2023-2024学年初中数学九年级上册 25.5 相似三角形的性质 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·道外模拟）如图，，，则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·亳州模拟）如图，，若，，，则的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．（2023九下·杭州月考）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
4．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·和平期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①△CBE≌△ADF；②CG＝AH；③；④S△CBG＝2S△FHD．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023八下·相城期末）如图，E、F是矩形ABCD的边AB上的两点，CE，DF相交于点O，已知△OCD面积为8，面积为2，四边形AEOD的面积为5，则四边形BCOF的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
7．（2023·潜江）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八下·盐湖期中）“直角”在初中数学学习中无处不在在数学活动课上，李老师要求同学们用所学知识，利用无刻度的直尺和圆规判断“已知∠AOB“是不是直角．甲、乙两名同学各自给出不同的作法，来判断∠AOB是不是直角
甲：如图1，在OA、OB上分别取点CD，以C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若OE＝OD，则∠AOB＝90°；
乙：如图2，在OA、OB上分别截取OM＝4个单位长度，ON＝3个单位长度，若MN＝5个单位长度，则∠AOB＝90°；
甲、乙两位同学作法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不符合题意 B．乙正确，甲错误
C．甲和乙都错误 D．甲和乙都正确
二、填空题
9．（2023·孝感模拟）如图，，若，，，则的长为 ．
10．（浙教版2019年数学中考模拟试卷11）如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为 .
11．（2022九上·长顺期末）如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是
12．（2023·泰安）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．
13．（2023·东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
14．（2023·东营）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
三、解答题
15．（2023·黑龙江）如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．
若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
16．（2023·北京市模拟）下面是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，点是边的中点． 求证：．
方法一： 证明：延长至，使， 连接，． 方法二： 证明：过点作于点．
四、综合题
17．（2023·东区模拟）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
（1）【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
（4）【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
18．（2023八下·相城期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，∠C＝∠E.
（1）求证：AD·BC＝AB·DE；
（2）若求DE的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴△ADE△ABC，△CEF△CAB，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴.
故答案为：A.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△AOB∽△DOC，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质可得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB.
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=AB，DF=CF=CD，
∴AE=BE=DF=CF，
∴△CBE≌△ADF（SAS），故①正确；
∵△CBE≌△ADF，
∴∠BCE=∠DAF.
∵BC=AD，∠CBD=∠ADB，
∴△CBG≌△ADH（ASA），
∴CG=AH，故②正确；
∵AE=CE，AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴EC∥AF.
∵AE=BE，
∴BG=GH.
∵CF=DF，AF∥CE，
∴GH=DH，
∴BG=GH=DH，
∴BG=GD，故③正确.
∵AB∥DF，
∴∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，
∴△ABH∽△FDH，
∴，
∴S△ADH=2S△DFH.
∵△CBG≌△ADH，
∴S△CBG＝2S△FHD，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ADB，结合中点的概念可得AE=BE=DF=CF，利用全等三角形的判定定理可判断①；由全等三角形的性质可得∠BCE=∠DAF，利用ASA证明△CBG≌△ADH，进而可判断②；易得四边形AECF为平行四边形，则EC∥AF，BG=GH，同理可得GH=DH，则BG=GH=DH，据此判断③；由平行线的性质可得∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABH∽△FDH，由相似三角形的性质结合三角形的面积公式可得S△ADH=2S△DFH，由全等三角形的性质可得S△CBG=S△ADH，据此判断④.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△EOF∽△COD，
∴，
∴，
∴△OFC的面积=2△OEF的面积=2×2=4，
∴△DCF的面积=4+8=12，
矩形ABCD的面积=2×△DCF的面积=24，
∴四边形BCOF的面积=矩形ABCD的面积-△OEF的面积-△OCD的面积- 四边形AEOD的面积=24-2-5-8=9；
故答案为：B.
【分析】连接CF，利用矩形的性质可证△EOF∽△COD，利用相似三角形的性质可得，从而求出△OFC的面积，即得△DCF的面积，从而求出矩形ABCD的面积=2×△DCF的面积，利用四边形BCOF的面积=矩形ABCD的面积-△OEF的面积-△OCD的面积- 四边形AEOD的面积即可求解.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12.
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD=BC+CD=6，
∴AD=3，CD=2.
