2023-2024学年初中数学九年级上册 26.1 锐角三角函数 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·定边期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；平行线的性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥x轴于点F，
∵平行四边形OABC中，∠AOC=45°，OC∥AB，OA=OC=4，
∴∠BAF=45°，AB=OC=4，
∴AF=BF=4×=，
∴OF=OA+AF=4+，
∴B（+4，）.
故答案为：B.
【分析】过点B作BF⊥x轴于点F，由平行四边形的性质可得OA=BC=4，OC=AB=4，OC∥AB，根据平行线的性质可得∠AOC=∠BAF=45°，利用三角函数的概念可得BF，然后求出OF，据此可得点B的坐标.
2．（2023八下·海南期中）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：AB==，AC==5，BC==，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
∴sin∠ACB==.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可得AB、AC、BC的值，结合勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠B=90°，利用三角函数的概念求出sin∠ACB的值，据此判断.
3．（2023·南宁模拟）如图，圆规两脚，张开的角度，，则两脚张开的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB=15，∠AOB=40°，
∴∠AOC=20°，AC=BC，
∴AC=OA·sin∠AOC=15·sin20°，
∴AB=2AC=30·sin20°.
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，由等腰三角形的性质可得∠AOC=20°，AC=BC，利用三角函数的概念可得AC，然后求出AB即可.
4．（2023·温州模拟）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，小正方形的对角线向两边延长，分别交边于点，交边于点．若是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点M作MT⊥BE于点T，过点N作NK⊥GD于点K，
∵点E是AH的中点，
∴AE=EH，
设AE=EH=x，
∵如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴AE=BF=CG=DH=EF=m，
在Rt△ABE中，BE=2x，AE=x，
∴，
∵四边形EFGH是正方形，
∴，
∠EFH=∠MFT=45°，
设MT=FT=m，
∴，
∵，
∴BT=2MT=2m，
∵FT+BT=BF=m，
∴x+2x=m，
解之：x=m，
∴，
同理可知，
∴，
∴.
故答案为：B
【分析】过点M作MT⊥BE于点T，过点N作NK⊥GD于点K，利用线段中点的定义可知AE=EH，设AE=EH=x，利用全等三角形的性质可证得AE=BF=CG=DH=EF=m，利用勾股定理可表示出AB的长，利用正方形的性质和勾股定理可表示出FH的长，设MT=FT=m，利用解直角三角形表示出FM，BT的长根据FT+BT=BF，可得到关于m，x的方程，解方程表示出x，可得到FM，HM的长根据MN=FM+FH+HN，可得到MN的长；然后求出MN与AB的比值.
5．（2023·坪山模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵sin∠B=，∠B=50°，AB=60，
∴AD=AB·sin∠B=60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据三角函数的概念可得sin∠B=，据此解答.
6．（2023八下·金坛期中）如图，菱形的边长为2，，则菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC、BD，交于点O，
∵四边形ABCD为菱形，边长为2，∠ABC=120°，
∴∠ABO=60°，
∴BO=ABcos60°=2×=1，AO=ABsin60°=2×=，
∴AC=2AO=，BD=2BO=2，
∴S菱形ABCD=AC·BD=××2=.
故答案为：C.
【分析】连接AC、BD，交于点O，由菱形的性质可得∠ABO=60°，利用三角函数的概念可得BO、AO，然后求出AC、BD的值，再根据菱形的面积=对角线乘积的一半进行计算.
7．（2023·绥化）如图，在正方形中，点E为边的中点，连接，过点B作于点F，连接交于点G，平分交于点H.则下列结论中，正确的个数为（ ）
①②③当时，
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD.
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，
∴cos∠ABF=cos∠EAD，
∴.
∵AB=AD，
∴AB2=BF·AE，故①正确；
设正方形的边长为a，
∵E为CD的中点，
∴DE=a，
∴tan∠ABF=tan∠EAD=.
∵AB==AF=a，
∴AF=a.
