2023-2024学年初中数学九年级上册 25.5 相似三角形的性质 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·包河期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B都在格点（小正方形的顶点）上，点C为与网格水平线的交点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·曲靖模拟）如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·凤庆模拟）如图，平行四边形的对角线交于点O，E是的中点，连接．若的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2023·江门模拟）如图，在直角坐标系中，菱形顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，当恰好第一次落在线段上时，的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·余杭模拟）如图，在中，，点P在边上，若是的三等分线，则的长度为（ ）
A．或5 B．或 C．或2 D．或2
6．（2023·中山模拟）如图，点为 的对称中心，轴，与轴交于点，与轴交于点，，若将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·南海模拟）如图，在中，点，分别是，的中点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（2023·巴中）如图，在中，，，、分别为、中点，连接、相交于点，点在上，且：：，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·肇源月考）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于F，若，则 ．
10．（2023·临沂）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．
11．（2023·江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．
12．（2021·大庆模拟）如图，已知等腰三角形 于点 为 边中线， 相交于点 ．在 从 减小到 的过程中，点 经过的路径长为 ．
13．（2023·牡丹江）如图，在正方形中，E在边上，交对角线于点F，于M，的平分线所在直线分别交，于点N，P，连接．下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是 ．
三、解答题
14．（2023·泉州模拟）如图，在矩形中，点在边上，，垂足为F，，，，求的长.
15．（2023·立山模拟）如图，在矩形中，于点E，点P是边上一点，且．求证：．
四、综合题
16．（2023·巴中）综合与实践．
（1）提出问题如图，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
的度数是 ．
： ．
（2）类比探究如图，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
的度数是 ；
： ．
（3）问题解决如图，在等边中，于点，点在线段上不与重合，以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度如图，为的中点，为的中点．
说明为等腰三角形．
求的度数．
17．（2023八下·相城期末）如图，在中，直线DF与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，与线段BC延长线相交于点F.
（1）若，，求的值.
（2）若，，其中m＞n＞0，求的值.
（3）请根据上述（1）（2）的结论，猜想= （直接写出答案，不需要证明）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由勾股定理得，
∵FB∥EA，
∴△FCB∽△ECA，
∴，
∵，
∴AC=，
故答案为：C
【分析】先根据勾股定理即可得到AB的长，进而根据相似三角形的判定与性质证明△FCB∽△ECA即可得到，进而代入数值即可求解。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADE∽△ABC，
∵，
∴与的周长之比为，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解。
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为BD的中点，
∵E是的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∴△BOE∽△BDC，
∵，
∴，
∴△BCD的面积为8，
∴四边形的面积是8-2=6，
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到O为BD的中点，再根据中位线的性质即可得到OE∥CD，进而根据相似三角形的判定与性质结合三角形的面积即可求解。
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B′作B′E⊥OB于点E，则∠OEB′=90°，∠AOD+∠AOB′=∠AOB，OB′=OB.
∵∠AOB′+∠EOB′=∠AOB，
∴∠AOD=∠EOB′.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，AD∥BC.
∵A、B、C在坐标轴上，
∴AO⊥BC，
∴AO⊥AD，
∴∠AOB=∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠EOB′.
∵∠AOD=∠EOB′
∴△AOD∽△EOB′，
∴.
∵B（-1，0），∠ABC=60°，
∴OB=OB′=1，∠BAO=30°，
∴AD=AB=2OB=2，
∴OA=，
∴OD=，
∴B′E=，OE=，
∴B′（，）.
故答案为：D.
【分析】过B′作B′E⊥OB于点E，则∠OEB′=90°，OB′=OB，根据同角的余角相等得∠AOD=∠EOB′，由菱形的性质可得AB=AD，AD∥BC，则AO⊥AD，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△AOD∽△EOB′，由点B的坐标可得OB=OB′=1，则AD=AB=2OB=2，由勾股定理可得OA、OD，利用相似三角形的性质可得B′E、OE，据此可得点B′的坐标.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC=2，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°.
