）如图2中，设AC交OB于点J，过点D作DK⊥BC于点K；证明DC平分∠JCB，根据角平分线的性质推出DJ＝DK，再根据JB＝ ，可得DJ+ DJ＝ ，求出DJ即可；
（3）分四种情形：①如图3 1中，当点A′落在BC上时，②当点D在AC上时，A′与点C重合，③如图3 2中，当点A′落在AC上时，④当点点D与B重合时，A与A′重合，分别求解即可．
18．【答案】（1）证明：∵四边形OACB是矩形，
∴∠BOE＝∠BFC＝90°，
∵BC∥OA，
∴∠CBE＝∠BEO，
在△BCF与△EBO中，
∴△BCF≌△EBO，即CF＝BO，
又∵OB＝CA，
∴CA＝CF.
（2）解：由（1）可得BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE.
又∵BC∥AO，
∴∠BCE＝∠CEA，即∠CEF＝∠CEA，
又∵∠CAE＝∠CFE＝90°，EC＝EC，
∴在△AEC与△FEC中，
∴△AEC≌△FEC，即∠FCE＝∠ACE.
又∵∠BCF＝2∠ECF，∠BCF＋∠FCE＋∠ECA＝90°，
∴∠BCF＝∠ACF＝45°， ，BC＝2＝AO，
∴ .
（3）解：如图，
由（2）易得△CBE是一个顶角为45°的等腰三角形，若△MAF与△CBE相似，可以分为两种情况讨论.
①当AF为底边时，易得C点满足条件，∠ACF＝45°，CF＝AC，即 .将C点关于AF进行对称得 ，计算易得 .
②当AF为腰时，
i）∠MFA＝45°，计算易得 .同理，将 关于AF对称得 ，计算易得 .
ii）∠MAF＝45°，计算易得 .同理，将 关于AF对称得 ，计算易得 .
综上所述，满足条件的M的坐标为： ， ， ， ， ，
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BOE＝∠BFC＝90°，根据平行线的性质可得∠CBE＝∠BEO，证明△BCF≌△EBO，得到CF＝BO，然后结合OB＝CA进行证明；
（2）由（1）可得BE＝BC，根据等腰三角形的性质可得∠BEC＝∠BCE，根据平行线的性质可得∠BCE＝∠CEA，证明△AEC≌△FEC，得到∠FCE＝∠ACE，由已知条件知∠BCF＝2∠ECF，结合∠BCF＋∠FCE＋∠ECA＝90°可得∠BCF＝∠ACF＝45°，则BF=CF=OE，BC=AO=2，然后根据AE=AO-OE进行计算；
（3） 由（2）易得△CBE是一个顶角为45°的等腰三角形，若△MAF与△CBE相似，可以分为两种情况讨论，①当AF为底边时，易得C点满足条件，此时∠ACF＝45°，CF＝AC，即M1（2，），.将C点关于AF进行对称得M2，不难得到M2的坐标；②当AF为腰时，i）∠MFA＝45°，同理可得M3、M4的坐标；ii）∠MAF＝45°，同理可得M5、M6的坐标.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 相似三角形同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·昆明模拟）小明用放大镜观察一个三角形器材，并在纸上画出该三角形器材的示意图．通过测量发现，示意图的边长与实际器材的边长之比为，则示意图的面积与实际器材的面积之比为（ ）
A．3：1 B．1：3 C．9：1 D．1：9
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得示意图与实际相似图形，且相似比为，
∴示意图的面积与实际器材的面积之比为9：1，
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
2．（2023·泰安）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】由作图过程知：BD平分∠ABC，MN垂直平分BD，
∴∠CBD=∠ABD，EB=ED，
∴∠ABD=∠EDB，
∴∠CBD=∠EDB，
∴ED∥BC，
∴∠AED=∠ABC，所以①正确；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°
∴CBD=∠ABD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BC=BD，
又∴∠ABD=∠A=36°，
∴BD=AD，
∴BC=AD，
又因为ED∥BC，
∴∠AED=∠ABC=72°，
∠ADE=∠C=72°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴BC=AE，∴②正确；
在△ABC和△BCD中，
∵∠A=∠DBC，∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC∶BC=BC∶CD，
∴AC∶AD=AD∶（AC-AD），
∴2∶AD=AD∶（2-AD），
∴AD=∴④正确；
对于③，假设结论成立，则ED应该是三角形ABC的中位线，所以点D是AC的中点，
∵AC=2，∴AD=1，与相矛盾，∴③不正确。
∴正确结论的个数是：3.
故答案为：C。
【分析】根据角平分线和中垂线的性质，可得出∠AED=∠ABC；根据△BCD和△ABD以及△AFD都是等腰三角形，可得出BC=AE；根据△ABC∽△BCD，可求得AD=；根据④的结论，可知点D不是AC的中点，可以说明③不正确，根据以上结论，可得出答案。
3．（2023·澄城模拟）已知两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴这两个相似三角形的周长之比为2：3.
