2023-2024学年初中数学九年级上册 25.6 相似三角形的应用 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·隆昌模拟）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m
A．3.5 B．4 C．4.5 D．
2．（2023九下·慈溪月考）有一块锐角三角形余料，边的长为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
3．（2023·南海模拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B．6 C． D．8
4．（2020九上·射洪期中）如图，一电线杆AB的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1m高的直杆，量得其影长为0.5m，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
5．（2022·交城模拟）小孔成像是由于光在均匀介质中沿直线传播而形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是某次小孔成像实验图，其原理可以用图2所示的平面图形表示．若在这次实验中，蜡烛火焰的高度为，小孔到光屏的距离为，蜡烛到小孔的距离为，则蜡烛在光屏上所成实像的高度．其中根据的数学原理是（ ）
墨子，名翟，公元前476或480年—公元前390或420年．我国古代教育家、思想家、哲学家．
A．图形的旋转 B．图形的轴对称 C．图形的平移 D．图形的相似
6．（2022九上·东阳月考）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022九上·长清期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，在、上分别找点M，N，使得，，测量出的长为，由此可知A、B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·青州期中）我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是多少．如图，设井深为x尺，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023·郫都模拟）我国的学者墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，早于牛顿2000多年就已经总结出相似的理论如图，平面，，相互平行，平面到平面的距离是平面到平面的距离的2倍，直角三角形光源在平面上，若，通过小孔成的像在平面上，则的面积为 ．
10．（2023·五华模拟）为测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把这面镜子水平放置在地面点E处，然后观测者沿着直线后退到点D，恰好在镜子里看到树的最高点A，再用皮尺测量，和观测者目高．若，，，则树的高度为 m．
11．（2022·番禺模拟）如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 ．
12．（2022九下·东阳期中）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点在的中垂线上，且，.如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行，当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，则 ；将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与到的距离之比，则 .
13．（2021九上·温州期末）某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= CP．若∠APE=30°，则BP= cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为 cm.
三、计算题
14．如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．
四、解答题
15．（2023·西安模拟）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，为中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座．如图，小琪想要测出钟楼的高度，于是在地面上的C处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处的E处时，恰好从镜子里看到钟楼顶端A在镜子中的像（即）．已知B，C，E在同一直线上，小琪的眼睛离地面的高度，，求钟楼的高度．
16．（2020九下·碑林月考）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.
五、综合题
17．（2021·东胜模拟）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米，乙树的高度为 米﹔
（2）请求出丙树的高度．
18．（2021九上·内江期末）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：△ABE∽△ACD，
∴，
∵AB=3m，BC=7m，
∴AC=AB+BC=10m，
∴，
∴CD=5，
故答案为：D.
【分析】先证出△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出CD的长即可。
2．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：当最上层的小长方形的一边与交于点E、F时，，于，交于，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵小长方形的宽为
∴能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，
设第二层靠近点A的边为x，
根据三角形相似可得：，
解得，即第二层正好能分割两个小长方形，
设最下层靠近点A的边为，
根据三角形相似可得：，
解得，即最下层正好能分割三个小长方形，
∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个，
故答案为：B.
【分析】 当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，EF∥BC，AD⊥BC于D，交EF于G，则△AEF∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AG的长，然后根据DG=AD-AG可求出DG的长， 所以△ABC能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，设第二层靠近点A的边为x，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出x=10，即第二层正好能分割两个小长方形，设最下层靠近点A的边为y，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出y=15，即最下层正好能分割三个小长方形，从而即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：
，
解得：，
即蜡烛火焰的高度为，
故答案为：C．
【分析】设蜡烛火焰的高度为，根据题意列出方程，再求出即可。
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵身高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
，
∴AB=8米．
故答案为：D．
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∴
故答案为：D.
【分析】先证出，可得，再求出，因此利用图形的相似求解即可。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A、＝，
B、＝，
C、＝，
D、＝，
∴＝＝≠，
∴B选项不符合标准.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，再进行比较，即可得到符合题意的答案．
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】先证明，根据相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AB的长即可。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可知尺，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先证明，可得，再将数据代入可得。
9．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：
平面q到平面n的距离是平面n到平面m的距离的2倍
，
的面积为：
故答案为：
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比即可得到结论。
10．【答案】4.2
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BD于点E，如图所示：
∵∠FEB=∠FED=90°，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠EBA=∠EDC=90°，
∴△EBA∽△EDC，
∴，
∴AB=4.2m，
故答案为：4.2.