∵AP是∠BAC的三等分线，
∴∠BAP=36°，∠CAP=72°，
∴∠CPA=72°，
∴AC=PC=2.
∵∠B=∠B，∠BAP=∠C，
∴△BAP∽△BCA，
∴，
∴，
∴BP2+2BP-4=0，
∴BP=-1.
当∠PAC=36°时，∠BAP=∠BPA=72°，
∴AB=BP=2.
综上可得BP=-1.或2.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=36°，由题意可得∠BAP=36°，∠CAP=72°，则∠CPA=72°，推出AC=PC=2，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BAP∽△BCA，由相似三角形的性质可得BP的值；当∠PAC=36°时，∠BAP=∠BPA=72°，此时AB=BP，据此解答.
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OC、BD，
∵四边形ANCD为平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
∵AB∥x轴，
∴△DOF∽DBA，
∴，
∴AB=2FO，FD=FA.
∵F（，0），
∴OF=，
∴AB=3.
∵AE：BE=1：2，
∴AE=1，BE=2，
∴E（0，1），A（-1，1）.
∵每次旋转90°，4次为一个循环，2023÷4=505…3，
∴第2023次旋转结束时，点A的对应点在第三象限，
∴此时点A的坐标为（-1，-1）.
故答案为：B.
【分析】连接OC、BD，由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，根据平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似可得△DOF∽DBA，由相似三角形的性质可得AB=2FO，FD=FA，根据点F的坐标可得OF=，则AB=3，结合AE：BE=1：2可得AE=1，BE=2，据此可得点A、E的坐标，由题意可得每次旋转90°，4次为一个循环，2023÷4=505…3，据此解答.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE//BC，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】先判断DE是△ABC的中位线，从而得到△ADE∽△ABC，且；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△ABC的面积.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接DE，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴S△ABC=，因为点D是AC的中点，所以∵点E是BC的中点，∴∵DG∶GC=1∶2，∴又∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE∶AB=1∶2，∴△ABF∽△EDF，∴DF∶FB=DE∶AB=1∶2，∴∴S四边形DFEG=S△DEG+S△DEF=2+2=4（cm2）。
故答案为：B.
【分析】首先可求得直角三角形ABC的面积为24cm2，然后根据D、E分别是AC、BC中点，可以得出，再根据DG∶GC=1∶2，，根据DE是△ABC的中位线，可得最后得出S四边DFEG=S△DEG+S△DEF=2+2=4（cm2）。
9．【答案】180
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AEF∽△CDF.
∵E为AB的中点，
∴AE=AB，
∴AE=CD，
∴相似比为1：2，
∴，
∴，
∴FC=120，
∴AC=AF+FC=60+120=180.
故答案为：180.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AEF∽△CDF，由中点的概念可得AE=AB=CD，则相似比为1：2，据此可求出FC，然后根据AC=AF+FC进行计算.
10．【答案】14
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，四边形DECF是平行四边形，
∴DF//BC，DE//AC，
∴△ADF△ABC， △BDE△BAC，
∴，，
∵AC=6，BC=9，
∴DF=3， DE=4，
∵四边形DECF平行四边形，
∴平行四边形DECF纸片的周长是2×(3+4)=14，
故答案为：14.
【分析】根据题意先求出△ADF△ABC， △BDE△BAC，再利用相似三角形和平行四边形的性质计算求解即可。
11．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠=ABC=∠AQP=90°，∴BC∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴∴∴PQ=6(m)。
故第1空答案为：6.
