2023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 相似三角形的判定 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·杭州期末）如图，能使成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·惠阳月考）下列判断中，正确的是（ ）
A．各有一个角是的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似
4．（2022九上·凤阳月考）如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九上·乐亭期中）如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
6．（2018九上·东河月考）如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是边长为2的正方形点P为线段 上的动点，E为 的中点，射线 交 的延长线于点Q，过点E作 的垂线交 于点H.交 的延长线于点F，则以下结论：① ；② ；③当点F与点C重合时 ；④当 时， .成立的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④
8．（2019九上·长兴期末）如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2)
二、填空题
9．（2022九上·门头沟期末）如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．
10．（2021九上·北京月考）如图，点E在 的边 的延长线上，连接 分别交 、 于F、G．图中相似的两个三角形共有 对．
11．（2021九上·永年期中）如图，已知： ， ， ，当 的长为 时， 与 相似．
12．（2021九上·青龙期中）如图： 中， 是AB边上一点（与AB不重合），过点 作直线截 ，所截得的三角形与原 相似，满足这样条件的直线共有 条．
三、解答题
13．（2018九上·深圳期中）如图，已知A（0，8），B（6，0），点M、N分别是线段AB、AO上的动点，点M从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N从点A出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点M、N中有一个点停止时，另一个点也停止。设运动时间为t秒。
（1）当t为何值时，M为AB的中点。
（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形.
（3）当t为何值时，△AMN是等腰三角形？并求此时点M的坐标。
14．（湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（5）同步练习）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？
四、作图题
15．（2018九上·二道月考）如图，图①、图②、图③均为4×2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形．
要求：
⑴所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等．
⑵图②和图③中新画的三角形不全等．
五、综合题
16．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
17．（2021九上·合肥期末）如图1，四边形中，，平分，若，．
（1）求的长．
（2）如图2，过点作交于，连接交于，求的长．
18．（2021九上·鹿城期末）如图，在等腰直角三角形△ABC，∠ABC=90°，AB=6，P是射线AB上一个动点，连接CP，以CP为斜边构造等腰直角△CDP（C、D、P按逆时针方向），M为CP的中点，连接AD，MB.
（1）当点P在线段AB上运动时，求证：△CDA∽△CMB；
（2）设 ，△ADP的面积为y.
①当 时，求y关于x的函数表达式；
②记D关于直线AC的对称点为 ，若 在△APC的内部，求y的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
【分析】易得∠ABC=135°，AB=，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且，据此解答.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意得，，
若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．
B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．
C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．
D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故A选项不符合题意；
∵∠，，
∴，
∴∠DBF＝∠ECF，
∵，
∴，
故B选项不符合题意；
∵，不能推出，
∴C选项符合题意；
∵，
∴，，
∴，
故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B符合题意；其他选项不符合题意
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法，计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DC∥AB
∴△ADF∽△EBA∽△ECF
∴有三对.
故答案为：C．
【分析】相似三角形的判定，有两个角对应相等的两个三角形相似。
7．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
当点F与点C重合时，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
在△PAE和△QDE中，
，
∴ ，
∴PE=EQ，PA=DQ，
∵ ，
∴PC=QC，
设 ，则 ，
∴ ， ，
在Rt△PBC中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵P是AB中点，
∴ ，
在Rt△PAE中， ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△EDH中， ，
∴ ，
在△EDH和△FCH中，
，
∴ ，
∴ ，故④不正确；
本题成立的结论有①②③；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质，可得，从而可得，根据垂直的定义可得 ，从而可得，由，可得，据此判断①；根据两角对应相等可证，据此判断②；当点F与点C重合时，根据ASA可证，可得PE=EQ，PA=DQ，从而求出PC=QC，设 ，则 ， ， ，在Rt△PBC中， ， ，据此求出x，从而求出PB的长，据此判断③；由P是AB中点，可得，根据三角形内角和及直角三角形的性质可得，，根据ASA可证，可得，据此判断④.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1），
∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，
A.当E（6，5）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°，
∴，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC∽△EDC，
B.当E（6，0）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°，
∴，∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
C.当E（6，4）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°，
∴≠，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC与△EDC不相似，
D.当E（4，2）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°，
∴，∠ABC=∠DCE，
∴△ABC∽△DCE，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定：对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似；由此逐一分析即可得出答案.
