2023-2024学年初中数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·鲁甸模拟）如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质结合题意即可求解。
2．（2023·舟山模拟）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵相似比为，A（-4，2），
∴A′（-4×，2×）或（4×，-2×），
∴A′（-2，1）或（2，-1）.
故答案为：D.
【分析】给点A的横、纵坐标分别乘以或-，即可得到对应点A′的坐标.
3．（2023·高明模拟）如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，△ABC的周长与△DEF的周长比为，∴AB：DE=4：9，∴AO：DO=4：9.
故选：D.
【分析】由位似的性质可得△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，然后根据相似三角形的性质可求解.
4．（2023·德城模拟）如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】勾股定理；位似变换；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），
∴，
∴由勾股定理可得，
∵AP为△AOC中线，
∴，
当以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则可分：
①当在第一象限时，如图所示：
∴，
∴；
②当在第三象限时，如图所示：
∴，
∴；
综上所述：或；
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出OC，根据三角形中位线定理求出OP，分在第一象限、在第三象限，根据位似变换的性质进行计算即可。
5．（2023·青海模拟）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ）
A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：、平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；
、对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；
、位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；
、旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据平移，对称，位似和旋转的特点，结合题意，判断求解即可。
6．（2023·舒城模拟）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：
综上所述： 的相邻两边与的比值是或.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。
7．（2023九上·鄞州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：A.
【分析】设AE=a，BG=b，由矩形的性质及相似矩形的性质设ED=ka，AG=kb，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CHP∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得PH=a，进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ，S矩形BGIF=ab，S矩形EDHI=k2ab，即可得出答案.
8．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
二、填空题
9．（2023八下·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是 .
【答案】（6，3）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵原点O是位似中，
∴△ABC与△DEF位似，
，
，
∴DE=6，
过点E做EG⊥x轴，过点E做EH⊥y轴，
∵A（1，0）B（2，1），D为OG的中点，OD=DG=3，且OD=OH，E的横坐标为6，纵坐标为3，
故答案为：(6，3).
【分析】过点E做EG⊥x轴，过点E做EH⊥y轴.由题意可知△ABC与△DEF位似.对应线段成对应比例，求出DE的长度，再根据原O是位似中心，有图得到E得横纵坐标，即可求出E的坐标.
10．（2023八下·肇源月考）一个六边形六边长分别为，，，，，，另一个与它相似的六边形的最短边为，则其周长为 ．
【答案】66
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个六边形的最短边长为3，另一个与它相似的六边形的最短边为6，
∴相似比为3：6=1：2，
∵六边形的周长为3+4+5+6+7+8=33，
∴与它相似的六边形的周长为33×2=66.
故答案为：66.
【分析】根据最短边长可得相似比为3：6=1：2，然后求出六边形的周长，根据周长比等于相似比可得与它相似的六边形的周长.
11．（2023·浙江模拟）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，∠OCD=90°，CO=CD=2，则点B的坐标为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；位似变换
【解析】【解答】解：在Rt△OBC中，
，
∵ △OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，
∴OB：OD=1：2即，
解之：，
∴点B.
故答案为：
【分析】利用勾股定理求出OD的长，再利用位似图形的性质及位似比可求出OB的长，即可得到点B的坐标.
12．（2021九上·椒江期末）如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形
ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形
ABCD相似，则 AB：BC 的值为 .
【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，
在Rt△IJH中，JH= a，
∵四边形ABCD和四边形MEFD是矩形，四边形NBLK是矩形，
4个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，
∴∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，
∴∠LKJ+∠LJK=∠IJH+∠IHJ=∠GHC+∠HGC=∠EGF+∠GEF=90°，
∠KJL+∠IJH=∠IHJ+∠GHC=∠EGF+∠HGC=90°，
∴∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，
∴△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，
∴BL=KL=HC，LJ=GC，
，
，
即
，
，
∴FG=
，EF=
，BL=KL=HC=
，LJ=GC=
，
∴CD=DF+FG+GC=x+
=
，
BC=BL+LJ+JH+HC=
+
=
，
当矩形MEFD∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
，
AB：BC 的值为
；
当矩形MDFE∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
(负值已舍)，
AB：BC 的值为
；
故答案为：
或
.
