2023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 相似三角形的判定 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022九上·定海月考）给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
2．（2022九上·镇海区期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·杨浦期中）下列两个三角形不一定相似的是（ ）．
A．有一个内角是的两个直角三角形
B．有一个内角是的两个等腰三角形
C．两条直角边的比都是的两个直角三角形
D．腰与底的比都是的两个等腰三角形
4．（2022九上·碑林月考）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
5．（2023·杨浦模拟）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·新城模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·枣庄模拟）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·昔阳模拟）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·金华模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件 ，使△ABP∽△ACB，
10．（2023·长宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与相似，那么点C的坐标是 ．
11．（2022九上·胶州期末）如图，在 中，，过 上一点 D 作直线交于点 F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为 ．
12．（2022九上·蚌山期中）如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
13．（2022九上·奉贤期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．
三、解答题
14．（2022九上·永春期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．求证：
15．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
四、作图题
16．（2023·临渭模拟）如图，在中，，，在上求作一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
五、综合题
17．（2023·广东模拟）如图，点D在等边AABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．
（1）证明：△ABD∽△DCF．
（2）除了△ABD△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
18．（2023·长清模拟）
（1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，若，，则是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点逆时针方向旋转一定角度，连接和，的值变化么？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值．
（3）如图，在四边形中，于点，，且，当，时，请求出线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、，两个三角形的对应角相等，那么，故A选项不符合题意；
B、，两个三角形的对应角相等，那么，故B选项不符合题意；
C、，两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等，那么，故C选项不符合题意；
D、，与的大小无法判断，即无法判定，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加，从而一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个内角是50°的直角三角形一定相似，故A不符合题意；
B、有一个顶角是50°的等腰三角形与有一个底角是50°的等腰三角形不相似，故B符合题意；
C、两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形一定相似，故C不符合题意；
D、腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形一定相似，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；
第二个三角形的两个角分别为：75°，70°；
故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似；
在图②中：∵，，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB，
故都相似．
故答案为：A.
【分析】在图①中，利用内角和定理求出另一个内角的度数，然后根据两个角分别相等的两个三角形相似进行判断；在图②中，根据对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，如图所示：
∴ED∥BA，，
∴∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，
∴△CBA∽△EDA，
同理可得△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，
∵MB=4，CB=6，由勾股定理得，
∴，
∴△CBA∽△NBM，
∴该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是4个，
故答案为：D
【分析】取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，先根据中位线的性质得到ED∥BA，，进而得到∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，再根据相似三角形的判定证明△CBA∽△EDA，△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，再结合题意运用勾股定理得到MB=4，CB=6，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得，，利用平行四边形的性质可得，，，，根据两角分别相等的两个三角形相似可证以，.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，，
，
，
，，，
测得眼睛D离地面的高度为，
，
故答案为：B．
【分析】先判定△DEF和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.当时，又，
，故此选项不符合题意；
B.，但不知夹角是否相等，不能证明，故此选项符合题意；
C.当时，又，
，故此选项不符合题意；
D.当时，又，
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
9．【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC与△APB中，∠A是两个三角形的公共角，要使两个三角形相似，只需要添加∠C=∠ABP即可.
故答案为：∠C=∠ABP.（答案不唯一）
【分析】由相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似，两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而题目中∠A是两个三角形的公共角，从而即可解答.
10．【答案】(1，2)、(5，2)、(4，4)
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：以为共同的斜边时，，得坐标为，
过点A作的垂线，当时，，得，
过点B作的垂线，当时，，得．
故答案为：、、
【分析】所以分三种情况：①，②，③，据此分别求解即可.
11．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图
作，则；
过D作，则，
所以，这样的直线可作2条．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
12．【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加“”，理由：
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
14．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据二直线平行，同位角相等，得∠BED=∠C，∠B=∠FEC，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论.
15．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
16．【答案】解：作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求；
∵，，
∴，，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴∠DBC=∠A=36°，
又∠C=∠C，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求；由等边对等角及三角形的内角和定理得∠C=∠ABC=72°，∠A=36°，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，由等边对等角得∠A=∠ABD=36°，进而可求出∠DBC=36°，最后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△BCD∽△ACB.