9．【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），证明见解析
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加，
又∵，
∴，
故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
10．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 是平行四边形，
， ，
， ， ， ， 五对，还有一对特殊的相似三角形即 ，
共6对，
故答案是；6．
【分析】先求出 ， ，再求解即可。
11．【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD=2，CD= ，
∴AC= = ．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 ＝ ，∴AB=3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 ＝ ，∴AB=3 ．
即当AB的长为3或3 时，这两个直角三角形相似．
故答案为3或3 .
【分析】先求出AC= = ，再分类讨论求解即可。
12．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，当直线 时，此时△APE∽△ABC，符合题意；
如图所示，当直线 时，此时△BPF∽△BAC，符合题意；
如图所示，当∠APG=∠ACB，∠A=∠A时，此时△APG∽△ACB，符合题意；
如图所示，当∠BPH=∠BCA，∠B=∠B时，此时△BPH∽△BCA，符合题意；
∴一共有四条直线满足题意，
故答案为：4．
【分析】两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形的相似，据此分别判断即可。
13．【答案】（1）解：当t= 秒时，M是AB的中点.
（2）解：运动t秒时，AN=t，BM=2t，AM=10-2t
①当MN⊥AO时，
△ANM∽△AOB
∴
②当MN⊥AO时
△ANM∽△ABO
，
，
∴ .
综上：当 或 时，△AMN为直角三角形.
（3）解：由（2）知 ，
①AM=AN，
t=10 2t，解得
∴
②MA=MN，
过M作MF⊥AO，交AO于F，如图
则F是AN的中点，AF=
这时，△AFM∽△AOB
解得
∴
③NA=NM，
过N作NG⊥AB，交AB于G，如图，则G是AM的中点，AG=5 t.
这时，△AGN∽△AOB，
解得 .
∴
综上，当 时，△AMN为等腰三角形，此时，M点的坐标分别是 、 、 。
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再得出AB的一半，除以点M的运动速度即可；
（2）分∠ANM=90°和∠AMN=90°两种情况，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分①AM=AN；②MA=MN；③NA=NM三种情况，利用相似三角形的性质求解，得出t的值，再得出点M的坐标即可.
14．【答案】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC= =5，
∵∠A=∠A，
∴当 = 时，△AQP∽△ACB，即 = ，解得t= （s）；
当 = ，△AQP∽△ABC，即 = ，解得t= （s）；
∴当t为 s或 s时，△APQ与△ABC相似
（2）解：当AQ=AP时，2t=3﹣t，解得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t，
∵∠MAP=∠BAC，∴△AMP∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s）；
当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN= （3﹣t），
QN∥BC，∴△ANQ∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s），∴当t为1s或 s或 s，△APQ为等腰三角形．
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，△APQ与△ABC有一个公共角∠A，由于对应边不确定进行分类讨论：△AQP∽△ACB和△AQP∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。（2）分AQ=AP、PA=PQ、QA=QP三种情况分类讨论，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。
15．【答案】解：如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作三角形．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
所画三角形应满足两个条件：①与 △ABC相似 ，②是格点三角形；设每个小正方形的边长为1，则△ABC的三边长为BC=1，AC=，AB=，若把它的三边扩大适当倍数，就可得到与△ABC相似的格点三角形；如扩大2倍就可得到图②中的三角形，扩大倍就可得到图③中的三角形.
16．【答案】（1）2t；（5﹣t）
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）解：∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【分析】（1）由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，则OQ=（5-t）cm；
（2）由（1）可得S△POQ==6 ，解之可得t；
（3）由题意可知 △POQ与△AOB相似分为两种情况，△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA，可根据相似三角形的性质对应线段成比例求出t的值。
17．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：
（2）解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的长是．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用 ADB~ BDC即可解决问题；
（2）根据已知条件证明 MBD是等腰三角形，求出MB，再证明 MNB~ CND求出DN的值；
18．【答案】（1）证明：∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵M是CP的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：①∵M是CP中点，
∴ ，
若 ，如图，过点D作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
若 ，如图，过点D作 于点E，
， ，
，
，
，
∴ ，
综上： ；
②当点 在 内部时， ，点P越往右，点 离AC越近，当点 在PC上时，过点P作 于点N，
∴ ，
∴CP为 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，点 在 内部，
则根据 ，求出
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ， ，即可证明结论；（2）①分类讨论，当 时，或当 时，过点D作 于点E，根据（1）的相似三角形，得到AD=AP，并且用x表示出长度，即可求出函数表达式；②当点 在 内部时， ，过点P作 于点N，利用面积法表示出PN的长，得到x的范围，即可求出y的范围.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 相似三角形的判定 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
【分析】易得∠ABC=135°，AB=，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且，据此解答.