【分析】根据两条直线平行判定△ABD∽△AQP，然后根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得PQ的长度。
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】过点A作AE OB，且AE=OB，连接BE、CE
∵AE OB，AE=OB，
∴四边形AOBE是平行四边形
∵OA=OB
∴四边形AOBE是菱形
∴AB⊥OE，
∴O、P、C、E四点共线，
∵AE OB
∴∠EAP=∠PDO，∠AEP=∠DOP
∴△APE∽△DPO
∴
∵D点是OB中点
∴OD= OB= AE
∴ =2
∴DP= AD
∵D为定点，P随A运动而运动， 从 减小到 的过程
∴点P经过的路程为点A运动路程的
∵OA=6
∴点A运动路程为
∴点 经过的路径长为
故答案为： ．
【分析】过点A作AE OB，且AE=OB，连接BE、CE，得出四边形AOBE是菱形，O、P、C、E四点共线，求证出△APE∽△DPO，由D为定点，P随A运动而运动， 从 减小到 的过程得到点P经过的路程为点A运动路程的 ，由OA=6，得到点A运动路程，即可得出点 经过的路径长。
13．【答案】①④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：记N到PC的距离为h，则.
∵CM⊥BE，四边形ABCD为正方形，
∴∠CME=90°，∠PCN=45°.
∵MN平分∠CME，
∴∠CMN=∠EMN=∠PMF=45°=∠PCN.
∵∠MPF=∠NPC，
∴△MPF∽△PCN，
∴，∠PFM=∠PNC，
∴.
同理可得△NCM∽△NPC，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵∠PMF=45°=∠PCE，
∴∠PCE+∠EMN=180°，
∴M、F、C、N四点共圆，
∴∠FNC=∠FMC=90°，
∴FN∥BC，
∴△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN·CD=EC·FN，故③错误；
∵EM=1，BM=4，
∴BE=5.
∵正方形ABCD，CM⊥BE，
∴∠BCD=∠BMC=∠EMC=90°，
∴∠MEC=∠BCM，
∴△CME∽△BMC，
∴CM2=BM·ME=4，
∴CM=2，
∴CE=，BC==AB，
同理可得△CEF∽△ABF，
∴，
∴EF=BF，
∴EF=BE=，BF=，
∴FM=BM-BF=.
∵△PMF=∠ACB=45°，∠PFM=∠BFC，
∴△PMF∽△BCF，
∴.
∵△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN=EC=，
∴CN=EC-EN=，
∴CF=CN=，
∴，
∴PM=，故④正确；
同理可得△EMN∽△ECF，
∴，
∴MN=，
∴PN=PM+MN=+=，
∴CM≠PN，故②错误.
故答案为：①④.
【分析】记N到PC的距离为h，则，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△MPF∽△PCN，△NCM∽△NPC，结合相似三角形的性质即可判断①；易证△EFN∽△EBC，根据相似三角形的性质即可判断③；根据正方形的性质以及同角的余角相等可得∠MEC=∠BCM，由两角对应相等的两个三角形相似可得△CME∽△BMC，根据相似三角形的性质可得CM，然后求出CE、BC，同理可得△CEF∽△ABF，得到EF=BF，则EF=BE=，然后求出BF、FM的值，证明△PMF∽△BCF，△EFN∽△EBC，根据相似三角形的性质可得EN，然后求出CN，CF，PM，据此判断④；证明△EMN∽△ECF，根据相似三角形的性质可得MN，然后求出PN，据此判断②.
14．【答案】解：四边形是矩形，
，，
.
，
，
，
，
.
又，，，
，
.
