第二十一章 一元二次方程核心考点归纳一点通（含答案）

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3第21章《一元二次方程》专题卷A
——核心考点归纳一点通
核心考点1 一元二次方程的概念
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x＋＝2 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x(x－1)＝x D．x＋＝0
2．方程2x2－3x＝－2的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
3．如果2是一元二次方程x2＋m＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
核心考点2 解一元二次方程
4．解下列方程：
（一）直接开平方法
（1）(x＋1)2＝16 （2）(3x－2)2＝(2x－3)2
（二）配方法
（3）2x2－6x＋1＝0 （4）x2－6＝－2(x＋1)
（三）公式法
（5）3x2＋5(2x＋1)＝0 （6）x2－5x－6＝0
（四）因式分解法
（7）5x2＋3x＝0 （8）3x(x－2)－2(2－x)＝0
核心考点3 一元二次方程的根的判别式
5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
6．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0 有实数根，求m的取值范围．
核心考点4 一元二次方程的根与系数的关系
7．已知方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，且x1＞x2，不解方程，求下列各式的值：
（1）(x1－1)(x2－1)； （2）x12x2＋x1x22；
（3）＋； （4）＋；
（5）＋； （6）(＋1)(＋1)．
核心考点5 根的判别式及根与系数的关系的综合运用
8．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
9．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1＋x2－x1x2＜－1，且k为整数，求k的值．
10．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12－x22＝0时，求m的值．
核心考点6 一元二次方程的应用
（一）数字问题
11．两个连续整数的积是20，求这两个整数的和．
（二）循环问题
12．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
13．要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
14．新年里，一个有若干人的小组，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺年卡共72次，求此小组的人数．
（三）分支问题
15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？
（四）传染问题
16．有一人患了流感，有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
（五）增长率问题
17．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度，2015年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2017年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2017年底共建设了多少万平方米廉租房．
（六）边框与面积问题
18．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24 m，设平行于墙的BC边长为x m．
（1）若围成的花圃面积为40 m2时，求BC的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形．且花圃面积为50 m2，请你判断能否围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由．
图1 图2
19．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积为___________平方米；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的时，求甬道的宽．
3第21章《一元二次方程》专题卷A
——核心考点归纳一点通
核心考点1 一元二次方程的概念
1．下列方程为一元二次方程的是（ C ）
A．x＋＝2 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x(x－1)＝x D．x＋＝0
2．方程2x2－3x＝－2的二次项系数是__2__，一次项系数是__－3__，常数项是__2__．
3．如果2是一元二次方程x2＋m＝0的一个根，则方程的另一个根是（ C ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
核心考点2 解一元二次方程
4．解下列方程：
（一）直接开平方法
（1）(x＋1)2＝16 （2）(3x－2)2＝(2x－3)2
解：x1＝3，x2＝－5 解：x1＝1，x2＝－1
（二）配方法
（3）2x2－6x＋1＝0 （4）x2－6＝－2(x＋1)
解：x1＝，x2＝ 解：x1＝－1＋，x2＝－1－
（三）公式法
（5）3x2＋5(2x＋1)＝0 （6）x2－5x－6＝0
解：x1＝，x2＝ 解：x1＝6，x2＝－1
（四）因式分解法
（7）5x2＋3x＝0 （8）3x(x－2)－2(2－x)＝0
解：x1＝－，x2＝0 解：x1＝－，x2＝2
核心考点3 一元二次方程的根的判别式
5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
解：∵＝4＋4a＞0，∴a＞－1．
6．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0 有实数根，求m的取值范围．
解：m≤且m≠1．
核心考点4 一元二次方程的根与系数的关系
7．已知方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，且x1＞x2，不解方程，求下列各式的值：
（1）(x1－1)(x2－1)； （2）x12x2＋x1x22；
（3）＋； （4）＋；
（5）＋； （6）(＋1)(＋1)．
解：（1）－1；（2）3；（3）3；（4）7；（5）7；（6）5．
核心考点5 根的判别式及根与系数的关系的综合运用
8．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
（1）证明：x2－5x＋6－|m|＝0，＝25－4(6－|m|)＝1＋4|m|＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
（2）m＝±2，另一根为4．
9．关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1＋x2－x1x2＜－1，且k为整数，求k的值．
解：（1）k≤0；
（2）x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1得k＞－2，又由（1）k≤0，∴－2＜k≤0，
∵k为整数，∴k的值为－1和0．
10．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12－x22＝0时，求m的值．
解：（1）m≤；
（2）当x12－x22＝0得(x1＋x2)( x1－x2)＝0．
若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝．∵＞，m＝（舍）．
若x1－x2＝0，即x1＝x2，由（1）知m＝．故当x12－x22＝0时，m＝．
核心考点6 一元二次方程的应用
（一）数字问题
11．两个连续整数的积是20，求这两个整数的和．
解：设这两个整数是x和x＋1，则x(x＋1)＝20，x1＝4，x2＝－5，所以这两个整数的和是9或－9．
（二）循环问题
12．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
解：设有x人参加聚会，则＝10，x1＝－4（舍），x2＝5．
13．要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
解：设应邀请x个球队参加比赛，则x(x－1)＝90，x1＝－9（舍），x2＝10．
14．新年里，一个有若干人的小组，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺年卡共72次，求此小组的人数．
解：设此小组有x人，则x(x－1)＝72，x1＝－8（舍），x2＝9．
（三）分支问题
15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋x2＝57，x1＝－8（舍），x2＝7．
（四）传染问题
16．有一人患了流感，有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，1＋x＋x(1＋x)＝36，x＝5或x＝－7（舍去）．
（2）36×5＝180（人）．
（五）增长率问题
17．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度，2015年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2017年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2017年底共建设了多少万平方米廉租房．
解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，则2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝9.5，整理得：x2＋3x－1.75＝0，
∴x1＝0.5，x2＝－3.5（舍去）；
（2）38．
（六）边框与面积问题
18．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24 m，设平行于墙的BC边长为x m．
（1）若围成的花圃面积为40 m2时，求BC的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形．且花圃面积为50 m2，请你判断能否围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由．
图1 图2
解：（1）依题意可知：AB＝m，则×x＝40，解得：x1＝20，x2＝4．∵墙可利用的最大长度为15m，∴x1＝20舍去，∴BC的长为4m；
（2）不能围成花圃．x2－24x＋150＝0，∵＜0，∴方程无实数根，∴不能围成花圃．
19．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积为___________平方米；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的时，求甬道的宽．
解：（1）150x；
（2）依题意：2×80x＋150x－2x2＝××80
整理得x2－155x＋750＝0，x1＝5，x2＝150（舍去），∴甬道的宽为5米．
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