【分析】过点E作EF⊥BD于点E，先根据题意得到∠AEB=∠CED，∠EBA=∠EDC=90°，再运用相似三角形的判定与性质即可得到，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．
由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∵BB′＝1，AM⊥BB′，
∴BM＝B′M，
∴AM，
∵S△ABB′，
∴1 BN×3，则BN，
∴AN，
∵AB//DC，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△AMB∽△EGC，
∴，
设CG＝a，则EGa，
∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，
∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，
又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠C′B′C，
∵∠ANB＝∠EGC＝90°，
∴△ANB∽△B′GE，
∴，
∵BC＝4，BB′＝1，
∴B′C＝3，B′G＝3+a，
∴，解得a．
∴CG，EG，
∴EC．
故答案为：．
【分析】作辅助线，构造三角形。根据旋转的性质得△ABB′是等腰三角形，解得AM及S△ABB′的面积；根据一个三角形的面积相等，不同的底乘以高的结果是相等的，得出AN；根据△ANB∽△B′GE，把每条边表示出来，解得EC。
12．【答案】；
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：连接BE，BF，过点作于J，
由题意，CE=CF=CB，
，
，AE=30cm，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
可以假设，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
则有，
解得，
故答案为：，.
【分析】连接BE、 BF，过点B'作BJ⊥EF于J，利用勾股定理求出EB的长，证明△ABE∽△EBF，求出FB的长 ，则可求得EF，假设B'G=l6kcm，E'H= 1kcm，可得JE'=5kcm，，然后证明，列比例式求出BJ长，最后在中根据勾股定理建立关于k的方程，从而可解决问题.
13．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵E为PC中点， AE= CP，
∴△PAC为直角三角形，
∵∠APE=30°，PC= ，
∴AC=
∴AP=.
（2）如图，连结AC，作DF⊥BF，
∵A，C，D在同一条直线上 ，
∴AD⊥AB，
∴∠CAP=∠PAD=90°
设AC=a，
在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，
∴( )2-a2=3002-（a+）2，
整理，解得：a=，
∴AD=AC+CD=+=，
∴PD 落到地面的阴影长BF=AD= .
故答案为：；.
【分析】(1)连接AC，E为PC中点， AE= CP， 利用斜边中线等于斜边的一半逆定理可推出△PAC为直角三角形，在根据30°角所对直角边为斜边的一半求出AP，进而可求出BP长；
（2）连接AC， A，C，D在同一条直线上得AD⊥AB，在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，求出AC，进而求出AD，由 BF等于AD可得影长值.
14．【答案】【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH=BD，AG=BC，
∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，
∴FG=2.2﹣1.6=0.6，BD=6，
∵FG∥EH，
∴，
解得：EH=3.6，
∴ED=3.6+1.6=5.2（m）
答：电视塔的高ED是5.2米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】作AH⊥ED交FC于点G；把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
15．【答案】解：由题意得，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴钟楼的高度为．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意得∠ABC=∠DEC=90°，由已知条件可知∠DCE=∠ACB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DCE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质进行计算.
16．【答案】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB，
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°，
∴∠MFB＝30°，
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝ 米.
∵BE⊥CB，MF⊥BE，
∴BH∥MF，
∴△EBH∽△EMF，
∴ ＝ .
又∵EB＝1.8米，
∴ ＝ ，
∴BH＝ .
∵BE∥CD，
∴△HBE∽△HCD，
∴ ＝ .
∵CB＝5 ，
∴ ＝ ，
∴CD＝15.8米.
∴大树CD的高度为15.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，首先判断出 △EBH∽△EMF， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式算出BH的长，再判断出 △HBE∽△HCD ，根据相似三角形的对应边成比例得出 ＝ ，由比例式即可算出CD的长.
17．【答案】（1）5.1；4.2
（2）解：如图3，
假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长，
线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长，
则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米，
又与图1中的相似，
又
故丙树的高为5.56米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，
线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，
米，
故甲树的高为5.1米；
如图2，假设线段
是乙树，线段
为乙树在墙壁上的影长，
线段
为乙树落在地面上的影长，
与图1中的
相似，
又
，
故乙树的高为4.2米；
故答案为：5.1，4.2；
【分析】（1）直接利用相似比求甲数的高度，画出几何图形，把树高分成两个部分，其中一部分等于墙壁上的影长，另外一部分利用相似可求出乙树的高度；
（2）利用两个不同的相似比分别求出对应高，再求和即可。
18．【答案】（1）3； ABC∽ ACD， ABC∽ CBD， ACD∽ CBD
（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝3.
∵△ABC的面积＝ AB CD＝ AC BC，
∴CD＝ ＝ .
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝ ，
∴OB＝ .
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得t＝ ，即 ，
∴ .
在△BPQ中，由勾股定理，得 ，
∴点P的坐标为 ；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
解得t＝ ，即 ，
过点P作PE⊥x轴于点E.
∵△QPB∽△ACB，
∴ ，即 ，
∴PE＝ .
在△BPE中， ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
综上可得，点P的坐标为( ， )；( ， ).
