2022-2023学年上学期广东省八年级数学期末试题选编：14.2 乘法公式 同步练习

14.2 乘法公式
一、单选题
1．（2022秋·广东珠海·八年级统考期末）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　）
A． B．
C． D．
2．（2022春·广东梅州·八年级统考期末）已知，那么a等于（ ）
A．4 B．2 C．16 D．±4
3．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·广东佛山·八年级统考期末）若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2022秋·广东中山·八年级统考期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
6．（2022秋·广东惠州·八年级统考期末）若表示一个完全平方式，则k的值为（　　）
A． B．4 C． D．8
7．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）若是完全平方式，则的值为 ．
9．（2022秋·广东汕头·八年级统考期末）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若※，则x的值为 ．
10．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）若，，则的值为 ．
11．（2022秋·广东河源·八年级统考期末）已知，则的值是 ．
12．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是 ．
13．（2022秋·广东汕头·八年级统考期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则 ．
三、解答题
14．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．

(1)上述操作能验证的等式是____；请选择正确的一个
A、 B、 C、
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：
15．（2022秋·广东云浮·八年级统考期末）（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为________；宽为________；面积为________．
（2）由（1）可以得到一个公式：________．
（3）利用你得到的公式计算：．
16．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
17．（2022秋·广东汕头·八年级统考期末）化简求值：，其中，．
18．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）化简：．
19．（2022秋·广东珠海·八年级统考期末）计算：．
20．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）实践与探究
如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的公式是_________（请选择正确的一个）．
A． B． C．
(2)请应用上面的公式完成下列各题：
①已知，，则______________；
②计算：；
③计算：．
21．（2022秋·广东云浮·八年级统考期末）计算：．
22．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，
所以
请仿照上例解决下列问题：
(1)若满足，求的值；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
23．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
24．（2022秋·广东汕尾·八年级统考期末）已知，且．
(1)求xy的值；
(2)求的值．
25．（2022秋·广东肇庆·八年级期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝等．根据以上变形解决下列问题：
(1)已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝______．
(2)已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
(3)如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC BC＝10，则图中阴影部分的面积为______．
26．（2022秋·广东阳江·八年级统考期末）我们知道几个非负数的和等于，只有这几个数同时等于才成立，如，因为，都是非负数，则，，即可求，，应用知识解决下列各题：
(1)若，则______，______；
(2)若，则______；
(3)若，求的值．
27．（2022秋·广东惠州·八年级统考期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成（为整数）的形式：____________
(2)若可配方成（为常数），则___________
(3)探究问题：已知，求的值．
28．（2022秋·广东汕头·八年级统考期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积
方法1：_________________；方法2：_________________.
(2)观察图b，写出下面三个式子，，之间的等量关系_________;
(3)根据(2)中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，则________；
②已知， ，求的值．(写出解答过程)
29．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
(1)求x2+y2的值；
(2)若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
30．（2022秋·广东云浮·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
31．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）化简：．
32．（2022秋·广东肇庆·八年级统考期末）计算：．
参考答案：
1．D
【分析】根据面积的不同表示方法得到等式即可．
【详解】第一个图形阴影部分的面积是，
第二个图形的面积是．
则．
故选：．
【点睛】此题考查整式乘法的公式，解题关键是用不同代数式表示相同图形的面积列等式．
2．D
【分析】已知等式右边利用平方差公式得到结果，即可确定出a的值．
【详解】解：已知等式变形得：（x-a）（x+a）=x2-a2，
∵=x2-a2，
∴a2=16，
则a=±4．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
3．C
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
B. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
C. 能用平方差公式进行计算的是，
D. 不能用平方差进行计算，故不符合题意
故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
4．C
【分析】利用完全平方公式先计算出，再求平方根即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查完全平方公式、求平方根，利用完全平方公式计算出是解题的关键，注意平方根与算术平方根的区别，避免漏解．
5．C
【分析】根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可
【详解】解：阴影部分面积等于
∵，，
∴阴影部分面积等于
故答案为：C
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．
6．B
【分析】先根据完全平方式得出a2+4a+k＝a2+2 a 2+22，再求出k即可．
【详解】解：∵a2+4a+k是一个完全平方式，
∴a2+4a+k＝a2+2 a 2+22，
∴k＝22＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方公式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
7．C
【分析】根据完全平方公式及图形的特点找到长度关系即可依次判断．
【详解】解：、因为正方形图案的边长7，同时还可用来表示，故，正确；
、由图象可知，即，正确；
、由和，可得，，错误；
、由，，可得，，所以，正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
8．或/或
【分析】根据完全平方公式的特点：首平方，尾平方，首尾两数积的两倍在中央求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
整理得：或，
解得或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
9．1
【分析】根据题中的定义得到※，然后利用完全平方公式和多项式相乘法则求出x即可．
【详解】解：由题意可知：※，
∵※，
∴，
整理得到：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算，以及解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
10．110
【分析】利用完全平方公式，把化为求解即可．
【详解】解：，，
．
故答案为：110．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
11．
【分析】由条件，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及平方根，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键．
12．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，注意不要漏解．
13．
【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴k＝±（6×2），即k＝±12．
故答案为：±12．
【点睛】本题考查了完全平方式的知识，属于常考题型，熟知完全平方式的结构特征是解题关键．
14．(1)B
(2)①3；②
【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可得出所验证的等式；
（2）①将，再整体代入计算即可；②将原式转化为即可．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，
图2阴影部分的长为，宽为，
因此图2阴影部分的面积为，
由于图1、图2的阴影部分的面积相等可得，
故答案为：B；
（2）①，即，
又，
；
②原式
．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
15．（1），，，；（2）；（3）4
【分析】（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积－小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论；
（2）由（1）建立等量关系即可；
（3）根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）根据题意可得：
图1阴影部分的面积为：，
图2长方形的长为：，
图2长方形的宽为：，
面积为：，
故答案为：，，，；
（2）由（1）可得：
，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．
16．，
【分析】先利用平方差公式、整式的乘法法则，再合并同类项对式子进行化简；将代入最简式中计算即可得出结果．
【详解】原式．
当，．
【点睛】本题考查整式的混合运算化简求值的运算能力．在解题过程中，要把原式化到最简，再把数值代入最简式中进行计算是解本题的关键．
17．
【分析】先计算括号内的整式的乘法运算，再计算除法运算，最后把，代入化简后的代数式中求值即可.
