2023-2024学年初中数学九年级上册 26.2 锐角三角函数的计算 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2023·西青模拟）的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023九下·上城月考）已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
4．（2023八下·鄠邑期末）如图，在中，，，是腰上的高，则的长（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·义乌模拟）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，下列等式不一定成立的（ ）
A．a＝csinA B．a＝btanA
C． D．sin2A+sin2B＝1
7．（2023·青岛模拟）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，-） C．（，） D．（，-）
8．（2023·泉州模拟）已知“为锐角时，随着的增大而增大”，则的值更靠近（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·昆明模拟） ．
10．（2023九下·靖江期中）已知中，，，则的度数为 .
11．（2023·青山湖模拟）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，若点正好在的延长线上，则的值为 ．
12．（2023·合肥模拟）若，且，则 度．
13．（2023·杨浦模拟）如图，已知在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上．如果，那么的值为 ．
三、计算题
14．（2023·宁江模拟）计算：．
四、解答题
15．（2023七下·金溪期中）如图，在长方形 中，已知 为 上一点， 交 于点 ．若 ，长方形的周长为 ，且 ，求 的长．
16．（2023·松北模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
五、综合题
17．（2023·游仙模拟）
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2023·潍城模拟）
（1）计算：；
（2）解不等式组，把解集表示在数轴上，写出所有整数解．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值和二次根式的加法法则计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：；
故答案为：D．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
3．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：是锐角，，
.
故答案为：B.
【分析】若α与β互余，则sinα=cosβ，据此解答.
4．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠BCA=15°，
∴∠CAD=∠B+∠BCA=30°，
∴CD=AC=2.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠BCA=15°，根据三角形外角的性质可得∠CAD=∠B+∠BCA=30°，由含30°角的直角三角形的性质就可求出CD的长.
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴，
，
，
，
c2=a2+b2，
∴a=csinA，
a=btanA，
，
.
∴A、B、D都正确，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理及锐角三角函数的定义得，，，，c2=a2+b2，从而变形即可一一判断得出答案.
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
OF=OB′ cos45°=×=，
∴B′F=，
∴点B′的坐标为：（，-）．
故答案为：D．
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：角和角均为锐角，且，
，
，
，，，，
的值更靠近，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性结合特殊角的三角函数值可得，据此判断.
9．【答案】3
【知识点】平方根；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：3
【分析】根据特殊三角函数值，平方根进行运算，进而即可求解。
10．【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，由旋转的性质，得
AC=DC，，
∴，
在△ACD中，由三角形内角和定理，得
，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】由旋转的性质得AC=DC，，利用等边对等角可得，利用三角形内角和定理可求∠DAC=75°，再根据三角形外角的性质可求出∠B=45°，利用正弦函数的定义即可求解.
12．【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】利用特殊角的三角形函数值可得，再求出即可。
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点C作于点M，设交于点O．
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】过点C作于点M，设交于点O．求出，，可证，可得，根据AB=BC，可得
14．【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，二次根式的乘法法则计算求解即可。
15．【答案】解：四边形是长方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
解得：．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，再结合题中的已知，证出△AEF ≌ △DCE，可得出AE=DC，本题即可得到解决。
16．【答案】解：
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
∵
，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用乘方、0指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
18．【答案】（1）解：
（2）解：解不等式①，得
．
解不等式②，得
．
在数轴上表示出不等式①和②的解集
所以原不等式组的解集为．
整数解为：－1，0，1，2，3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
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一、选择题
1．（2023·天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值和二次根式的加法法则计算求解即可。
2．（2023·西青模拟）的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：；
故答案为：D．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
3．（2023九下·上城月考）已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：是锐角，，
.
故答案为：B.
【分析】若α与β互余，则sinα=cosβ，据此解答.
4．（2023八下·鄠邑期末）如图，在中，，，是腰上的高，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠BCA=15°，
∴∠CAD=∠B+∠BCA=30°，
∴CD=AC=2.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠BCA=15°，根据三角形外角的性质可得∠CAD=∠B+∠BCA=30°，由含30°角的直角三角形的性质就可求出CD的长.
5．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
6．（2023·义乌模拟）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，下列等式不一定成立的（ ）
A．a＝csinA B．a＝btanA
C． D．sin2A+sin2B＝1
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，
∴，
，
，
，
c2=a2+b2，
∴a=csinA，
a=btanA，
，
.
∴A、B、D都正确，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理及锐角三角函数的定义得，，，，c2=a2+b2，从而变形即可一一判断得出答案.
7．（2023·青岛模拟）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．（3，） B．（3，-） C．（，） D．（，-）
【答案】D
【知识点】菱形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BE0=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=，
∴∠B′OF=45°，
在Rt△B′OF中，
OF=OB′ cos45°=×=，
∴B′F=，
∴点B′的坐标为：（，-）．
故答案为：D．
【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．
8．（2023·泉州模拟）已知“为锐角时，随着的增大而增大”，则的值更靠近（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：角和角均为锐角，且，
，
，
，，，，
的值更靠近，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的增减性结合特殊角的三角函数值可得，据此判断.
二、填空题
9．（2023·昆明模拟） ．
【答案】3
【知识点】平方根；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：3
【分析】根据特殊三角函数值，平方根进行运算，进而即可求解。
10．（2023九下·靖江期中）已知中，，，则的度数为 .
【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答.
11．（2023·青山湖模拟）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，若点正好在的延长线上，则的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，由旋转的性质，得
AC=DC，，
∴，
在△ACD中，由三角形内角和定理，得
，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】由旋转的性质得AC=DC，，利用等边对等角可得，利用三角形内角和定理可求∠DAC=75°，再根据三角形外角的性质可求出∠B=45°，利用正弦函数的定义即可求解.
12．（2023·合肥模拟）若，且，则 度．
【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】利用特殊角的三角形函数值可得，再求出即可。
13．（2023·杨浦模拟）如图，已知在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、AD上．如果，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点C作于点M，设交于点O．
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】过点C作于点M，设交于点O．求出，，可证，可得，根据AB=BC，可得
三、计算题
14．（2023·宁江模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，二次根式的乘法法则计算求解即可。
四、解答题
15．（2023七下·金溪期中）如图，在长方形 中，已知 为 上一点， 交 于点 ．若 ，长方形的周长为 ，且 ，求 的长．
【答案】解：四边形是长方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
解得：．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，再结合题中的已知，证出△AEF ≌ △DCE，可得出AE=DC，本题即可得到解决。
16．（2023·松北模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
五、综合题
17．（2023·游仙模拟）
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
∵
，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用乘方、0指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
18．（2023·潍城模拟）
（1）计算：；
（2）解不等式组，把解集表示在数轴上，写出所有整数解．
【答案】（1）解：
（2）解：解不等式①，得
．
解不等式②，得
．
在数轴上表示出不等式①和②的解集
所以原不等式组的解集为．
整数解为：－1，0，1，2，3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
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