2．（2023九上·杭州期末）如图，能使成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意得，，
若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.
3．（2022九上·惠阳月考）下列判断中，正确的是（ ）
A．各有一个角是的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．
B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．
C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．
D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．（2022九上·凤阳月考）如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故A选项不符合题意；
∵∠，，
∴，
∴∠DBF＝∠ECF，
∵，
∴，
故B选项不符合题意；
∵，不能推出，
∴C选项符合题意；
∵，
∴，，
∴，
故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
5．（2022九上·乐亭期中）如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B符合题意；其他选项不符合题意
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法，计算求解即可。
6．（2018九上·东河月考）如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DC∥AB
∴△ADF∽△EBA∽△ECF
∴有三对.
故答案为：C．
【分析】相似三角形的判定，有两个角对应相等的两个三角形相似。
7．（2020九上·子洲期中）如图，四边形 是边长为2的正方形点P为线段 上的动点，E为 的中点，射线 交 的延长线于点Q，过点E作 的垂线交 于点H.交 的延长线于点F，则以下结论：① ；② ；③当点F与点C重合时 ；④当 时， .成立的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
当点F与点C重合时，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
在△PAE和△QDE中，
，
∴ ，
∴PE=EQ，PA=DQ，
∵ ，
∴PC=QC，
设 ，则 ，
∴ ， ，
在Rt△PBC中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵P是AB中点，
∴ ，
在Rt△PAE中， ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△EDH中， ，
∴ ，
在△EDH和△FCH中，
，
∴ ，
∴ ，故④不正确；
本题成立的结论有①②③；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质，可得，从而可得，根据垂直的定义可得 ，从而可得，由，可得，据此判断①；根据两角对应相等可证，据此判断②；当点F与点C重合时，根据ASA可证，可得PE=EQ，PA=DQ，从而求出PC=QC，设 ，则 ， ， ，在Rt△PBC中， ， ，据此求出x，从而求出PB的长，据此判断③；由P是AB中点，可得，根据三角形内角和及直角三角形的性质可得，，根据ASA可证，可得，据此判断④.
8．（2019九上·长兴期末）如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2)
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1），
∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，
A.当E（6，5）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°，
∴，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC∽△EDC，
B.当E（6，0）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°，
∴，∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
C.当E（6，4）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°，
∴≠，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC与△EDC不相似，
D.当E（4，2）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°，
∴，∠ABC=∠DCE，
∴△ABC∽△DCE，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定：对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似；由此逐一分析即可得出答案.
二、填空题
9．（2022九上·门头沟期末）如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．
【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），证明见解析
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加，
又∵，
∴，
故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
10．（2021九上·北京月考）如图，点E在 的边 的延长线上，连接 分别交 、 于F、G．图中相似的两个三角形共有 对．
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 是平行四边形，
， ，
， ， ， ， 五对，还有一对特殊的相似三角形即 ，
共6对，
故答案是；6．
【分析】先求出 ， ，再求解即可。
11．（2021九上·永年期中）如图，已知： ， ， ，当 的长为 时， 与 相似．
【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD=2，CD= ，
∴AC= = ．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 ＝ ，∴AB=3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 ＝ ，∴AB=3 ．
即当AB的长为3或3 时，这两个直角三角形相似．
故答案为3或3 .
【分析】先求出AC= = ，再分类讨论求解即可。
12．（2021九上·青龙期中）如图： 中， 是AB边上一点（与AB不重合），过点 作直线截 ，所截得的三角形与原 相似，满足这样条件的直线共有 条．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，当直线 时，此时△APE∽△ABC，符合题意；
如图所示，当直线 时，此时△BPF∽△BAC，符合题意；
如图所示，当∠APG=∠ACB，∠A=∠A时，此时△APG∽△ACB，符合题意；
如图所示，当∠BPH=∠BCA，∠B=∠B时，此时△BPH∽△BCA，符合题意；
∴一共有四条直线满足题意，
故答案为：4．
【分析】两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形的相似，据此分别判断即可。
三、解答题
13．（2018九上·深圳期中）如图，已知A（0，8），B（6，0），点M、N分别是线段AB、AO上的动点，点M从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N从点A出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点M、N中有一个点停止时，另一个点也停止。设运动时间为t秒。
（1）当t为何值时，M为AB的中点。
（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形.
（3）当t为何值时，△AMN是等腰三角形？并求此时点M的坐标。
【答案】（1）解：当t= 秒时，M是AB的中点.
