2023-2024学年初中数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·新邵期末）如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．1：2 D．2：1
2．（2022九上·代县期末）在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（ ）
A．位似图形 B．相似三角形的判定
C．旋转 D．平行线的性质
3．（2021九上·南召期末）如图，在平面直角坐标系中，将 OAB以原点O为位似中心放大后得到 OCD，若B（0，1），D（0，3），则 OAB与 OCD的面积比是（ ）
A．2：1 B．1：3 C．1：9 D．9：1
4．（2023九上·临渭期末）如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（2023九上·诸暨期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示位置，点在线段上，点在线段上，对应连接并延长，，刚好交于一点，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
6．（2023九上·越城期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·武义期末）如图，和是位似三角形，，的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
8．（2023九上·宁波期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（ ）
A．四边形和四边形的面积之差
B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差
D．四边形和四边形的面积之差
二、填空题
9．（2023九上·余姚期末）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的周长比是 .
10．（2023九上·金牛期末）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 .
11．（2022·中卫期中）图中的两个四边形相似，则 .
12．（2023九上·兴化期末）如图，平面直角坐标系中，正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若，则点G的坐标为 .
13．（2023九上·镇海区期末）如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为 .
三、解答题
14．（2022九上·淅川期中）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）
（ 1 ）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
（ 2 ）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是 ；
（ 3 ）△A2BC2的面积是 平方单位.
15．（2021九上·六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1.
四、作图题
16．（2023九上·西安期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.
（ 1 ）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；
（ 2 ）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.
五、综合题
17．（2023九上·礼泉期末）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(-1，1)，B(2，3)，C(0，3).
（1）以原点O为位似中心，在x轴上方作△ABC的位似图形，与△ABC的相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为
（2）在(1)的条件下，写出点的坐标.
18．（2023九上·邳州期末）如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为2：1；
（2）点的坐标是 ，的面积是 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形
即
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的位似比等于对应点到位似中心的距离之比可得答案.
2．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：两棵树是相似图形，而且对应点的连线相交一点，对应边互相平行，
这两个图形是位似图形，
本题蕴含的初中数学知识有位似图形，相似三角形的判定，平行线的性质，
故答案为：C．
【分析】根据位似图形的定义即可判断.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，B（0，1），D（0，3），
∴
∴ △OAB与△OCD的面积比是
故答案为：C.
【分析】根据点B、D的坐标可得OB：OD=1：3，然后根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
4．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∴面积比为：4：1，
∵△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为：4×4＝16.
故答案为：D.
【分析】根据点A、D的坐标可得位似比为2：1，则面积比为4：1，据此求解.
5．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如下图所示，
对应连接并延长，，刚好交于一点，
此时点F、H、E可分别在线段AB，CD，OE上运动，
假设存在一点五边形BCHGF与五边形CDEAB是位似图形，
此时改变OE上任一点，则此时五边形BCHGF与五边形CDE1AB不是位似图形，
即五边形ABCDE和五边形FBCHG一定不相似.
故答案为：B
【分析】位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，观察图形，可得这两个五边形一定不相似.
6．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由题意可得△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行解答.
7．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 与 是位似图形，
∴ ，，
∴，
∴，
∴ ，
∵的面积为2，
∴的面积为18，
故答案为：D.
【分析】由题意可得△ABC∽△DEF，AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
四边形ABCD四边形HGFA，相似比，
，，，
则，，
，
，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，根据相似多边形的性质并结合相似比k=3得，CD=3AF=SME，BC=3FG=3BJ，△BCD∽△BJI，从而找出对应图形的面积关系为，，再结合即可得出正确的选项.
9．【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 两个相似多边形的相似比是2：3 ，
∴这两个相似多边形的周长之比是2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比即可直接得出答案.
10．【答案】100
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝5cm，OA'＝10cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10＝1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比1：2，
故五边形A′B′C′D′E′的周长为：100cm.
故答案为：100．
【分析】根据位似图形的位似比等于一对对应点与位似中心所连线段的比值，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10＝1：2，进而根据相似图形的周长的比等于相似比可得答案.
11．【答案】63
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个四边形相似，
∴，
∴，
∴，
故答案为：63.