作DE⊥BC于点E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，CE=，
∴BE=，
∴BD==.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得AC=5，则△ABC的周长为3+4+5=12，根据BD平分△ABC的周长可得AB+AD=BC+CD=6，据此可得AD、CD的值，作DE⊥BC于点E，则AB∥DE，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质可得DE、CE，然后求出BE，再利用勾股定理计算即可.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】甲正确；
理由如下：
∵CD＝CE，
∴△ECD是等腰三角形，
利用等腰三角形三线合一性，若OE＝OD，
则CO⊥ED，
即可说明∠AOB是直角；
乙正确；
理由如下：
OM＝4个单位长度，ON＝3个单位长度，若MN＝5个单位长度，
在△MON中，由勾股定理可以断定三角形NOM是直角三角形，
即可说明∠AOB是直角；
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形三线合一性质可判断甲；根据勾股定理可判断乙.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD=4，AB=AD+DB=10，BC=12，
∴，
解得DE=.
故答案为：.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出DE的长.
10．【答案】1：9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9.
故答案为：1：9.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比即可得出答案。
11．【答案】(0，1)
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
∴即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOC∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出OC的长，从而即可得出点C的坐标.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，又由轴对称性质知：∠B'=∠B，∴∠A=∠B'，∵∠AFD=∠B'FG，∴△AFD∽△B'FG，∴∵AF=8，DF=7，B'F=4，∴，∴GF=3.5，又AC=16，∴CG=AC-AF-GF=16-8-3.5=4.5。
故第1空答案为：4.5.
【分析】先证明△AFD∽△B'FG，根据对应边成比例，求得GF的长，然后根据CG=AC-AF-GF，即可求得CG。
13．【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，
∴△BFC∽△BGA，
∴，
∵，，，
∴CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，
∴，
故答案为：-1
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，进而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据点的坐标得到CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，进而代入即可求解。
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，如图所示：
∴∠BMC=∠MCA，
由题意得GC为∠BCA的角平分线，
∴∠MCB=∠MCA，
∴∠MCB=∠BMC，
∴CB=BM，
∵MB∥CA，
∴△GMB∽△GCA，
∴，
∴，
∴的面积为12，
故答案为：12
【分析】过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，进而得到∠BMC=∠MCA，先根据题意结合角平分线的性质即可得到∠MCB=∠MCA，进而得到∠MCB=∠BMC，再根据等腰三角形的性质即可得到CB=BM，进而根据相似三角形的判定与性质证明△GMB∽△GCA，结合题意即可得到，进而即可求解。
15．【答案】解：如图②，，理由如下：
连接AH、CF、AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，F、H分别是DE、BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=BC，AF=EF=DE，∠CAH=∠EAF=45°，
∴∠HAF=∠EAC，，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
∴，
∵点F、G分别是DE、DC的中点，
∴CE=2FG，
∴；
如图③，FH=FG，理由如下：
连接AH、CE、AF，
∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠AFD=∠ADE=∠ACB=∠B=30°，
∵点F、H分别是DE、BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH=∠EAF=×120°=60°，
∴∠HAF=∠EAC，，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
∴CE=2FH，
∵点F、G分别是DE、DC的中点，
∴CE=2FG，
∴FH=FG.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】如图②，，理由如下：连接AH、CF、AF，根据等腰直角三角形的性质得AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=BC，AF=EF=DE，∠CAH=∠EAF=45°，从而可由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△AHF∽△ACE，由相似三角形的对应边成比例及等腰直角三角形的性质得，再根据三角形的中位线定理可得结论；
如图③，FH=FG，理由如下：连接AH、CE、AF，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠AFD=∠ADE=∠ACB=∠B=30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH=∠EAF=×120°=60°，从而可由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△AHF∽△ACE，由相似三角形的对应边成比例及含30°角直角三角形的性质得CE=2FH，再根据三角形的中位线定理可得结论.
16．【答案】证明：方法一：∵点是边的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
方法二：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】方法一：先证明四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是矩形，则由矩形的性质可得；
方法二：证明△OCD∽△ACB，得到CD=BD，则OD垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质可得．
17．【答案】（1）
（2）解：，
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到
即
；
（4）解：如图3，四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
即．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 (1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴∠BFE=∠ABD=45°， BE=EF，
∴BF=BE，
∴DF=BD-BF=AB-BE=(AB-BE)=AE
∴=，故答案为：
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质计算。
（2）先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（3）探究二：先画出图形得到图3，利用勾股定理得到 ，再证明，得到 ，则 ，接着利用旋转的性质得，所以 ，然后根据相似三角形的判定方法得到 ，再利用相似的性质可得 ，
（4）一般规律：
作FM⊥AD，垂足为M，依据勾股定理可得Rt△ABD中， ，再根据 ，可得 ，利用旋转的性质得 ， 得出 ，最后得出．
18．【答案】（1）证明：
又∵∠C=∠E，
∴△ADE∽△ABC，
（2）解：
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即得结论；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.5 相似三角形的性质 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·道外模拟）如图，，，则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴△ADE△ABC，△CEF△CAB，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
2．（2023·亳州模拟）如图，，若，，，则的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
3．（2023九下·杭州月考）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴.