17．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，
∴∠ADC=∠B=∠BAD，∠ADC=∠ADE=∠FDC，
∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠FDC
∴∠BAD=∠FDC
∴△ABD∽△DCF
（2）解：△ABC∽△ADE；△ABD∽△AEF；△AEF∽△DCF；△ADF∽△ACD.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（2）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ABC=∠ADE=∠BAC=60°，∠C=∠E=∠DAE=60°，
∴△ABC∽△ADE；
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠FAE，
又∵∠B=∠E，
∴△ABD∽△AFE；
∵∠AFE=∠DFC，∠C=∠E，
∴△AEF∽△DCF；
∵∠ADF=∠C，∠DAF=∠CAD，
∴△ADF∽△ACD.
故相似的三角形还有：△ABC∽△ADE；△ABD∽△AFE；△AEF∽△DCF；△ADF∽△ACD.
【分析】（1） 两角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）△ABC和△ADE都是等边三角形，每个角都是60°，有两角分别对应相等，所以相似；△ABD和△AFE中有两角对应相等，所以相似；△AEF和△DCF中有两角对应相等，所以相似；△ADF和△ACD中有两角对应相等，所以相似。
18．【答案】（1）
（2）解：的值不变化，值为；理由如下：
，
，
，
，
，
；
（3）解：作于，于，于，如图3所示：
则四边形是矩形，
，，
，且，
，，
设，
在中，，
，
，，
，
，
的面积，
，
，，
，
．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：；
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（2）证明△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质可得。
（3）连接CE，由MN∥BC可得∠ANM＝∠ACB＝90°，由旋转得DE＝MN＝3，∠DAE＝∠BAC，同（2）得出△ABD∽△ACE，得出，证明△AMN∽△ABC，证出AE∥CD，得出∠CDE＝90°，由勾股定理求出CE，可得出答案．
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 相似三角形的判定 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022九上·定海月考）给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
2．（2022九上·镇海区期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、，两个三角形的对应角相等，那么，故A选项不符合题意；
B、，两个三角形的对应角相等，那么，故B选项不符合题意；
C、，两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等，那么，故C选项不符合题意；
D、，与的大小无法判断，即无法判定，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加，从而一一判断得出答案.
3．（2022九上·杨浦期中）下列两个三角形不一定相似的是（ ）．
A．有一个内角是的两个直角三角形
B．有一个内角是的两个等腰三角形
C．两条直角边的比都是的两个直角三角形
D．腰与底的比都是的两个等腰三角形
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个内角是50°的直角三角形一定相似，故A不符合题意；
B、有一个顶角是50°的等腰三角形与有一个底角是50°的等腰三角形不相似，故B符合题意；
C、两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形一定相似，故C不符合题意；
D、腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形一定相似，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2022九上·碑林月考）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；
第二个三角形的两个角分别为：75°，70°；
故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似；
在图②中：∵，，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB，
故都相似．
故答案为：A.
【分析】在图①中，利用内角和定理求出另一个内角的度数，然后根据两个角分别相等的两个三角形相似进行判断；在图②中，根据对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断.
5．（2023·杨浦模拟）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，如图所示：
∴ED∥BA，，
∴∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，
∴△CBA∽△EDA，
同理可得△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，
∵MB=4，CB=6，由勾股定理得，
∴，
∴△CBA∽△NBM，
∴该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是4个，
故答案为：D
【分析】取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，先根据中位线的性质得到ED∥BA，，进而得到∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，再根据相似三角形的判定证明△CBA∽△EDA，△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，再结合题意运用勾股定理得到MB=4，CB=6，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
6．（2023·新城模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，，所以，，，，所以，.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得，，利用平行四边形的性质可得，，，，根据两角分别相等的两个三角形相似可证以，.