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠DCE=90°，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADF=∠DEC，由垂直的概念可得∠AFD=90°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AFD∽△DCE，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
15．【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据，可证，，根据矩形性质可得，。
16．【答案】（1）90°；1：1
（2）45°；
（3）解：解：连接、，延长交于点，交于点．
在等边中，又于点，
为的中点，
又为的中点，为的中点，
、分别是、的中位线，
，．
，
．
．
在和中，
，
≌．
．
．
为等腰三角形．
≌，
，
由规律可知：，
，
又，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）①如图1所示，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵BA=CA，DA=EA，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠CBD=∠ABD+∠CBD=45°，又∵∠ACB=45°，∴∠BOC=180°-∠ACB-（ACE+∠CBD）=90°；②又△BAD≌△CAE，∴BD=CE；∴BD∶CE=1∶1；
故第1空答案为：90°；第2空答案为：1∶1；
（2）①如图2所示，∵∠ACB=∠DCE=45°，∴∠BCE=∠ACD，又∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴，∴△CAD∽△CBE，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=45°，∴∠A0B180°-∠BOC-（∠CAD+∠ABE）=45°；②∵△CAD∽△CBE，∴
故第1空答案为：45°；第2空答案为：
【分析】（1）可证明△BAD和△CAE全等，得出全等三角形的对应角∠ABD=∠ACE，从而得出∠OBC+∠ACO=45°，由三角形内角和定理得出∠BOC=90°；得出对应边BD=CE，∴BD∶CE=1∶1；
（2）可证明△CAD和△CBE相似，得出相似三角形的对应角∠CAD=∠CBE，从而得出∠OBA+∠CAD=45°，由三角形内角和定理得出∠AOB=45°；得出对应边AD∶BE=AC∶BC=；
（3）要证△MND是等腰三角形，可证MN=DN，由题意知MN、DN分别是△BEF、△BCE的中位线，所以只需证明BF=CE，通过证明△ACE和△ABF全等，即可证明BF=CE，所以结论得证；由（1）（2）的规律易知∠BOC=60°，所以∠FOC=120°，根据三角形中位线的性质定理，可得到NN∥BF，DN∥CE，所以可得：∠MND=∠MPE=∠FOC=120°。
17．【答案】（1）解：如图，过点C作CG∥AB交DF于点G
，
∴
又∵
；
（2）解：过点C作CG∥AB交DF于点G
，
故设
又
；
（3）1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）由 （1）（2）知：，
∴= =1；
故答案为：1.
【分析】（1）过点C作CG∥AB交DF于点G，利用平行线可证，，利用相似三角形对应边成比例即可求解；
（2）过点C作CG∥AB交DF于点G，利用平行线可证，可得 ，可设，由可得DB=2mk，由平行线可证，利用相似三角形对应边成比例即可求解；
（3）由 （1）（2）知，，代入原式即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.5 相似三角形的性质 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·包河期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B都在格点（小正方形的顶点）上，点C为与网格水平线的交点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由勾股定理得，
∵FB∥EA，
∴△FCB∽△ECA，
∴，
∵，
∴AC=，
故答案为：C
【分析】先根据勾股定理即可得到AB的长，进而根据相似三角形的判定与性质证明△FCB∽△ECA即可得到，进而代入数值即可求解。
2．（2023·曲靖模拟）如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△ADE∽△ABC，
∵，
∴与的周长之比为，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解。
3．（2023·凤庆模拟）如图，平行四边形的对角线交于点O，E是的中点，连接．若的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为BD的中点，
∵E是的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∴△BOE∽△BDC，
∵，
∴，
∴△BCD的面积为8，
∴四边形的面积是8-2=6，
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到O为BD的中点，再根据中位线的性质即可得到OE∥CD，进而根据相似三角形的判定与性质结合三角形的面积即可求解。
4．（2023·江门模拟）如图，在直角坐标系中，菱形顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，当恰好第一次落在线段上时，的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B′作B′E⊥OB于点E，则∠OEB′=90°，∠AOD+∠AOB′=∠AOB，OB′=OB.
∵∠AOB′+∠EOB′=∠AOB，
∴∠AOD=∠EOB′.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，AD∥BC.
∵A、B、C在坐标轴上，
∴AO⊥BC，
∴AO⊥AD，
∴∠AOB=∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠EOB′.
∵∠AOD=∠EOB′
∴△AOD∽△EOB′，
∴.
∵B（-1，0），∠ABC=60°，
∴OB=OB′=1，∠BAO=30°，
∴AD=AB=2OB=2，
∴OA=，
∴OD=，
∴B′E=，OE=，
∴B′（，）.
故答案为：D.