∵AE==a，
∴EF=AE-AF=a-a=a.
∵AB∥DE，
∴△GAB∽△GED，
∴=2，
∴GE=AE=a，
∴FG=AE-AF-GE=a-a-a=a，
∴=，
∴S△BGF：S△ABF=2：3，故②正确；
过H分别作BF、AE的垂线，垂足分别为M、N，则四边形FMHN为矩形.
∵FH为∠BFG的平分线，
∴HM=HN，
∴四边形FMHN为正方形，
∴FN=HM=HN，
∴BF=2AF=a，FG=a，
∴，
设MH=b，则BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b，BH==b.
∵BF=a，
∴a=4b，
∴b=a，
∴BH=×a=a，
∴BD2-BD·HD=2a2-a×a=a1，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由正方形的性质可得∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD，根据同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE，结合三角函数的概念以及AB=AD即可判断①；设正方形的边长为a，则DE=a，tan∠ABF=tan∠EAD=，由勾股定理可得AB=AF=a，则AF=a，然后表示出AE、EF，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△GAB∽△GED，由相似三角形的性质可得GE=AE=a，然后表示出FG，得到的值，利用三角形的面积公式即可判断②；过H分别作BF、AE的垂线，垂足分别为M、N，则四边形FMHN为正方形，FN=HM=HN，，设MH=b，则BF=4b，BH=b，据此不难求出b与a的关系，然后表示出BH，据此判断④.
8．（2023·自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，
∴，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，
∴∠OKD=90°，，
∵OA=4，，
∴点B位于以k为圆心的圆上，
∴KB=OK=4，
∴当BD与圆K相切时，最大，
∴此时∠KBD=90°，
连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，
由勾股定理得，，
∵∠KBD=∠KBN=90°，∠OKD=∠DKN=90°，
∴∠BKD＋∠NKB=90°，∠BKN+∠KNB=90°，
∴∠KNB=∠BKD，
∴△NKB∽△BKD，
∴，
∴KN=，
由勾股定理得，
∴（等面积法），
∴，
∴=
故答案为：A
【分析】作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，根据中位线的性质和等边三角形的性质即可得到，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合平行线的性质即可得到∠OKD=90°，，再结合题意即可判断点B位于以k为圆心的圆上，且当BD与圆K相切时，最大，连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，先根据勾股定理即可得到DK和BD的长，接着运用相似三角形的判定与性质证明△NKB∽△BKD，进而即可得到KN的长，再运用勾股定理即可得到BN的长，进而运用三角形的等面积法即可得到NG的长，最后根据锐角三角形函数的定义即可求解。
二、填空题
9．（2023·牡丹江）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BD⊥OA，过C作CE⊥OA，
∵∠AOB=45°，B的读数为2cm，
∴OD=BD=2.
∵∠AOC=22.5°，
∴=tan22.5°=-1，
∴OD==，
∴ OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm.
故答案为：.
【分析】过B作BD⊥OA，过C作CE⊥OA，易得OD=BD=2，利用三角函数的概念求出OE的值，据此可得C在尺上的读数.
10．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，AB=2，A（1，0），∠DAB=60°，
∴AD=AB=BC=CD=2，AB边上的高为2×sin60°=，
∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±，
∴C1的坐标为（1-，3）或（1+，-3）.
故答案为：（1-，3）或（1+，-3）.
【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD=2，根据三角函数的概念可得AB边上的高为2×sin60°=，据此不难得到点C1的坐标.
11．（2023九下·兴化月考）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形如果图中与的面积比为，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形EAIH是正方形，
∴∠EHM=∠DIM=90°，而∠EMH=∠DMI，
∴ EMH∽ DMI，
∴，
∵ EMH与 DMI的面积的比为，
∴，
设EH=AE =AI =4k，DI=3k，则AD=AI+DI=7k，
在Rt AED中，
tan∠EDA=，
由"青朱出入图”得：∠GDC=90°-∠ADG=∠EDA，
∴tan∠GDC=tan∠EDA=.