7．（2023·枣庄模拟）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，，
，
，
，，，
测得眼睛D离地面的高度为，
，
故答案为：B．
【分析】先判定△DEF和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
8．（2023·昔阳模拟）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.当时，又，
，故此选项不符合题意；
B.，但不知夹角是否相等，不能证明，故此选项符合题意；
C.当时，又，
，故此选项不符合题意；
D.当时，又，
，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
二、填空题
9．（2023·金华模拟）如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件 ，使△ABP∽△ACB，
【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC与△APB中，∠A是两个三角形的公共角，要使两个三角形相似，只需要添加∠C=∠ABP即可.
故答案为：∠C=∠ABP.（答案不唯一）
【分析】由相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似，两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而题目中∠A是两个三角形的公共角，从而即可解答.
10．（2023·长宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与相似，那么点C的坐标是 ．
【答案】(1，2)、(5，2)、(4，4)
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：以为共同的斜边时，，得坐标为，
过点A作的垂线，当时，，得，
过点B作的垂线，当时，，得．
故答案为：、、
【分析】所以分三种情况：①，②，③，据此分别求解即可.
11．（2022九上·胶州期末）如图，在 中，，过 上一点 D 作直线交于点 F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图
作，则；
过D作，则，
所以，这样的直线可作2条．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
12．（2022九上·蚌山期中）如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．（2022九上·奉贤期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加“”，理由：
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
三、解答题
14．（2022九上·永春期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．求证：
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据二直线平行，同位角相等，得∠BED=∠C，∠B=∠FEC，进而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论.
15．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
四、作图题
16．（2023·临渭模拟）如图，在中，，，在上求作一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求；
∵，，
∴，，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴∠DBC=∠A=36°，
又∠C=∠C，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即为所求；由等边对等角及三角形的内角和定理得∠C=∠ABC=72°，∠A=36°，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，由等边对等角得∠A=∠ABD=36°，进而可求出∠DBC=36°，最后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△BCD∽△ACB.
五、综合题
17．（2023·广东模拟）如图，点D在等边AABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．
（1）证明：△ABD∽△DCF．
（2）除了△ABD△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，
∴∠ADC=∠B=∠BAD，∠ADC=∠ADE=∠FDC，
∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠FDC
∴∠BAD=∠FDC
∴△ABD∽△DCF
（2）解：△ABC∽△ADE；△ABD∽△AEF；△AEF∽△DCF；△ADF∽△ACD.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（2）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ABC=∠ADE=∠BAC=60°，∠C=∠E=∠DAE=60°，
∴△ABC∽△ADE；
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠FAE，
又∵∠B=∠E，
∴△ABD∽△AFE；
∵∠AFE=∠DFC，∠C=∠E，
∴△AEF∽△DCF；
∵∠ADF=∠C，∠DAF=∠CAD，
∴△ADF∽△ACD.
故相似的三角形还有：△ABC∽△ADE；△ABD∽△AFE；△AEF∽△DCF；△ADF∽△ACD.
【分析】（1） 两角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）△ABC和△ADE都是等边三角形，每个角都是60°，有两角分别对应相等，所以相似；△ABD和△AFE中有两角对应相等，所以相似；△AEF和△DCF中有两角对应相等，所以相似；△ADF和△ACD中有两角对应相等，所以相似。
18．（2023·长清模拟）
（1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，若，，则是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点逆时针方向旋转一定角度，连接和，的值变化么？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值．
（3）如图，在四边形中，于点，，且，当，时，请求出线段的长度．
【答案】（1）
（2）解：的值不变化，值为；理由如下：
，
，
，
，
，
；
（3）解：作于，于，于，如图3所示：
则四边形是矩形，
，，
，且，
，，
设，
在中，，
，
，，
，
，
的面积，
，
，，
，
．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：；
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（2）证明△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质可得。
（3）连接CE，由MN∥BC可得∠ANM＝∠ACB＝90°，由旋转得DE＝MN＝3，∠DAE＝∠BAC，同（2）得出△ABD∽△ACE，得出，证明△AMN∽△ABC，证出AE∥CD，得出∠CDE＝90°，由勾股定理求出CE，可得出答案．
1 / 1