【分析】过B′作B′E⊥OB于点E，则∠OEB′=90°，OB′=OB，根据同角的余角相等得∠AOD=∠EOB′，由菱形的性质可得AB=AD，AD∥BC，则AO⊥AD，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△AOD∽△EOB′，由点B的坐标可得OB=OB′=1，则AD=AB=2OB=2，由勾股定理可得OA、OD，利用相似三角形的性质可得B′E、OE，据此可得点B′的坐标.
5．（2023·余杭模拟）如图，在中，，点P在边上，若是的三等分线，则的长度为（ ）
A．或5 B．或 C．或2 D．或2
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC=2，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°.
∵AP是∠BAC的三等分线，
∴∠BAP=36°，∠CAP=72°，
∴∠CPA=72°，
∴AC=PC=2.
∵∠B=∠B，∠BAP=∠C，
∴△BAP∽△BCA，
∴，
∴，
∴BP2+2BP-4=0，
∴BP=-1.
当∠PAC=36°时，∠BAP=∠BPA=72°，
∴AB=BP=2.
综上可得BP=-1.或2.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=36°，由题意可得∠BAP=36°，∠CAP=72°，则∠CPA=72°，推出AC=PC=2，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BAP∽△BCA，由相似三角形的性质可得BP的值；当∠PAC=36°时，∠BAP=∠BPA=72°，此时AB=BP，据此解答.
6．（2023·中山模拟）如图，点为 的对称中心，轴，与轴交于点，与轴交于点，，若将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OC、BD，
∵四边形ANCD为平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
∵AB∥x轴，
∴△DOF∽DBA，
∴，
∴AB=2FO，FD=FA.
∵F（，0），
∴OF=，
∴AB=3.
∵AE：BE=1：2，
∴AE=1，BE=2，
∴E（0，1），A（-1，1）.
∵每次旋转90°，4次为一个循环，2023÷4=505…3，
∴第2023次旋转结束时，点A的对应点在第三象限，
∴此时点A的坐标为（-1，-1）.
故答案为：B.
【分析】连接OC、BD，由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，根据平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似可得△DOF∽DBA，由相似三角形的性质可得AB=2FO，FD=FA，根据点F的坐标可得OF=，则AB=3，结合AE：BE=1：2可得AE=1，BE=2，据此可得点A、E的坐标，由题意可得每次旋转90°，4次为一个循环，2023÷4=505…3，据此解答.
7．（2023·南海模拟）如图，在中，点，分别是，的中点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE//BC，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】先判断DE是△ABC的中位线，从而得到△ADE∽△ABC，且；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△ABC的面积.
8．（2023·巴中）如图，在中，，，、分别为、中点，连接、相交于点，点在上，且：：，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接DE，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴S△ABC=，因为点D是AC的中点，所以∵点E是BC的中点，∴∵DG∶GC=1∶2，∴又∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE∶AB=1∶2，∴△ABF∽△EDF，∴DF∶FB=DE∶AB=1∶2，∴∴S四边形DFEG=S△DEG+S△DEF=2+2=4（cm2）。
故答案为：B.
【分析】首先可求得直角三角形ABC的面积为24cm2，然后根据D、E分别是AC、BC中点，可以得出，再根据DG∶GC=1∶2，，根据DE是△ABC的中位线，可得最后得出S四边DFEG=S△DEG+S△DEF=2+2=4（cm2）。
二、填空题
9．（2023八下·肇源月考）如图，在平行四边形中，E为的中点，交于F，若，则 ．
【答案】180
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AEF∽△CDF.
∵E为AB的中点，
∴AE=AB，
∴AE=CD，
∴相似比为1：2，
∴，
∴，
∴FC=120，
∴AC=AF+FC=60+120=180.
故答案为：180.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AEF∽△CDF，由中点的概念可得AE=AB=CD，则相似比为1：2，据此可求出FC，然后根据AC=AF+FC进行计算.
10．（2023·临沂）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．
【答案】14
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，四边形DECF是平行四边形，
∴DF//BC，DE//AC，
∴△ADF△ABC， △BDE△BAC，
∴，，
∵AC=6，BC=9，
∴DF=3， DE=4，
∵四边形DECF平行四边形，
∴平行四边形DECF纸片的周长是2×(3+4)=14，
故答案为：14.