故答案为：
【分析】由题意易证 EMH∽ DMI，由相似三角形的性质可得，结合已知可得，设EH=AE =AI =4k，DI=3k，则AD=AI+DI=7k，在直角三角形中，由锐角三角函数和"青朱出入图”得tan∠GDC=tan∠EDA=可求解.
12．（2023·柳北模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是AD的中点，点P是BE上的动点，点Q是PC的中点，连接AQ，则AQ长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点F，连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=BF=AD=BC，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∵点Q是CP的中点，F是BC的中点，
∴FQ∥BE，
∴点Q在DF上，
当AQ⊥DF时，AQ最短，
∵BC∥AD，
∴∠ADQ=∠DFC，
在Rt△CDF中，CD=AB=3，CF=BC=2，由勾股定理得DF=，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】取BC的中点F，连接DF，根据矩形的性质并结合平行四边形的判定方法易得四边形BFDE是平行四边形，由平行四边形的性质得BE∥DF，由三角形的中位线定理得FQ∥BE，进而根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得点Q在DF上；当AQ⊥DF时，AQ最短，由平行线的性质得∠ADQ=∠DFC，进而根据等角的同名三角形函数值相等可求出AQ的长.
13．（2023九下·锡山期中）如图，在中，，点是边上的一动点．已知，现将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则 ，长度的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴∠BAC=60°，BC=，
∴S△ABC=AC·BC=×2×=.
∵AC=2，
∴CD=AC·sin∠BAC=2×=.
当点P在AB上运动到点D，△A′B′C绕点C旋转，点C、E、D共线时DE取得最小值，最小值为PE，
∴PE=CD-CE=-1.
故答案为：，-1.
【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据内角和定理可得∠BAC=60°，由三角函数的概念可得BC=，然后根据三角形的面积公式可得S△ABC，利用三角函数的概念可得CD的值，易得当点P在AB上运动到点D，点C、E、D共线时DE取得最小值，最小值为PE，然后根据PE=CD-CE进行计算.
三、作图题
14．（2023·德惠模拟）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图①中，在线段上画出点，使．
（2）在图②中，画出一个格点，使是以为斜边的等腰直角三角形．
（3）在图③中，在线段上画出点，使．
【答案】（1）解：如图①中，点 即为所求；
（2）解：如图②中，点 即为所求；
（3）如图③中，点 即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可求解；
（2）根据等腰三角形的判定结合题意即可求解；
（3）根据锐角三角函数的定义即可求解。
四、综合题
15．（2023八下·龙岗月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个，的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片中，，，．
（1）如图1，将一个与全等的沿较长的直角边重合，拼成一个四边形．
①求证：四边形是平行四边形；
②连接交于点，求的面积；
（2）在（1）的条件下，将一条直角边与重合的等腰直角三角形卡片与四边形拼成如图2所示的平面图形，请求出点到的距离；
（3）一个斜边长度与相等的三角板（，）如图3摆放，将绕点Ａ顺时针旋转，旋转角为，旋转后的三角形记为．在旋转过程中，直线所在的直线与直线，交于，两点，当为等腰三角形时，请直接写出的长．
【答案】（1）解：①由题意可知：，
∴，
∴四边形是平行四边形．
②∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
（2）解：过点C作交于点M，作，交延长线于点N，如图，
∵等腰，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即点E到的距离为：．
（3）解：，或
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3），或．
①当时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
由旋转性质可得：，
即；
②当时，
∵，
∴，
∵∠，
∴，
∵，
∴，
∴．
③当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
④当时，此时，所以不需要讨论．
【分析】）（1）①由题意可知△ABD≌△CDB，则AD=BC，AB=CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
②易得BD=，根据平行四边形的性质可得OD=BD=，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，作EN⊥CM，交MC延长线于点N，由等腰直角三角形的性质可得AC=CE，∠ACE=90°=∠M=∠N，利用AAS证明△ACM≌△CEN，得到AM=CN，易得BM、CM的值，然后求出AB，据此解答；
（3）①当QP=QB时，∠QPB=∠B=30°，∠AQP=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得AE=1，由旋转性质可得AE′=AE=1，然后根据三角函数的概念可得E′Q；②当BQ=BP时，∠2=∠BQP=∠BPQ=15°，∠1=∠2，AD′=QD′=2，据此求解；③当BQ=BP时，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BQP∽△AQD′，则∠BPQ=∠BQP=∠D′QA=∠D′AQ，据此求解.