【详解】解：
，，
原式
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，掌握多项式乘以多项式，平方差公式的运用，多项式除以单项式，求解代数式的值，掌握“整式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键.
18．
【分析】由平方差公式、整式乘法、整式的加减运算进行化简，即可得到答案．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
19．
【分析】利用单项式乘多项式、平方差公式直接求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查整式的乘法，掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题的关键．
20．(1)B
(2)①4；②36；③
【分析】（1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；
（2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果．
【详解】（1）图一中的阴影部分面积为：
图二中阴影部分面积为：
而这两者面积相等，所以有：
故选B
（2）①，
又
∴
②
③
【点睛】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键．
21．
【分析】利用完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握“”．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读部分提示，利用换元法进行解答即可；
（2）设，则，，可得，代入可求得，即可求得结果；
（3）根据已知可得，，可表示出构成阴影部分的四个图形的边长，进而表示出这四个图形的面积，长方形的面积是10，得到，设，，从而得到，，再求出，即可求出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：设，，
∴，，
∴
；
（2）设，
∴，，
∵，
∴
解得：，即；
（3）正方形的边长为x，，，
∴，，
∵长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，
∴，，
∴， ， ， ，
设，，则，，
∴阴影部分的面积
∵，即，
解得：，
∴，即阴影部分的面积为44．
【点睛】本题考查完全平方公式及其变形的应用，解题的关键是学会利用整体法解决问题，熟练掌握完全平方公式．
23．；
【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：
，
把，代入得：
原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算及其求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确进行计算．
24．(1)2
(2)18
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则得到，再结合即可得到答案；
（2）根据（1）所求，结合进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，代数式求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
25．(1)20
(2)255
(3)10
【分析】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）a2b2[（a+b）2﹣（a2+b2）]2ab＝ab＝10．
【详解】（1）解：∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，
∴ab20，
故答案为：20．
（2）解：设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2，
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10），
＝152﹣2×（﹣15），
＝225+30，
＝255；
（3）解：设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，那么AC BC＝ab=10，
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴四边形DABE为直角梯形，
则图中阴影部分的面积为：
（a+b）（a+b）（a2+b2），
[（a+b）2﹣（a2+b2）]，
2ab，
＝ab，
＝10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了完全平方公式的变式应用能力，解题的关键是能数形结合应用完全平方公式．
26．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料提示，非负数的和为零，即可求解；
（2）根据配方法，将变形为，即可求出，的值，根据非负数的负指数幂的运算即可求解；
（3）根据配方法，将变形为，即可求出，的值，再代入，根据幂运算法则即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，
∵，，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：变形为，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
（3）解：变形为，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查乘方的运算，乘方的性质，掌握乘方的运算，偶次幂的非负性是解题的关键．
27．(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）把29分为两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值；
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值．
【详解】（1）根据题意得，
故答案为．
（2）
，
∴，
∴．
故答案为2．
（3）解：
又∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
28．(1)或
(2)=
(3)①±1；②3
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；
（2）利用（1）中图b中的阴影部分的正方形面积，得到=；
（3）①根据（2）的结论得到，然后把，，代入计算即可．②根据（2）的结论得到，代入即可求解．
【详解】（1）解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为，面积为；
方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积－4个长为，宽为的面积，
即图b中阴影部分的面积为，
故答案为：或
（2）解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得
=．
故答案为：=．
（3）解：①由（2）得，
∵，，
∴，
∴，解得；
故答案为：
②∵，，
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．解决问题的关键是利用整体代入的方法求代数式的值．
29．(1)17
(2)±12
【分析】（1）依据完全平方公式可知即可求解；
（2）由题意可知m的值，再依据完全平方公式的特点可求n的值
【详解】（1）∵，
∴，
∴=17．
（2）∵，
∴，
∴是完全平方式，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于要理解它的特征，灵活运用．
30．，
【分析】先根据多项式除以单项式法则和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简，然后把字母值代入计算即可．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式
【点睛】本题考查多项式混合运算，代数式求值，熟练掌握多项式运算法则与乘法公式是解题的关键．
31．
【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】原式
．
．
【点睛】此题考查了完全平方公式，以及单项式乘多项式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
32．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可．
【详解】解：
.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式是解题的关键．