故答案为：A.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△AOB∽△DOC，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
4．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质可得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案.
5．（2023八下·和平期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①△CBE≌△ADF；②CG＝AH；③；④S△CBG＝2S△FHD．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB.
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=AB，DF=CF=CD，
∴AE=BE=DF=CF，
∴△CBE≌△ADF（SAS），故①正确；
∵△CBE≌△ADF，
∴∠BCE=∠DAF.
∵BC=AD，∠CBD=∠ADB，
∴△CBG≌△ADH（ASA），
∴CG=AH，故②正确；
∵AE=CE，AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴EC∥AF.
∵AE=BE，
∴BG=GH.
∵CF=DF，AF∥CE，
∴GH=DH，
∴BG=GH=DH，
∴BG=GD，故③正确.
∵AB∥DF，
∴∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，
∴△ABH∽△FDH，
∴，
∴S△ADH=2S△DFH.
∵△CBG≌△ADH，
∴S△CBG＝2S△FHD，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，根据平行线的性质可得∠CBD=∠ADB，结合中点的概念可得AE=BE=DF=CF，利用全等三角形的判定定理可判断①；由全等三角形的性质可得∠BCE=∠DAF，利用ASA证明△CBG≌△ADH，进而可判断②；易得四边形AECF为平行四边形，则EC∥AF，BG=GH，同理可得GH=DH，则BG=GH=DH，据此判断③；由平行线的性质可得∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABH∽△FDH，由相似三角形的性质结合三角形的面积公式可得S△ADH=2S△DFH，由全等三角形的性质可得S△CBG=S△ADH，据此判断④.
6．（2023八下·相城期末）如图，E、F是矩形ABCD的边AB上的两点，CE，DF相交于点O，已知△OCD面积为8，面积为2，四边形AEOD的面积为5，则四边形BCOF的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△EOF∽△COD，
∴，
∴，
∴△OFC的面积=2△OEF的面积=2×2=4，
∴△DCF的面积=4+8=12，
矩形ABCD的面积=2×△DCF的面积=24，
∴四边形BCOF的面积=矩形ABCD的面积-△OEF的面积-△OCD的面积- 四边形AEOD的面积=24-2-5-8=9；
故答案为：B.
【分析】连接CF，利用矩形的性质可证△EOF∽△COD，利用相似三角形的性质可得，从而求出△OFC的面积，即得△DCF的面积，从而求出矩形ABCD的面积=2×△DCF的面积，利用四边形BCOF的面积=矩形ABCD的面积-△OEF的面积-△OCD的面积- 四边形AEOD的面积即可求解.
7．（2023·潜江）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12.
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD=BC+CD=6，
∴AD=3，CD=2.
作DE⊥BC于点E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，CE=，
∴BE=，
∴BD==.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得AC=5，则△ABC的周长为3+4+5=12，根据BD平分△ABC的周长可得AB+AD=BC+CD=6，据此可得AD、CD的值，作DE⊥BC于点E，则AB∥DE，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质可得DE、CE，然后求出BE，再利用勾股定理计算即可.
8．（2019八下·盐湖期中）“直角”在初中数学学习中无处不在在数学活动课上，李老师要求同学们用所学知识，利用无刻度的直尺和圆规判断“已知∠AOB“是不是直角．甲、乙两名同学各自给出不同的作法，来判断∠AOB是不是直角
甲：如图1，在OA、OB上分别取点CD，以C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若OE＝OD，则∠AOB＝90°；
乙：如图2，在OA、OB上分别截取OM＝4个单位长度，ON＝3个单位长度，若MN＝5个单位长度，则∠AOB＝90°；
甲、乙两位同学作法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不符合题意 B．乙正确，甲错误
C．甲和乙都错误 D．甲和乙都正确
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】甲正确；
理由如下：
∵CD＝CE，
∴△ECD是等腰三角形，
利用等腰三角形三线合一性，若OE＝OD，
则CO⊥ED，
即可说明∠AOB是直角；
乙正确；
理由如下：
OM＝4个单位长度，ON＝3个单位长度，若MN＝5个单位长度，
在△MON中，由勾股定理可以断定三角形NOM是直角三角形，
即可说明∠AOB是直角；
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形三线合一性质可判断甲；根据勾股定理可判断乙.
二、填空题
9．（2023·孝感模拟）如图，，若，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD=4，AB=AD+DB=10，BC=12，
∴，
解得DE=.