【分析】根据相似多边形对应边成比例可得，据此即可求出x、y的值，最后再求和即可.
12．【答案】(6，3)
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴点G的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质以及位似图形的性质可得BC=AD=CD=6，BG∥CD，，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质可得OB、BG的值，进而可得点G的坐标.
13．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：
，矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得DE=DC，根据相似图形的性质可得，代入化简可得AD2=CD2，据此求解.
14．【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：C2（1，0）
（3）10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C2=BC2=，A2B=，
∴A2C22+BC22= A2B2，
∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，
∴△A2BC2的面积位为：×（）2＝10平方单位，
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意并结合网格图的特征可求解；
（2）根据位似比并结合网格图的特征可求解；
（3）根据网格图的特征用勾股定理求得A2C2=BC2、A2B的值，然后根据勾股定理的逆定理可判断△A2BC2是等腰直角三角形，于是根据S△=BC22可求解.
15．【答案】解：∵，
∴.
∵四边形 四边形，
∴，，
即.
∴.
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形内角和为360°可得∠D=80°，由相似图形的性质可得∠D1=∠D，，据此求解.
16．【答案】解：（1）解：点P的位置如图所示：
（0，-2）
（2）解：如图所示：即为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接AA1、BB1并延长，交于一点，该点即为点P，结合点P的位置可得相应的坐标；
（2）连接AO、BO、CO并延长，使AO=A2O，BO=B2O，CO=C2O，然后顺次连接即可.
17．【答案】（1）解：如图所示，△A'B'C'即为所求.
（2）解：点 的坐标为(-2，2).
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质及位似比为2：1，以O为位似中心，分别作出点A，B，C的对应点A′，B′，C′，然后画出△A′B′C′即可.
（2）利用（1）中的图形，写出点A′的坐标.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求作；
（2）(-2，-6)；4
【知识点】三角形的面积；作图﹣位似变换；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（2）点的坐标是，
的面积是，
故答案为：，4.
【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使A′O=2AO，B′O=2BO，C′O=2CO，然后顺次连接即可；
（2）根据点B′的位置可得相应的坐标，由三角形的面积公式可得△A′B′C′的面积.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·新邵期末）如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．1：2 D．2：1
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形
即
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的位似比等于对应点到位似中心的距离之比可得答案.
2．（2022九上·代县期末）在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（ ）
A．位似图形 B．相似三角形的判定
C．旋转 D．平行线的性质
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：两棵树是相似图形，而且对应点的连线相交一点，对应边互相平行，
这两个图形是位似图形，
本题蕴含的初中数学知识有位似图形，相似三角形的判定，平行线的性质，
故答案为：C．
【分析】根据位似图形的定义即可判断.
3．（2021九上·南召期末）如图，在平面直角坐标系中，将 OAB以原点O为位似中心放大后得到 OCD，若B（0，1），D（0，3），则 OAB与 OCD的面积比是（ ）
A．2：1 B．1：3 C．1：9 D．9：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，B（0，1），D（0，3），
∴
∴ △OAB与△OCD的面积比是
故答案为：C.
【分析】根据点B、D的坐标可得OB：OD=1：3，然后根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
4．（2023九上·临渭期末）如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∴面积比为：4：1，
∵△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为：4×4＝16.
故答案为：D.
【分析】根据点A、D的坐标可得位似比为2：1，则面积比为4：1，据此求解.
5．（2023九上·诸暨期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示位置，点在线段上，点在线段上，对应连接并延长，，刚好交于一点，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如下图所示，
对应连接并延长，，刚好交于一点，
此时点F、H、E可分别在线段AB，CD，OE上运动，
假设存在一点五边形BCHGF与五边形CDEAB是位似图形，
此时改变OE上任一点，则此时五边形BCHGF与五边形CDE1AB不是位似图形，
即五边形ABCDE和五边形FBCHG一定不相似.
故答案为：B
【分析】位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，观察图形，可得这两个五边形一定不相似.
6．（2023九上·越城期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由题意可得△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行解答.
7．（2023九上·武义期末）如图，和是位似三角形，，的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 与 是位似图形，
∴ ，，
∴，
∴，
∴ ，
∵的面积为2，
∴的面积为18，
故答案为：D.