∵这两个三角形的周长的和是100cm，
∴较小的三角形的周长为100×=40cm.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比可得：周长比为2：3，则较小的三角形的周长=周长之和×，据此计算.
4．（2023·柯桥模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（ ）
A．PA+PB+PC+PD的最小值为10
B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC
C．若△PAB △PDA，则PA=2
D．若S1=S2，则S3=S4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确；
B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确；
C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误；
D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，据此可判断A选项；由三角形全等的性质得PA=PC，PB=PD，则点P是对角线的交点，进而用SSS判断出△PAD≌△PBC，据此可判断B选项；由相似三角形的对应角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，则B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA的长，据此可判断C选项；根据矩形的性质、三角形的面积计算公式及平行线间的距离易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，据此可判断D选项.
5．（2023·潍城模拟）如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：、、，将向左平移4个单位，得到，
、、，
如图：
以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，
的坐标为，即，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标平移的特征，相似三角形的性质求解即可。
6．两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（ ）
A．52 B．54 C．56 D．58
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两相似三角形的周长分别是36和12
∴相似比为3：1
∵周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3
∴周长较大的三角形的最小边为9，周长较小的三角形的最大边为5
∴周长较大的三角形的第三条边为12
∴两个三角形均为直角三角形
∴周长较大的三角形的面积=×9×12=54
故选B．
【分析】根据已知先求得两相似三角形的相似比，然后根据相似比可求得较大的三角形的三边的长，根据其边长判定三角形为直角三角形，从而不难求得其面积．
7．（2023·大渡口模拟）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，
则，
；
解得.
②若，
则，
，
解得或6.
则满足条件的长为2.8或1或6.
故答案为：C.
【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
8．（2021九上·宁波月考）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk= ，
∴k4+ k2－1=0，
解得： 或 （舍去），
∴S2= k2S1= S1，S3= k2S2= k4S1= ，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，EH=m(1+ k2)，FM=，FK= km(1+ k2)，根据FK+MK=FM可求出k2，根据S2= k2S1，S3= k2S2= k4S1分别表示出S2、S3，据此解答.
二、填空题
9．（2023七下·宝安期末）如图，在一个面积为的等边三角形纸片中，取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积为 .
【答案】9
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图所示，
∵D、E、F为△ABC三边中点，
∴DE//CB
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADE=S△ABC.
设S△ADE=a，则S△ABC=4a
∴阴影面积=（4a-a）=a
∴阴影部分的面积是整个图形面积的
∵S△ABC=24cm2
∴阴影面积=24×=9cm2
故答案为：9.
【分析】如图，由中位线定理可知S△ADE=S△ABC，设S△ADE=a，则S△ABC=4a，可计算出阴影部分的面积是整个图形面积的，最后由S△ABC=24cm2即可计算出阴影部分的面积.
10．（2023·邛崃模拟）如图，在矩形纸片中，将和分别沿和折叠（），点A，B重合于点E处；再将沿折叠，点C落在上的点F处，若，且，则的长为 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，AB＝CD，
∵将△AMP沿PM折叠得到△EMP，
∴∠AMP＝∠EMP＝∠AME，∠APM＝∠EPM＝∠APE，PA＝PE，AM＝EM，∠A＝∠MEP＝90°，
∵将△BPQ沿PQ折叠得到△EPQ，
∴∠B＝∠PEQ＝90°，PB＝PE，∠BPQ＝∠EPQ＝∠BPE，
∵将△CQD沿DQ折叠得到△FQD，
∴∠DQC＝∠DQF＝∠CQF，∠DFQ＝∠C＝90°，DF＝CD，
∴PA＝PE＝PB＝CD＝DF，∠DFM＝90°，
在Rt△MDF中，cos∠MDF＝
∴设DF＝3x，DM＝5x，
∴CD＝DF＝3x，PA＝PE＝PB＝CD=
在Rt△MDF中，FM＝4x
∵EF＝7，
∴ME＝FM-EF＝4x-7，
∴AM＝EM＝4x-7，
∵AB∥CD，
∴∠AME＝∠CQF，
∴∠EMP＝∠DQF，
∵∠MEP＝∠DFQ＝90°，
∴△PEM∽△DFQ，
∴
即
∴FQ＝8x-14，
∴QE＝EF+FQ＝8x-7，
∵∠MPE+∠EPQ＝∠APE+∠BPE＝＝90°，∠EPM+∠EMP＝90°，
∴∠EMP＝∠EPQ，
∵∠MEP＝∠PEQ＝90°，
∴△PEM∽△QEP，
∴
即
解得：x＝2或x＝
∵FQ＝8x-14＞0，