【分析】设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，由勾股定理得JH= a，根据矩形的性质得∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，由同角的余角相等得∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，证△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，根据全等三角形的性质可得BL=KL=HC，LJ=GC，根据相似三角形的性质可得FG、EF，进而得到BL、LJ、CD、BC，根据相似矩形的对应边成比例可得x的值，进而可得AB：BC的值.
13．（2021九上·德惠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴，
∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为6，
∴
解得，BC=2，OB=3，
∴OA=1，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=1，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2，
∴点C的坐标为
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标.
三、解答题
14．（2022八下·龙口期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求作.
A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【分析】根据位似图形的定义作出图象，再利用平面直角坐标系直接写出点坐标即可。
15．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
四、综合题
16．（2021·鼓楼模拟）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.
（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.
（1）（初步思考）
小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例 .所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.
（2）（深入探究）
学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.
已知：四边形 和四边形 中， ， .
求证：四边形 四边形 .证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”.
其中真命题是 .（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.
【答案】（1）菱形和正方形
（2）证明：连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
综上，四边形 四边形 .
（3）③
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边.
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”.若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形 和四边形 中， ， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：∵ ， ， ，
∴ .
连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上，四边形 四边形 .
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解： 正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（3）解：①如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交 延长线于点 ，则 ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
②如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交过点 且和 平行的直线相交于点 ，过 作 交 于点 ，则 ，四边形 为平行四边形.则 ，即 ， ， ，
但四边形 不与四边形 相似.
③已知：如图，四边形 和四边形 中， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：连接 ， .
，且 ，
△ ，
， ， ，
，
，
，
，
△ ，
， ， ，
， ， ， ， ，
四边形 与四边形 相似；
④如图，四边形 四边形 ，以 为圆心， 为半径作圆交 于点 ，在 左侧作 ，则 ， ， ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
故答案为：③；
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）连接BD，BD＇，易证△ABD∽△A'B'D，利用相似三角形的性质可得∠1=∠5，∠2=∠6，同时得对应边成比例；再证明△BCD∽△B'C'D'，得∠3＝∠7，∠4＝∠8，∠C＝∠C'，由此得∠ADC=∠AD'C'，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，逐一判断可得出是真命题的序号；
（4）四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边； 若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”；若成比例的两边是邻边，则相似分两种情况考虑，分别利用相似多边形的判定方法进行证明即可．
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·鲁甸模拟）如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·舟山模拟）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（2023·高明模拟）如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·德城模拟）如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023·青海模拟）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ）
A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转
6．（2023·舒城模拟）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
7．（2023九上·鄞州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
8．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是 .
10．（2023八下·肇源月考）一个六边形六边长分别为，，，，，，另一个与它相似的六边形的最短边为，则其周长为 ．
11．（2023·浙江模拟）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，∠OCD=90°，CO=CD=2，则点B的坐标为 ．
12．（2021九上·椒江期末）如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形
ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形
ABCD相似，则 AB：BC 的值为 .
13．（2021九上·德惠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 ．
三、解答题
14．（2022八下·龙口期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
15．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
四、综合题
16．（2021·鼓楼模拟）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.
（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.
（1）（初步思考）
小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例 .所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.
（2）（深入探究）
学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.
已知：四边形 和四边形 中， ， .
求证：四边形 四边形 .证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”.
其中真命题是 .（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质结合题意即可求解。
2．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵相似比为，A（-4，2），
∴A′（-4×，2×）或（4×，-2×），
∴A′（-2，1）或（2，-1）.
故答案为：D.
【分析】给点A的横、纵坐标分别乘以或-，即可得到对应点A′的坐标.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，△ABC的周长与△DEF的周长比为，∴AB：DE=4：9，∴AO：DO=4：9.
故选：D.
【分析】由位似的性质可得△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，然后根据相似三角形的性质可求解.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；位似变换；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），
∴，
∴由勾股定理可得，
∵AP为△AOC中线，
∴，
当以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则可分：
①当在第一象限时，如图所示：
∴，
∴；
②当在第三象限时，如图所示：
∴，
∴；
综上所述：或；
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出OC，根据三角形中位线定理求出OP，分在第一象限、在第三象限，根据位似变换的性质进行计算即可。
5．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：、平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；
、对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；
、位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；
、旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据平移，对称，位似和旋转的特点，结合题意，判断求解即可。
6．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：
综上所述： 的相邻两边与的比值是或.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：A.