（2）解：运动t秒时，AN=t，BM=2t，AM=10-2t
①当MN⊥AO时，
△ANM∽△AOB
∴
②当MN⊥AO时
△ANM∽△ABO
，
，
∴ .
综上：当 或 时，△AMN为直角三角形.
（3）解：由（2）知 ，
①AM=AN，
t=10 2t，解得
∴
②MA=MN，
过M作MF⊥AO，交AO于F，如图
则F是AN的中点，AF=
这时，△AFM∽△AOB
解得
∴
③NA=NM，
过N作NG⊥AB，交AB于G，如图，则G是AM的中点，AG=5 t.
这时，△AGN∽△AOB，
解得 .
∴
综上，当 时，△AMN为等腰三角形，此时，M点的坐标分别是 、 、 。
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再得出AB的一半，除以点M的运动速度即可；
（2）分∠ANM=90°和∠AMN=90°两种情况，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分①AM=AN；②MA=MN；③NA=NM三种情况，利用相似三角形的性质求解，得出t的值，再得出点M的坐标即可.
14．（湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（5）同步练习）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？
【答案】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC= =5，
∵∠A=∠A，
∴当 = 时，△AQP∽△ACB，即 = ，解得t= （s）；
当 = ，△AQP∽△ABC，即 = ，解得t= （s）；
∴当t为 s或 s时，△APQ与△ABC相似
（2）解：当AQ=AP时，2t=3﹣t，解得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t，
∵∠MAP=∠BAC，∴△AMP∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s）；
当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN= （3﹣t），
QN∥BC，∴△ANQ∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s），∴当t为1s或 s或 s，△APQ为等腰三角形．
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，△APQ与△ABC有一个公共角∠A，由于对应边不确定进行分类讨论：△AQP∽△ACB和△AQP∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。（2）分AQ=AP、PA=PQ、QA=QP三种情况分类讨论，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。
四、作图题
15．（2018九上·二道月考）如图，图①、图②、图③均为4×2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形．
要求：
⑴所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等．
⑵图②和图③中新画的三角形不全等．
【答案】解：如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作三角形．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
所画三角形应满足两个条件：①与 △ABC相似 ，②是格点三角形；设每个小正方形的边长为1，则△ABC的三边长为BC=1，AC=，AB=，若把它的三边扩大适当倍数，就可得到与△ABC相似的格点三角形；如扩大2倍就可得到图②中的三角形，扩大倍就可得到图③中的三角形.
五、综合题
16．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【答案】（1）2t；（5﹣t）
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）解：∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【分析】（1）由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，则OQ=（5-t）cm；
（2）由（1）可得S△POQ==6 ，解之可得t；
（3）由题意可知 △POQ与△AOB相似分为两种情况，△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA，可根据相似三角形的性质对应线段成比例求出t的值。
17．（2021九上·合肥期末）如图1，四边形中，，平分，若，．
（1）求的长．
（2）如图2，过点作交于，连接交于，求的长．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：
（2）解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的长是．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用 ADB~ BDC即可解决问题；
（2）根据已知条件证明 MBD是等腰三角形，求出MB，再证明 MNB~ CND求出DN的值；
18．（2021九上·鹿城期末）如图，在等腰直角三角形△ABC，∠ABC=90°，AB=6，P是射线AB上一个动点，连接CP，以CP为斜边构造等腰直角△CDP（C、D、P按逆时针方向），M为CP的中点，连接AD，MB.
（1）当点P在线段AB上运动时，求证：△CDA∽△CMB；
（2）设 ，△ADP的面积为y.
①当 时，求y关于x的函数表达式；
②记D关于直线AC的对称点为 ，若 在△APC的内部，求y的取值范围.
【答案】（1）证明：∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵M是CP的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：①∵M是CP中点，
∴ ，
若 ，如图，过点D作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
若 ，如图，过点D作 于点E，
， ，
，
，
，
∴ ，
综上： ；
②当点 在 内部时， ，点P越往右，点 离AC越近，当点 在PC上时，过点P作 于点N，
∴ ，
∴CP为 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，点 在 内部，
则根据 ，求出
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ， ，即可证明结论；（2）①分类讨论，当 时，或当 时，过点D作 于点E，根据（1）的相似三角形，得到AD=AP，并且用x表示出长度，即可求出函数表达式；②当点 在 内部时， ，过点P作 于点N，利用面积法表示出PN的长，得到x的范围，即可求出y的范围.
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