16．（2023·营口）在中，，点E在上，点G在上，点F在的延长线上，连接．，．
（1）如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系 ；
（2）如图2，当时，写出线段和之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点G是的中点时，连接，求的值．
【答案】（1）
（2），理由如下：
当时，，
∴，，
过点G作交于点M，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（3）∵，，
∴，
设，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
过点E作于N，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）当k=1时，AD=BD，DG=EF，在AD上截取DH=DE，连接HG，
∵平行四边形ABCD中，∠ADB=90°，
∴∠A=∠ABD=45°.
∵AB∥CD，
∴∠CDB=45°，∠CDF=135°.
∵DH=DE，∠FED=∠ADG，DG=EF，
∴△DHG≌△EDF（SAS），
∴∠DHG=∠EDF=45°，DF=HG，
∴∠AHG=45°，
∴∠AGH=90°，
∴AG=GH=DF.
故答案为：AG=DF.
【分析】（1）当k=1时，AD=BD，DG=EF，在AD上截取DH=DE，连接HG，则△ABD为等腰直角三角形，∠A=∠ABD=45°，由平行线的性质可得∠CDB=45°，∠CDF=135°，利用SAS证明△DHG≌△EDF，得到∠DHG=∠EDF=45°，DF=HG，则∠AGH=90°，据此解答；
（2）当k=时，，∠A=30°，∠CDE=∠DBA=60°，过点G作GM⊥AB交AD于点M，则∠DMG=∠FDE=120°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DMG∽△EDF，根据相似三角形的性质可得MG=DF，DM=DE，由含30°角的直角三角形的性质可得AM=2MG=DF，然后根据AD=AM+DM进行解答；
（3）由题意可得DB=2DF+DE，设DE=x，则DE=DF=x，DB-=3x，过点E作EN⊥BD于N，则DN=x，EN=x，BN=BD-DN=x，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若，直线分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：解方程，得，．
，
，．
；
（2）解：，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，．
是AD中点，
．
．
将代入，得．
．
，．
．
过点C作于H，过点N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
（3）解：存在点Q，使△NPQ为腰长为5的等腰三角形.理由如下：
由（2）可知N（3，-2），
设P（0，m），Q（t，-t+1），
∴PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2.
当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=-6；
当QN=5时，2(t-3)2=25，解得t=；
△P′NQ1、△PNQ2、△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形，故Q1（-4，5），Q2（，）.
△P′NQ3、△P′NQ4、△PNQ4是腰长为5的等腰三角形，故Q3（4，-3），Q4（，）.
△PQ5N、△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，故Q5（，）.