∴x＞
∴x＝2，
∴CQ＝FQ＝2，CD＝6，
在Rt△CDQ中，DQ＝
【分析】根据折叠可得∠AMP＝∠EMP，∠APM＝∠EPM，PA＝PE，AM＝EM，PB＝PE，∠BPQ＝∠EPQ，∠DQC＝∠DQF，DF＝CD，进而得到PA＝PE＝PB＝CD＝DF，根据cos，设DF＝3x，DM＝5x，则CD＝DF＝3x，PA＝PE＝PB＝CD=，根据勾股定理求得FM＝4x，则AM＝EM＝4x-7，根据平行线的性质可得∠AME＝∠CQF，于是∠EMP＝∠DQF，因此△PEM∽△DFQ，由相似三角形的性质得到FQ＝8x-14，则QE＝8x-7，再根据同角的余角相等可得∠EMP＝∠EPQ，以此可证明△PEM∽△QEP，利用相似三角形的性质可得方程，解得x＝2，则CQ＝2，CD＝6，最后根据勾股定理即可求解．
11．（2017八下·江阴期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18﹣5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF= DE，
∴EF=CF= DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD= = =12．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF= （BC﹣CE）= （12﹣5）= ．
故答案为： ．
【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．
12．（2023·成都模拟）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：记CH与DF的交点为点N，AF与BH的交点为点M，则四边形MHNF是平行四边形
设直角三角形较短直角边的长为a，长直角边的长为b
解得：
故答案为
【分析】求出阴影部分面积和正方形ABCD的面积即可求出概率。
13．（2023·柯桥模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴点P在AC的垂直平分线上或以点C为圆心，AC为半径的圆弧上；
①如图，点P在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与OB的交点即是点E，
∵四边形ABOC是矩形，点A的坐标为（8，6），
∴点P的横坐标为4，OC=6，BO=8，BE=4，
∵PE⊥OB，OC⊥OB，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∴，即，
解得PE=3，
∴点P的坐标为（4，3）；
②如图，点P在以点C为圆心，AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为点P，过点P作PE⊥OB于点E，
∵四边形ABOC是矩形，点A的坐标为（8，6），
∴AC=BO=8，CP=AB=OC=6，
∴，
∴BP=2，
∵CO⊥BO，PE⊥OB，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∴，即，
解得，
∴OE=8-=，
∴点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为：或.
故答案为：或.
【分析】分类讨论：①如图，点P在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与OB的交点即是点E，先由矩形的性质及点A的坐标得点P的横坐标为4，OC=6，BO=8，BE=4，然后判断出△PBE∽△CBO，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PE，从而即可得出点P的坐标；②点P在以点C为圆心，AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为点P，过点P作PE⊥OB于点E，由矩形的性质及点A的坐标得AC=BO=8，CP=AB=OC=6，用勾股定理算出BC，然后判断出△PBE∽△CBO，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PE，BE的长，进而可求出OE，从而得到点P的坐标，综上即可得出答案.
三、解答题
14．（2023九上·西安期末）已知的三边长分别为6，8，10，和相似的的最长边长为30，求的周长.
【答案】解：∵与相似，
∴，
∴
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
15．（2022九上·路南期中）如图，分别是、上的点，，，，，，求的长和的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的性质计算求解即可。
四、作图题
16．（2023·农安模拟）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
（1）在图①中画，使；
（2）在图②中画，使是轴对称图形；
（3）在图③中画，使边上的高将分成面积比为的两部分．
【答案】（1）解：如图①， 为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②， 为所求（答案不唯一）；
（3）解：取格点M、N，连接 ，根据相似三角形的相似比确定点E， 即为所求．
如图③， 为所求（答案不唯一）．
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意画图即可求解；
（2）根据轴对称图形的定义画图即可求解；
（3）取格点M、N，连接 ，根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
五、综合题
17．（2022九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B坐标为（2，0），点D是射线OB上不与点O重合的一个动点，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连结AD、AE.
（1）求证：DA＝DE；
（2）如图2，连结AC，BE，当△CDA与△DBE相似时，求BD的长；
（3）当点A关于直线ED的对称点A'落在正方形的边上时，求点D的坐标.
【答案】（1）证明：如图1中，∵四边形OABC是正方形，
∴A，C关于OB对称，
∴DA＝DC，
∵线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，
∴DC＝DE，
∴DA＝DE；
（2）解：如图2中，设AC交OB于点J，过点D作DK⊥BC于点K.