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB
同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到 AB CD＝ AC BC，即可求出CD的长.
（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.6 相似三角形的应用 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·隆昌模拟）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m
A．3.5 B．4 C．4.5 D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：△ABE∽△ACD，
∴，
∵AB=3m，BC=7m，
∴AC=AB+BC=10m，
∴，
∴CD=5，
故答案为：D.
【分析】先证出△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出CD的长即可。
2．（2023九下·慈溪月考）有一块锐角三角形余料，边的长为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：当最上层的小长方形的一边与交于点E、F时，，于，交于，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵小长方形的宽为
∴能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，
设第二层靠近点A的边为x，
根据三角形相似可得：，
解得，即第二层正好能分割两个小长方形，
设最下层靠近点A的边为，
根据三角形相似可得：，
解得，即最下层正好能分割三个小长方形，
∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个，
故答案为：B.
【分析】 当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，EF∥BC，AD⊥BC于D，交EF于G，则△AEF∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AG的长，然后根据DG=AD-AG可求出DG的长， 所以△ABC能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，设第二层靠近点A的边为x，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出x=10，即第二层正好能分割两个小长方形，设最下层靠近点A的边为y，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出y=15，即最下层正好能分割三个小长方形，从而即可得出答案.
3．（2023·南海模拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：
，
解得：，
即蜡烛火焰的高度为，
故答案为：C．
【分析】设蜡烛火焰的高度为，根据题意列出方程，再求出即可。
4．（2020九上·射洪期中）如图，一电线杆AB的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1m高的直杆，量得其影长为0.5m，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵身高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
，
∴AB=8米．
故答案为：D．
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
5．（2022·交城模拟）小孔成像是由于光在均匀介质中沿直线传播而形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是某次小孔成像实验图，其原理可以用图2所示的平面图形表示．若在这次实验中，蜡烛火焰的高度为，小孔到光屏的距离为，蜡烛到小孔的距离为，则蜡烛在光屏上所成实像的高度．其中根据的数学原理是（ ）
墨子，名翟，公元前476或480年—公元前390或420年．我国古代教育家、思想家、哲学家．
A．图形的旋转 B．图形的轴对称 C．图形的平移 D．图形的相似
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∴
故答案为：D.
【分析】先证出，可得，再求出，因此利用图形的相似求解即可。
6．（2022九上·东阳月考）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A、＝，
B、＝，
C、＝，
D、＝，
∴＝＝≠，
∴B选项不符合标准.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，再进行比较，即可得到符合题意的答案．
7．（2022九上·长清期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，在、上分别找点M，N，使得，，测量出的长为，由此可知A、B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】先证明，根据相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AB的长即可。
8．（2022九上·青州期中）我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是多少．如图，设井深为x尺，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可知尺，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先证明，可得，再将数据代入可得。
二、填空题
9．（2023·郫都模拟）我国的学者墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，早于牛顿2000多年就已经总结出相似的理论如图，平面，，相互平行，平面到平面的距离是平面到平面的距离的2倍，直角三角形光源在平面上，若，通过小孔成的像在平面上，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：
平面q到平面n的距离是平面n到平面m的距离的2倍
，
的面积为：
故答案为：
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比即可得到结论。
10．（2023·五华模拟）为测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把这面镜子水平放置在地面点E处，然后观测者沿着直线后退到点D，恰好在镜子里看到树的最高点A，再用皮尺测量，和观测者目高．若，，，则树的高度为 m．
【答案】4.2
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BD于点E，如图所示：
∵∠FEB=∠FED=90°，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠EBA=∠EDC=90°，
∴△EBA∽△EDC，
∴，
∴AB=4.2m，
故答案为：4.2.
【分析】过点E作EF⊥BD于点E，先根据题意得到∠AEB=∠CED，∠EBA=∠EDC=90°，再运用相似三角形的判定与性质即可得到，进而即可求解。
11．（2022·番禺模拟）如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．
由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∵BB′＝1，AM⊥BB′，
∴BM＝B′M，
∴AM，
∵S△ABB′，
∴1 BN×3，则BN，
∴AN，
∵AB//DC，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△AMB∽△EGC，
∴，
设CG＝a，则EGa，
∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，
∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，
又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠C′B′C，
∵∠ANB＝∠EGC＝90°，
∴△ANB∽△B′GE，
∴，
∵BC＝4，BB′＝1，
∴B′C＝3，B′G＝3+a，
∴，解得a．
∴CG，EG，
∴EC．
故答案为：．
【分析】作辅助线，构造三角形。根据旋转的性质得△ABB′是等腰三角形，解得AM及S△ABB′的面积；根据一个三角形的面积相等，不同的底乘以高的结果是相等的，得出AN；根据△ANB∽△B′GE，把每条边表示出来，解得EC。
12．（2022九下·东阳期中）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点在的中垂线上，且，.如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行，当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，则 ；将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与到的距离之比，则 .