故答案为：.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出DE的长.
10．（浙教版2019年数学中考模拟试卷11）如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为 .
【答案】1：9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9.
故答案为：1：9.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比即可得出答案。
11．（2022九上·长顺期末）如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是
【答案】(0，1)
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
∴即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOC∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出OC的长，从而即可得出点C的坐标.
12．（2023·泰安）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，又由轴对称性质知：∠B'=∠B，∴∠A=∠B'，∵∠AFD=∠B'FG，∴△AFD∽△B'FG，∴∵AF=8，DF=7，B'F=4，∴，∴GF=3.5，又AC=16，∴CG=AC-AF-GF=16-8-3.5=4.5。
故第1空答案为：4.5.
【分析】先证明△AFD∽△B'FG，根据对应边成比例，求得GF的长，然后根据CG=AC-AF-GF，即可求得CG。
13．（2023·东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，
∴△BFC∽△BGA，
∴，
∵，，，
∴CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，
∴，
故答案为：-1
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，进而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据点的坐标得到CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，进而代入即可求解。
14．（2023·东营）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，如图所示：
∴∠BMC=∠MCA，
由题意得GC为∠BCA的角平分线，
∴∠MCB=∠MCA，
∴∠MCB=∠BMC，
∴CB=BM，
∵MB∥CA，
∴△GMB∽△GCA，
∴，
∴，
∴的面积为12，
故答案为：12
【分析】过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，进而得到∠BMC=∠MCA，先根据题意结合角平分线的性质即可得到∠MCB=∠MCA，进而得到∠MCB=∠BMC，再根据等腰三角形的性质即可得到CB=BM，进而根据相似三角形的判定与性质证明△GMB∽△GCA，结合题意即可得到，进而即可求解。
三、解答题
15．（2023·黑龙江）如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．
若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【答案】解：如图②，，理由如下：
连接AH、CF、AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，F、H分别是DE、BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=BC，AF=EF=DE，∠CAH=∠EAF=45°，
∴∠HAF=∠EAC，，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
∴，
∵点F、G分别是DE、DC的中点，
∴CE=2FG，
∴；
如图③，FH=FG，理由如下：
连接AH、CE、AF，
∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠AFD=∠ADE=∠ACB=∠B=30°，
∵点F、H分别是DE、BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH=∠EAF=×120°=60°，
∴∠HAF=∠EAC，，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
∴CE=2FH，
∵点F、G分别是DE、DC的中点，
∴CE=2FG，
∴FH=FG.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】如图②，，理由如下：连接AH、CF、AF，根据等腰直角三角形的性质得AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=BC，AF=EF=DE，∠CAH=∠EAF=45°，从而可由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△AHF∽△ACE，由相似三角形的对应边成比例及等腰直角三角形的性质得，再根据三角形的中位线定理可得结论；
如图③，FH=FG，理由如下：连接AH、CE、AF，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠AFD=∠ADE=∠ACB=∠B=30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH=∠EAF=×120°=60°，从而可由两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△AHF∽△ACE，由相似三角形的对应边成比例及含30°角直角三角形的性质得CE=2FH，再根据三角形的中位线定理可得结论.
16．（2023·北京市模拟）下面是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，点是边的中点． 求证：．
方法一： 证明：延长至，使， 连接，． 方法二： 证明：过点作于点．
【答案】证明：方法一：∵点是边的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
方法二：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】方法一：先证明四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是矩形，则由矩形的性质可得；
方法二：证明△OCD∽△ACB，得到CD=BD，则OD垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质可得．
四、综合题
17．（2023·东区模拟）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
（1）【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
（4）【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：，
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到
即
；
（4）解：如图3，四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
即．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 (1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴∠BFE=∠ABD=45°， BE=EF，
∴BF=BE，
∴DF=BD-BF=AB-BE=(AB-BE)=AE
∴=，故答案为：
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质计算。
（2）先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（3）探究二：先画出图形得到图3，利用勾股定理得到 ，再证明，得到 ，则 ，接着利用旋转的性质得，所以 ，然后根据相似三角形的判定方法得到 ，再利用相似的性质可得 ，
（4）一般规律：
作FM⊥AD，垂足为M，依据勾股定理可得Rt△ABD中， ，再根据 ，可得 ，利用旋转的性质得 ， 得出 ，最后得出．
18．（2023八下·相城期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，∠C＝∠E.
（1）求证：AD·BC＝AB·DE；
（2）若求DE的长.
【答案】（1）证明：
又∵∠C=∠E，
∴△ADE∽△ABC，
（2）解：
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即得结论；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
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