综上可得：点Q的坐标为（-4，5）或（4，-3）或（，）或（，）.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，据此可得OC、OB的值，进而可得点B的坐标；
（2）易得OD=4，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=6，由中点的概念可得MD，表示出点M的坐标，代入y=-x+b中求出b的值，进而可得点E、F的坐标，过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，则△DOC∽△NKC，根据相似三角形的性质可得NK-2CK，易得EC=CK=1，NK=2，EK=2，由三角函数的概念可得EN、CH、然后求出NH，再利用三角函数的概念计算即可；
（3）由（2）可知N（3，-2），设P（0，m），Q（t，-t+1），根据两点间距离公式可得PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2，令PN=5、QN=5，求出t的值，然后画出相应的图形，据此不难得到点Q的坐标.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 26.1 锐角三角函数 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·定边期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·海南期中）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·南宁模拟）如图，圆规两脚，张开的角度，，则两脚张开的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·温州模拟）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，小正方形的对角线向两边延长，分别交边于点，交边于点．若是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·坪山模拟）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·金坛期中）如图，菱形的边长为2，，则菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·绥化）如图，在正方形中，点E为边的中点，连接，过点B作于点F，连接交于点G，平分交于点H.则下列结论中，正确的个数为（ ）
①②③当时，
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2023·自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·牡丹江）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．
10．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．
11．（2023九下·兴化月考）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形如果图中与的面积比为，那么的值为 ．
12．（2023·柳北模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是AD的中点，点P是BE上的动点，点Q是PC的中点，连接AQ，则AQ长的最小值为 ．
13．（2023九下·锡山期中）如图，在中，，点是边上的一动点．已知，现将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则 ，长度的最小值为 ．
三、作图题
14．（2023·德惠模拟）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图①中，在线段上画出点，使．
（2）在图②中，画出一个格点，使是以为斜边的等腰直角三角形．
（3）在图③中，在线段上画出点，使．
四、综合题
15．（2023八下·龙岗月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个，的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片中，，，．
（1）如图1，将一个与全等的沿较长的直角边重合，拼成一个四边形．
①求证：四边形是平行四边形；
②连接交于点，求的面积；
（2）在（1）的条件下，将一条直角边与重合的等腰直角三角形卡片与四边形拼成如图2所示的平面图形，请求出点到的距离；
（3）一个斜边长度与相等的三角板（，）如图3摆放，将绕点Ａ顺时针旋转，旋转角为，旋转后的三角形记为．在旋转过程中，直线所在的直线与直线，交于，两点，当为等腰三角形时，请直接写出的长．
16．（2023·营口）在中，，点E在上，点G在上，点F在的延长线上，连接．，．
（1）如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系 ；
（2）如图2，当时，写出线段和之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点G是的中点时，连接，求的值．
17．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若，直线分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标；平行线的性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥x轴于点F，
∵平行四边形OABC中，∠AOC=45°，OC∥AB，OA=OC=4，
∴∠BAF=45°，AB=OC=4，
∴AF=BF=4×=，
∴OF=OA+AF=4+，
∴B（+4，）.
故答案为：B.
【分析】过点B作BF⊥x轴于点F，由平行四边形的性质可得OA=BC=4，OC=AB=4，OC∥AB，根据平行线的性质可得∠AOC=∠BAF=45°，利用三角函数的概念可得BF，然后求出OF，据此可得点B的坐标.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：AB==，AC==5，BC==，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
∴sin∠ACB==.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可得AB、AC、BC的值，结合勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠B=90°，利用三角函数的概念求出sin∠ACB的值，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB=15，∠AOB=40°，
∴∠AOC=20°，AC=BC，
∴AC=OA·sin∠AOC=15·sin20°，
∴AB=2AC=30·sin20°.
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，由等腰三角形的性质可得∠AOC=20°，AC=BC，利用三角函数的概念可得AC，然后求出AB即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点M作MT⊥BE于点T，过点N作NK⊥GD于点K，
∵点E是AH的中点，
∴AE=EH，
设AE=EH=x，
∵如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴AE=BF=CG=DH=EF=m，
在Rt△ABE中，BE=2x，AE=x，
∴，
∵四边形EFGH是正方形，
∴，
∠EFH=∠MFT=45°，
设MT=FT=m，
∴，
∵，
∴BT=2MT=2m，
∵FT+BT=BF=m，
∴x+2x=m，
解之：x=m，
∴，
同理可知，
∴，
∴.
故答案为：B
【分析】过点M作MT⊥BE于点T，过点N作NK⊥GD于点K，利用线段中点的定义可知AE=EH，设AE=EH=x，利用全等三角形的性质可证得AE=BF=CG=DH=EF=m，利用勾股定理可表示出AB的长，利用正方形的性质和勾股定理可表示出FH的长，设MT=FT=m，利用解直角三角形表示出FM，BT的长根据FT+BT=BF，可得到关于m，x的方程，解方程表示出x，可得到FM，HM的长根据MN=FM+FH+HN，可得到MN的长；然后求出MN与AB的比值.