【分析】由题意可得△ABC∽△DEF，AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
8．（2023九上·宁波期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（ ）
A．四边形和四边形的面积之差
B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差
D．四边形和四边形的面积之差
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
四边形ABCD四边形HGFA，相似比，
，，，
则，，
，
，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，根据相似多边形的性质并结合相似比k=3得，CD=3AF=SME，BC=3FG=3BJ，△BCD∽△BJI，从而找出对应图形的面积关系为，，再结合即可得出正确的选项.
二、填空题
9．（2023九上·余姚期末）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的周长比是 .
【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 两个相似多边形的相似比是2：3 ，
∴这两个相似多边形的周长之比是2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比即可直接得出答案.
10．（2023九上·金牛期末）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 .
【答案】100
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝5cm，OA'＝10cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10＝1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比1：2，
故五边形A′B′C′D′E′的周长为：100cm.
故答案为：100．
【分析】根据位似图形的位似比等于一对对应点与位似中心所连线段的比值，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10＝1：2，进而根据相似图形的周长的比等于相似比可得答案.
11．（2022·中卫期中）图中的两个四边形相似，则 .
【答案】63
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个四边形相似，
∴，
∴，
∴，
故答案为：63.
【分析】根据相似多边形对应边成比例可得，据此即可求出x、y的值，最后再求和即可.
12．（2023九上·兴化期末）如图，平面直角坐标系中，正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若，则点G的坐标为 .
【答案】(6，3)
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴点G的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质以及位似图形的性质可得BC=AD=CD=6，BG∥CD，，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质可得OB、BG的值，进而可得点G的坐标.
13．（2023九上·镇海区期末）如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：
，矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得DE=DC，根据相似图形的性质可得，代入化简可得AD2=CD2，据此求解.
三、解答题
14．（2022九上·淅川期中）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）
（ 1 ）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
（ 2 ）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是 ；
（ 3 ）△A2BC2的面积是 平方单位.
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：C2（1，0）
（3）10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C2=BC2=，A2B=，
∴A2C22+BC22= A2B2，
∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，
∴△A2BC2的面积位为：×（）2＝10平方单位，
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意并结合网格图的特征可求解；
（2）根据位似比并结合网格图的特征可求解；
（3）根据网格图的特征用勾股定理求得A2C2=BC2、A2B的值，然后根据勾股定理的逆定理可判断△A2BC2是等腰直角三角形，于是根据S△=BC22可求解.
15．（2021九上·六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1.
【答案】解：∵，
∴.
∵四边形 四边形，
∴，，
即.
∴.
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形内角和为360°可得∠D=80°，由相似图形的性质可得∠D1=∠D，，据此求解.
四、作图题
16．（2023九上·西安期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.
（ 1 ）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；
（ 2 ）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.
【答案】解：（1）解：点P的位置如图所示：
（0，-2）
（2）解：如图所示：即为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接AA1、BB1并延长，交于一点，该点即为点P，结合点P的位置可得相应的坐标；
（2）连接AO、BO、CO并延长，使AO=A2O，BO=B2O，CO=C2O，然后顺次连接即可.
五、综合题
17．（2023九上·礼泉期末）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(-1，1)，B(2，3)，C(0，3).
（1）以原点O为位似中心，在x轴上方作△ABC的位似图形，与△ABC的相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为
（2）在(1)的条件下，写出点的坐标.
【答案】（1）解：如图所示，△A'B'C'即为所求.
（2）解：点 的坐标为(-2，2).
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质及位似比为2：1，以O为位似中心，分别作出点A，B，C的对应点A′，B′，C′，然后画出△A′B′C′即可.
（2）利用（1）中的图形，写出点A′的坐标.
18．（2023九上·邳州期末）如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画，使它与的相似比为2：1；
（2）点的坐标是 ，的面积是 .
【答案】（1）解：如图，即为所求作；
（2）(-2，-6)；4
【知识点】三角形的面积；作图﹣位似变换；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（2）点的坐标是，
的面积是，
故答案为：，4.
【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使A′O=2AO，B′O=2BO，C′O=2CO，然后顺次连接即可；
（2）根据点B′的位置可得相应的坐标，由三角形的面积公式可得△A′B′C′的面积.
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