【分析】根据题意先求出△ADF△ABC， △BDE△BAC，再利用相似三角形和平行四边形的性质计算求解即可。
11．（2023·江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠=ABC=∠AQP=90°，∴BC∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴∴∴PQ=6(m)。
故第1空答案为：6.
【分析】根据两条直线平行判定△ABD∽△AQP，然后根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得PQ的长度。
12．（2021·大庆模拟）如图，已知等腰三角形 于点 为 边中线， 相交于点 ．在 从 减小到 的过程中，点 经过的路径长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】过点A作AE OB，且AE=OB，连接BE、CE
∵AE OB，AE=OB，
∴四边形AOBE是平行四边形
∵OA=OB
∴四边形AOBE是菱形
∴AB⊥OE，
∴O、P、C、E四点共线，
∵AE OB
∴∠EAP=∠PDO，∠AEP=∠DOP
∴△APE∽△DPO
∴
∵D点是OB中点
∴OD= OB= AE
∴ =2
∴DP= AD
∵D为定点，P随A运动而运动， 从 减小到 的过程
∴点P经过的路程为点A运动路程的
∵OA=6
∴点A运动路程为
∴点 经过的路径长为
故答案为： ．
【分析】过点A作AE OB，且AE=OB，连接BE、CE，得出四边形AOBE是菱形，O、P、C、E四点共线，求证出△APE∽△DPO，由D为定点，P随A运动而运动， 从 减小到 的过程得到点P经过的路程为点A运动路程的 ，由OA=6，得到点A运动路程，即可得出点 经过的路径长。
13．（2023·牡丹江）如图，在正方形中，E在边上，交对角线于点F，于M，的平分线所在直线分别交，于点N，P，连接．下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是 ．
【答案】①④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：记N到PC的距离为h，则.
∵CM⊥BE，四边形ABCD为正方形，
∴∠CME=90°，∠PCN=45°.
∵MN平分∠CME，
∴∠CMN=∠EMN=∠PMF=45°=∠PCN.
∵∠MPF=∠NPC，
∴△MPF∽△PCN，
∴，∠PFM=∠PNC，
∴.
同理可得△NCM∽△NPC，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵∠PMF=45°=∠PCE，
∴∠PCE+∠EMN=180°，
∴M、F、C、N四点共圆，
∴∠FNC=∠FMC=90°，
∴FN∥BC，
∴△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN·CD=EC·FN，故③错误；
∵EM=1，BM=4，
∴BE=5.
∵正方形ABCD，CM⊥BE，
∴∠BCD=∠BMC=∠EMC=90°，
∴∠MEC=∠BCM，
∴△CME∽△BMC，
∴CM2=BM·ME=4，
∴CM=2，
∴CE=，BC==AB，
同理可得△CEF∽△ABF，
∴，
∴EF=BF，
∴EF=BE=，BF=，
∴FM=BM-BF=.
∵△PMF=∠ACB=45°，∠PFM=∠BFC，
∴△PMF∽△BCF，
∴.
∵△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN=EC=，
∴CN=EC-EN=，
∴CF=CN=，
∴，
∴PM=，故④正确；
同理可得△EMN∽△ECF，
∴，
∴MN=，
∴PN=PM+MN=+=，
∴CM≠PN，故②错误.
故答案为：①④.
【分析】记N到PC的距离为h，则，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△MPF∽△PCN，△NCM∽△NPC，结合相似三角形的性质即可判断①；易证△EFN∽△EBC，根据相似三角形的性质即可判断③；根据正方形的性质以及同角的余角相等可得∠MEC=∠BCM，由两角对应相等的两个三角形相似可得△CME∽△BMC，根据相似三角形的性质可得CM，然后求出CE、BC，同理可得△CEF∽△ABF，得到EF=BF，则EF=BE=，然后求出BF、FM的值，证明△PMF∽△BCF，△EFN∽△EBC，根据相似三角形的性质可得EN，然后求出CN，CF，PM，据此判断④；证明△EMN∽△ECF，根据相似三角形的性质可得MN，然后求出PN，据此判断②.