【分析】设AE=a，BG=b，由矩形的性质及相似矩形的性质设ED=ka，AG=kb，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CHP∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得PH=a，进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ，S矩形BGIF=ab，S矩形EDHI=k2ab，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
9．【答案】（6，3）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵原点O是位似中，
∴△ABC与△DEF位似，
，
，
∴DE=6，
过点E做EG⊥x轴，过点E做EH⊥y轴，
∵A（1，0）B（2，1），D为OG的中点，OD=DG=3，且OD=OH，E的横坐标为6，纵坐标为3，
故答案为：(6，3).
【分析】过点E做EG⊥x轴，过点E做EH⊥y轴.由题意可知△ABC与△DEF位似.对应线段成对应比例，求出DE的长度，再根据原O是位似中心，有图得到E得横纵坐标，即可求出E的坐标.
10．【答案】66
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个六边形的最短边长为3，另一个与它相似的六边形的最短边为6，
∴相似比为3：6=1：2，
∵六边形的周长为3+4+5+6+7+8=33，
∴与它相似的六边形的周长为33×2=66.
故答案为：66.
【分析】根据最短边长可得相似比为3：6=1：2，然后求出六边形的周长，根据周长比等于相似比可得与它相似的六边形的周长.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；位似变换
【解析】【解答】解：在Rt△OBC中，
，
∵ △OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1∶2，
∴OB：OD=1：2即，
解之：，
∴点B.
故答案为：
【分析】利用勾股定理求出OD的长，再利用位似图形的性质及位似比可求出OB的长，即可得到点B的坐标.
12．【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，
在Rt△IJH中，JH= a，
∵四边形ABCD和四边形MEFD是矩形，四边形NBLK是矩形，
4个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，
∴∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，
∴∠LKJ+∠LJK=∠IJH+∠IHJ=∠GHC+∠HGC=∠EGF+∠GEF=90°，
∠KJL+∠IJH=∠IHJ+∠GHC=∠EGF+∠HGC=90°，
∴∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，
∴△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，
∴BL=KL=HC，LJ=GC，
，
，
即
，
，
∴FG=
，EF=
，BL=KL=HC=
，LJ=GC=
，
∴CD=DF+FG+GC=x+
=
，
BC=BL+LJ+JH+HC=
+
=
，
当矩形MEFD∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
，
AB：BC 的值为
；
当矩形MDFE∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
(负值已舍)，
AB：BC 的值为
；
故答案为：
或
.
【分析】设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，由勾股定理得JH= a，根据矩形的性质得∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，由同角的余角相等得∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，证△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，根据全等三角形的性质可得BL=KL=HC，LJ=GC，根据相似三角形的性质可得FG、EF，进而得到BL、LJ、CD、BC，根据相似矩形的对应边成比例可得x的值，进而可得AB：BC的值.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴，
∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为6，
∴
解得，BC=2，OB=3，
∴OA=1，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=1，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2，
∴点C的坐标为
故答案为：．
【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标.
14．【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求作.
A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换
【解析】【分析】根据位似图形的定义作出图象，再利用平面直角坐标系直接写出点坐标即可。
15．【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
16．【答案】（1）菱形和正方形
（2）证明：连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
综上，四边形 四边形 .
（3）③
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边.
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”.若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形 和四边形 中， ， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：∵ ， ， ，
∴ .
连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上，四边形 四边形 .
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解： 正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（3）解：①如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交 延长线于点 ，则 ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
②如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交过点 且和 平行的直线相交于点 ，过 作 交 于点 ，则 ，四边形 为平行四边形.则 ，即 ， ， ，
但四边形 不与四边形 相似.
③已知：如图，四边形 和四边形 中， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：连接 ， .
，且 ，
△ ，
， ， ，
，
，
，
，
△ ，
， ， ，
， ， ， ， ，
四边形 与四边形 相似；
④如图，四边形 四边形 ，以 为圆心， 为半径作圆交 于点 ，在 左侧作 ，则 ， ， ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
故答案为：③；
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）连接BD，BD＇，易证△ABD∽△A'B'D，利用相似三角形的性质可得∠1=∠5，∠2=∠6，同时得对应边成比例；再证明△BCD∽△B'C'D'，得∠3＝∠7，∠4＝∠8，∠C＝∠C'，由此得∠ADC=∠AD'C'，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，逐一判断可得出是真命题的序号；
（4）四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边； 若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”；若成比例的两边是邻边，则相似分两种情况考虑，分别利用相似多边形的判定方法进行证明即可．
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