∵DA＝DC＝DE，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DAE＝∠DEA，
∵△ADC与△EBD相似，
∴∠ACD＝∠DEB，
∴∠CAD＝∠DAE，
∵∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠ACD＝∠BCD＝22.5°，
∵DJ⊥CJ，DK⊥CB，
∴DJ＝DK，
∵B（2 ，0），
∴OJ＝JB＝ ，
∴DJ+ DJ＝ ，
∴DJ＝2﹣ ，
∴OD＝2，
∴BD＝2 ﹣2；
（3）解：如图3﹣1中，当点A′落在BC上时，
由对称性可知，∠CDE＝∠ADA′＝90°，∠EDA＝∠EDA′＝45°，
∴∠ADC＝135°，
∴∠BDC＝∠BDA＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC＝67.5°，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝2 ﹣2，
∴D（2 ﹣2，0）；
当点D在AC上时，A′与点C重合，满足条件，此时D（ ，0）；
如图3﹣2中，当点A′落在AC上时，同法可证OD＝OC＝2，可得D（2，0）.
当点D与B重合时，A与A′重合，满足条件，此时D（2 ，0）.
综上所述，满足条件的点D的坐标为（2 ﹣2，0）或（ ，0）或（2，0）或（2 ，0）.
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；轴对称的性质；相似三角形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用正方形是轴对称图形，可得 DA＝DC， 根据旋转的性质得DC=DE，等量代换即可得出答案；
（2）如图2中，设AC交OB于点J，过点D作DK⊥BC于点K；证明DC平分∠JCB，根据角平分线的性质推出DJ＝DK，再根据JB＝ ，可得DJ+ DJ＝ ，求出DJ即可；
（3）分四种情形：①如图3 1中，当点A′落在BC上时，②当点D在AC上时，A′与点C重合，③如图3 2中，当点A′落在AC上时，④当点点D与B重合时，A与A′重合，分别求解即可．
18．（2022·兰溪模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B分别是x轴、y轴正半轴上的点，以OA、OB为边构造矩形OACB.点E为OA上一点，满足BE＝BC.过点C作CF⊥BE，垂足为点F.已知 .
（1）求证：CA＝CF.
（2）如图2，连结CE，当∠BCF＝2∠ECF时，求AE的长.
（3）在（2）的条件下，连结AF，在坐标平面内是否存在一点M，使得以点M、A、F为顶点的三角形与△CBE相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形OACB是矩形，
∴∠BOE＝∠BFC＝90°，
∵BC∥OA，
∴∠CBE＝∠BEO，
在△BCF与△EBO中，
∴△BCF≌△EBO，即CF＝BO，
又∵OB＝CA，
∴CA＝CF.
（2）解：由（1）可得BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE.
又∵BC∥AO，
∴∠BCE＝∠CEA，即∠CEF＝∠CEA，
又∵∠CAE＝∠CFE＝90°，EC＝EC，
∴在△AEC与△FEC中，
∴△AEC≌△FEC，即∠FCE＝∠ACE.
又∵∠BCF＝2∠ECF，∠BCF＋∠FCE＋∠ECA＝90°，
∴∠BCF＝∠ACF＝45°， ，BC＝2＝AO，
∴ .
（3）解：如图，
由（2）易得△CBE是一个顶角为45°的等腰三角形，若△MAF与△CBE相似，可以分为两种情况讨论.
①当AF为底边时，易得C点满足条件，∠ACF＝45°，CF＝AC，即 .将C点关于AF进行对称得 ，计算易得 .
②当AF为腰时，
i）∠MFA＝45°，计算易得 .同理，将 关于AF对称得 ，计算易得 .
ii）∠MAF＝45°，计算易得 .同理，将 关于AF对称得 ，计算易得 .
综上所述，满足条件的M的坐标为： ， ， ， ， ，
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BOE＝∠BFC＝90°，根据平行线的性质可得∠CBE＝∠BEO，证明△BCF≌△EBO，得到CF＝BO，然后结合OB＝CA进行证明；
（2）由（1）可得BE＝BC，根据等腰三角形的性质可得∠BEC＝∠BCE，根据平行线的性质可得∠BCE＝∠CEA，证明△AEC≌△FEC，得到∠FCE＝∠ACE，由已知条件知∠BCF＝2∠ECF，结合∠BCF＋∠FCE＋∠ECA＝90°可得∠BCF＝∠ACF＝45°，则BF=CF=OE，BC=AO=2，然后根据AE=AO-OE进行计算；
（3） 由（2）易得△CBE是一个顶角为45°的等腰三角形，若△MAF与△CBE相似，可以分为两种情况讨论，①当AF为底边时，易得C点满足条件，此时∠ACF＝45°，CF＝AC，即M1（2，），.将C点关于AF进行对称得M2，不难得到M2的坐标；②当AF为腰时，i）∠MFA＝45°，同理可得M3、M4的坐标；ii）∠MAF＝45°，同理可得M5、M6的坐标.
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