三、解答题
14．（2023·泉州模拟）如图，在矩形中，点在边上，，垂足为F，，，，求的长.
【答案】解：四边形是矩形，
，，
.
，
，
，
，
.
又，，，
，
.
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠DCE=90°，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADF=∠DEC，由垂直的概念可得∠AFD=90°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AFD∽△DCE，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
15．（2023·立山模拟）如图，在矩形中，于点E，点P是边上一点，且．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据，可证，，根据矩形性质可得，。
四、综合题
16．（2023·巴中）综合与实践．
（1）提出问题如图，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
的度数是 ．
： ．
（2）类比探究如图，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
的度数是 ；
： ．
（3）问题解决如图，在等边中，于点，点在线段上不与重合，以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度如图，为的中点，为的中点．
说明为等腰三角形．
求的度数．
【答案】（1）90°；1：1
（2）45°；
（3）解：解：连接、，延长交于点，交于点．
在等边中，又于点，
为的中点，
又为的中点，为的中点，
、分别是、的中位线，
，．
，
．
．
在和中，
，
≌．
．
．
为等腰三角形．
≌，
，
由规律可知：，
，
又，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）①如图1所示，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵BA=CA，DA=EA，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠CBD=∠ABD+∠CBD=45°，又∵∠ACB=45°，∴∠BOC=180°-∠ACB-（ACE+∠CBD）=90°；②又△BAD≌△CAE，∴BD=CE；∴BD∶CE=1∶1；
故第1空答案为：90°；第2空答案为：1∶1；
（2）①如图2所示，∵∠ACB=∠DCE=45°，∴∠BCE=∠ACD，又∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴，∴△CAD∽△CBE，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=45°，∴∠A0B180°-∠BOC-（∠CAD+∠ABE）=45°；②∵△CAD∽△CBE，∴
故第1空答案为：45°；第2空答案为：
【分析】（1）可证明△BAD和△CAE全等，得出全等三角形的对应角∠ABD=∠ACE，从而得出∠OBC+∠ACO=45°，由三角形内角和定理得出∠BOC=90°；得出对应边BD=CE，∴BD∶CE=1∶1；
（2）可证明△CAD和△CBE相似，得出相似三角形的对应角∠CAD=∠CBE，从而得出∠OBA+∠CAD=45°，由三角形内角和定理得出∠AOB=45°；得出对应边AD∶BE=AC∶BC=；
（3）要证△MND是等腰三角形，可证MN=DN，由题意知MN、DN分别是△BEF、△BCE的中位线，所以只需证明BF=CE，通过证明△ACE和△ABF全等，即可证明BF=CE，所以结论得证；由（1）（2）的规律易知∠BOC=60°，所以∠FOC=120°，根据三角形中位线的性质定理，可得到NN∥BF，DN∥CE，所以可得：∠MND=∠MPE=∠FOC=120°。
17．（2023八下·相城期末）如图，在中，直线DF与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，与线段BC延长线相交于点F.
（1）若，，求的值.
（2）若，，其中m＞n＞0，求的值.
（3）请根据上述（1）（2）的结论，猜想= （直接写出答案，不需要证明）.
【答案】（1）解：如图，过点C作CG∥AB交DF于点G
，
∴
又∵
；
（2）解：过点C作CG∥AB交DF于点G
，
故设
又
；
（3）1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）由 （1）（2）知：，
∴= =1；
故答案为：1.
【分析】（1）过点C作CG∥AB交DF于点G，利用平行线可证，，利用相似三角形对应边成比例即可求解；
（2）过点C作CG∥AB交DF于点G，利用平行线可证，可得 ，可设，由可得DB=2mk，由平行线可证，利用相似三角形对应边成比例即可求解；
（3）由 （1）（2）知，，代入原式即可求解.
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