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵sin∠B=，∠B=50°，AB=60，
∴AD=AB·sin∠B=60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据三角函数的概念可得sin∠B=，据此解答.
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC、BD，交于点O，
∵四边形ABCD为菱形，边长为2，∠ABC=120°，
∴∠ABO=60°，
∴BO=ABcos60°=2×=1，AO=ABsin60°=2×=，
∴AC=2AO=，BD=2BO=2，
∴S菱形ABCD=AC·BD=××2=.
故答案为：C.
【分析】连接AC、BD，交于点O，由菱形的性质可得∠ABO=60°，利用三角函数的概念可得BO、AO，然后求出AC、BD的值，再根据菱形的面积=对角线乘积的一半进行计算.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD.
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，
∴cos∠ABF=cos∠EAD，
∴.
∵AB=AD，
∴AB2=BF·AE，故①正确；
设正方形的边长为a，
∵E为CD的中点，
∴DE=a，
∴tan∠ABF=tan∠EAD=.
∵AB==AF=a，
∴AF=a.
∵AE==a，
∴EF=AE-AF=a-a=a.
∵AB∥DE，
∴△GAB∽△GED，
∴=2，
∴GE=AE=a，
∴FG=AE-AF-GE=a-a-a=a，
∴=，
∴S△BGF：S△ABF=2：3，故②正确；
过H分别作BF、AE的垂线，垂足分别为M、N，则四边形FMHN为矩形.
∵FH为∠BFG的平分线，
∴HM=HN，
∴四边形FMHN为正方形，
∴FN=HM=HN，
∴BF=2AF=a，FG=a，
∴，
设MH=b，则BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b，BH==b.
∵BF=a，
∴a=4b，
∴b=a，
∴BH=×a=a，
∴BD2-BD·HD=2a2-a×a=a1，故④正确.
故答案为：D.
【分析】由正方形的性质可得∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD，根据同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE，结合三角函数的概念以及AB=AD即可判断①；设正方形的边长为a，则DE=a，tan∠ABF=tan∠EAD=，由勾股定理可得AB=AF=a，则AF=a，然后表示出AE、EF，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△GAB∽△GED，由相似三角形的性质可得GE=AE=a，然后表示出FG，得到的值，利用三角形的面积公式即可判断②；过H分别作BF、AE的垂线，垂足分别为M、N，则四边形FMHN为正方形，FN=HM=HN，，设MH=b，则BF=4b，BH=b，据此不难求出b与a的关系，然后表示出BH，据此判断④.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，
∴，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，
∴∠OKD=90°，，
∵OA=4，，
∴点B位于以k为圆心的圆上，
∴KB=OK=4，
∴当BD与圆K相切时，最大，
∴此时∠KBD=90°，
连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，
由勾股定理得，，
∵∠KBD=∠KBN=90°，∠OKD=∠DKN=90°，
∴∠BKD＋∠NKB=90°，∠BKN+∠KNB=90°，
∴∠KNB=∠BKD，
∴△NKB∽△BKD，
∴，
∴KN=，
由勾股定理得，
∴（等面积法），
∴，
∴=
故答案为：A
【分析】作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，根据中位线的性质和等边三角形的性质即可得到，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合平行线的性质即可得到∠OKD=90°，，再结合题意即可判断点B位于以k为圆心的圆上，且当BD与圆K相切时，最大，连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，先根据勾股定理即可得到DK和BD的长，接着运用相似三角形的判定与性质证明△NKB∽△BKD，进而即可得到KN的长，再运用勾股定理即可得到BN的长，进而运用三角形的等面积法即可得到NG的长，最后根据锐角三角形函数的定义即可求解。
9．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BD⊥OA，过C作CE⊥OA，
∵∠AOB=45°，B的读数为2cm，
∴OD=BD=2.