【答案】；
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：连接BE，BF，过点作于J，
由题意，CE=CF=CB，
，
，AE=30cm，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
可以假设，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
则有，
解得，
故答案为：，.
【分析】连接BE、 BF，过点B'作BJ⊥EF于J，利用勾股定理求出EB的长，证明△ABE∽△EBF，求出FB的长 ，则可求得EF，假设B'G=l6kcm，E'H= 1kcm，可得JE'=5kcm，，然后证明，列比例式求出BJ长，最后在中根据勾股定理建立关于k的方程，从而可解决问题.
13．（2021九上·温州期末）某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= CP．若∠APE=30°，则BP= cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为 cm.
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵E为PC中点， AE= CP，
∴△PAC为直角三角形，
∵∠APE=30°，PC= ，
∴AC=
∴AP=.
（2）如图，连结AC，作DF⊥BF，
∵A，C，D在同一条直线上 ，
∴AD⊥AB，
∴∠CAP=∠PAD=90°
设AC=a，
在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，
∴( )2-a2=3002-（a+）2，
整理，解得：a=，
∴AD=AC+CD=+=，
∴PD 落到地面的阴影长BF=AD= .
故答案为：；.
【分析】(1)连接AC，E为PC中点， AE= CP， 利用斜边中线等于斜边的一半逆定理可推出△PAC为直角三角形，在根据30°角所对直角边为斜边的一半求出AP，进而可求出BP长；
（2）连接AC， A，C，D在同一条直线上得AD⊥AB，在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，求出AC，进而求出AD，由 BF等于AD可得影长值.
三、计算题
14．如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．
【答案】【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH=BD，AG=BC，
∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，
∴FG=2.2﹣1.6=0.6，BD=6，
∵FG∥EH，
∴，
解得：EH=3.6，
∴ED=3.6+1.6=5.2（m）
答：电视塔的高ED是5.2米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】作AH⊥ED交FC于点G；把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
四、解答题
15．（2023·西安模拟）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，为中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座．如图，小琪想要测出钟楼的高度，于是在地面上的C处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处的E处时，恰好从镜子里看到钟楼顶端A在镜子中的像（即）．已知B，C，E在同一直线上，小琪的眼睛离地面的高度，，求钟楼的高度．
【答案】解：由题意得，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴钟楼的高度为．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意得∠ABC=∠DEC=90°，由已知条件可知∠DCE=∠ACB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DCE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质进行计算.
16．（2020九下·碑林月考）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.
【答案】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB，
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°，
∴∠MFB＝30°，
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝ 米.
∵BE⊥CB，MF⊥BE，
∴BH∥MF，
∴△EBH∽△EMF，
∴ ＝ .
又∵EB＝1.8米，
∴ ＝ ，
∴BH＝ .
∵BE∥CD，
∴△HBE∽△HCD，
∴ ＝ .
∵CB＝5 ，
∴ ＝ ，
∴CD＝15.8米.
∴大树CD的高度为15.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，首先判断出 △EBH∽△EMF， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式算出BH的长，再判断出 △HBE∽△HCD ，根据相似三角形的对应边成比例得出 ＝ ，由比例式即可算出CD的长.
五、综合题
17．（2021·东胜模拟）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米，乙树的高度为 米﹔
（2）请求出丙树的高度．
【答案】（1）5.1；4.2
（2）解：如图3，
假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长，
线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长，
则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米，
又与图1中的相似，
又
故丙树的高为5.56米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，
线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，
米，
故甲树的高为5.1米；
如图2，假设线段
是乙树，线段
为乙树在墙壁上的影长，
线段
为乙树落在地面上的影长，
与图1中的
相似，
又
，
故乙树的高为4.2米；
故答案为：5.1，4.2；
【分析】（1）直接利用相似比求甲数的高度，画出几何图形，把树高分成两个部分，其中一部分等于墙壁上的影长，另外一部分利用相似可求出乙树的高度；
（2）利用两个不同的相似比分别求出对应高，再求和即可。
18．（2021九上·内江期末）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）3； ABC∽ ACD， ABC∽ CBD， ACD∽ CBD
（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝3.
∵△ABC的面积＝ AB CD＝ AC BC，
∴CD＝ ＝ .
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝ ，
∴OB＝ .
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得t＝ ，即 ，
∴ .
在△BPQ中，由勾股定理，得 ，
∴点P的坐标为 ；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
解得t＝ ，即 ，
过点P作PE⊥x轴于点E.
∵△QPB∽△ACB，
∴ ，即 ，
∴PE＝ .
在△BPE中， ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
综上可得，点P的坐标为( ， )；( ， ).
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB
同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到 AB CD＝ AC BC，即可求出CD的长.
（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB.
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