∵∠AOC=22.5°，
∴=tan22.5°=-1，
∴OD==，
∴ OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为cm.
故答案为：.
【分析】过B作BD⊥OA，过C作CE⊥OA，易得OD=BD=2，利用三角函数的概念求出OE的值，据此可得C在尺上的读数.
10．【答案】或
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，AB=2，A（1，0），∠DAB=60°，
∴AD=AB=BC=CD=2，AB边上的高为2×sin60°=，
∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±，
∴C1的坐标为（1-，3）或（1+，-3）.
故答案为：（1-，3）或（1+，-3）.
【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD=2，根据三角函数的概念可得AB边上的高为2×sin60°=，据此不难得到点C1的坐标.
11．【答案】
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形EAIH是正方形，
∴∠EHM=∠DIM=90°，而∠EMH=∠DMI，
∴ EMH∽ DMI，
∴，
∵ EMH与 DMI的面积的比为，
∴，
设EH=AE =AI =4k，DI=3k，则AD=AI+DI=7k，
在Rt AED中，
tan∠EDA=，
由"青朱出入图”得：∠GDC=90°-∠ADG=∠EDA，
∴tan∠GDC=tan∠EDA=.
故答案为：
【分析】由题意易证 EMH∽ DMI，由相似三角形的性质可得，结合已知可得，设EH=AE =AI =4k，DI=3k，则AD=AI+DI=7k，在直角三角形中，由锐角三角函数和"青朱出入图”得tan∠GDC=tan∠EDA=可求解.
12．【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点F，连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=BF=AD=BC，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∵点Q是CP的中点，F是BC的中点，
∴FQ∥BE，
∴点Q在DF上，
当AQ⊥DF时，AQ最短，
∵BC∥AD，
∴∠ADQ=∠DFC，
在Rt△CDF中，CD=AB=3，CF=BC=2，由勾股定理得DF=，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】取BC的中点F，连接DF，根据矩形的性质并结合平行四边形的判定方法易得四边形BFDE是平行四边形，由平行四边形的性质得BE∥DF，由三角形的中位线定理得FQ∥BE，进而根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得点Q在DF上；当AQ⊥DF时，AQ最短，由平行线的性质得∠ADQ=∠DFC，进而根据等角的同名三角形函数值相等可求出AQ的长.
13．【答案】；
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴∠BAC=60°，BC=，
∴S△ABC=AC·BC=×2×=.
∵AC=2，
∴CD=AC·sin∠BAC=2×=.
当点P在AB上运动到点D，△A′B′C绕点C旋转，点C、E、D共线时DE取得最小值，最小值为PE，
∴PE=CD-CE=-1.
故答案为：，-1.
【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据内角和定理可得∠BAC=60°，由三角函数的概念可得BC=，然后根据三角形的面积公式可得S△ABC，利用三角函数的概念可得CD的值，易得当点P在AB上运动到点D，点C、E、D共线时DE取得最小值，最小值为PE，然后根据PE=CD-CE进行计算.
14．【答案】（1）解：如图①中，点 即为所求；
（2）解：如图②中，点 即为所求；
（3）如图③中，点 即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可求解；
（2）根据等腰三角形的判定结合题意即可求解；
（3）根据锐角三角函数的定义即可求解。
15．【答案】（1）解：①由题意可知：，
∴，
∴四边形是平行四边形．
②∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
（2）解：过点C作交于点M，作，交延长线于点N，如图，
∵等腰，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即点E到的距离为：．
（3）解：，或
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3），或．
①当时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
由旋转性质可得：，
即；
②当时，
∵，
∴，
∵∠，
∴，
∵，
∴，
∴．
③当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
④当时，此时，所以不需要讨论．
【分析】）（1）①由题意可知△ABD≌△CDB，则AD=BC，AB=CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
②易得BD=，根据平行四边形的性质可得OD=BD=，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，作EN⊥CM，交MC延长线于点N，由等腰直角三角形的性质可得AC=CE，∠ACE=90°=∠M=∠N，利用AAS证明△ACM≌△CEN，得到AM=CN，易得BM、CM的值，然后求出AB，据此解答；
（3）①当QP=QB时，∠QPB=∠B=30°，∠AQP=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得AE=1，由旋转性质可得AE′=AE=1，然后根据三角函数的概念可得E′Q；②当BQ=BP时，∠2=∠BQP=∠BPQ=15°，∠1=∠2，AD′=QD′=2，据此求解；③当BQ=BP时，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BQP∽△AQD′，则∠BPQ=∠BQP=∠D′QA=∠D′AQ，据此求解.
16．【答案】（1）
（2），理由如下：
当时，，
∴，，
过点G作交于点M，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（3）∵，，
∴，
设，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
过点E作于N，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）当k=1时，AD=BD，DG=EF，在AD上截取DH=DE，连接HG，
∵平行四边形ABCD中，∠ADB=90°，
∴∠A=∠ABD=45°.
∵AB∥CD，
∴∠CDB=45°，∠CDF=135°.
∵DH=DE，∠FED=∠ADG，DG=EF，
∴△DHG≌△EDF（SAS），
∴∠DHG=∠EDF=45°，DF=HG，
∴∠AHG=45°，
∴∠AGH=90°，
∴AG=GH=DF.
故答案为：AG=DF.
【分析】（1）当k=1时，AD=BD，DG=EF，在AD上截取DH=DE，连接HG，则△ABD为等腰直角三角形，∠A=∠ABD=45°，由平行线的性质可得∠CDB=45°，∠CDF=135°，利用SAS证明△DHG≌△EDF，得到∠DHG=∠EDF=45°，DF=HG，则∠AGH=90°，据此解答；
（2）当k=时，，∠A=30°，∠CDE=∠DBA=60°，过点G作GM⊥AB交AD于点M，则∠DMG=∠FDE=120°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DMG∽△EDF，根据相似三角形的性质可得MG=DF，DM=DE，由含30°角的直角三角形的性质可得AM=2MG=DF，然后根据AD=AM+DM进行解答；
（3）由题意可得DB=2DF+DE，设DE=x，则DE=DF=x，DB-=3x，过点E作EN⊥BD于N，则DN=x，EN=x，BN=BD-DN=x，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．【答案】（1）解：解方程，得，．
，
，．
；
（2）解：，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，．
是AD中点，
．
．
将代入，得．
．
，．
．
过点C作于H，过点N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
（3）解：存在点Q，使△NPQ为腰长为5的等腰三角形.理由如下：
由（2）可知N（3，-2），
设P（0，m），Q（t，-t+1），
∴PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2.
当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=-6；
当QN=5时，2(t-3)2=25，解得t=；
△P′NQ1、△PNQ2、△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形，故Q1（-4，5），Q2（，）.
△P′NQ3、△P′NQ4、△PNQ4是腰长为5的等腰三角形，故Q3（4，-3），Q4（，）.
△PQ5N、△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，故Q5（，）.
综上可得：点Q的坐标为（-4，5）或（4，-3）或（，）或（，）.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，据此可得OC、OB的值，进而可得点B的坐标；
（2）易得OD=4，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=6，由中点的概念可得MD，表示出点M的坐标，代入y=-x+b中求出b的值，进而可得点E、F的坐标，过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，则△DOC∽△NKC，根据相似三角形的性质可得NK-2CK，易得EC=CK=1，NK=2，EK=2，由三角函数的概念可得EN、CH、然后求出NH，再利用三角函数的概念计算即可；
（3）由（2）可知N（3，-2），设P（0，m），Q（t，-t+1），根据两点间距离公式可得PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2，令PN=5、QN=5，求出t的值，然后画出相应的图形，据此不难得到点Q的坐标.
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