2023-2024学年初中数学九年级上册 26.2 锐角三角函数的计算 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022九上·密云期末）已知为锐角，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵为锐角，且，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
2．（2022九上·芝罘期中）在中，，则下列式子定成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设Rt△ABC的两直角边分别为a、b（其中a为∠A的对边），斜边为c，
则，，
∴sinA=cosB，
故答案为：D．
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答。
3．（2022九上·莱州期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习，如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下100米，若斜坡的坡比为，用计算器求下滑的水平距离，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：如图：过点B作，垂足为C，
∵斜坡的坡比为，
∴，
在中，米，
∴米，
故答案为：C．
【分析】过点B作，垂足为C，再利用解直角三角形的的方法求出，最后利用计算器的按键顺序求解即可。
4．（2021九上·单县期中）如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）
A．7km B．14km C．7km D．14km
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，
由题意得，∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠AMB，
∴∠AMB＝∠NBM＝45°，
∴BN＝MN，
∵AB＝28×0.5＝14km，
∴BN＝＝7km，
∴BM＝ NB＝7（km）．
故答案为：A．
【分析】过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，先求出∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，再结合AB＝28×0.5＝14km，利用含30°角的直角三角形的性质可得BN＝＝7km，最后求出BM＝ NB＝7（km）即可。
5．（2022·抚州模拟）如图，与，，分别交于点E，G，F，且，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴，即：∠GFC=90°，故D不符合题意；
又∵，
∴，即：，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先根据平行线的判定可得；根据三角形的内角和定理可得；根据特殊角撒三角函数值可得；
根据平行线的性质可得。
6．（2022·吉林模拟）如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（ ）
A．2acos32°米 B．2atan32°米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由题意可知：AB＝2BC，BD＝α米，∠CDB＝32°，AB⊥BD．
在Rt△BDC中，
∵tan∠CDB＝
∴BC＝BD tan∠CDB
＝α tan32°（米）．
∴AB＝2BC＝2α tan32°米
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的边角间关系在Rt△BDC中先求出BC，再利用线段中点求出AB
7．（2022·章丘模拟）如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：
∵点A（1，），
∴AM=1，OM=，
∵在Rt△AMO中，，
，
∴∠AOM=30°，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，
∴BN=1，∠BHN=30°，
∴HB=2BN=2，
∵点C(3，0)，
∴OC=AB=3，
∴AH=AB BH=1，
∴MH=MA+AH=2，
∴在Rt△HMO中，，
故答案为：B．
【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH
8．（2021·太和模拟）在 中， ， 为 上一动点，若 ， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：以 为顶点， 为一边在下方作 ，过 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ，如图：
，要使 最小，只需 最小，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 最小即是 最小，此时 与 重合， 与 重合，即 最小值是线段 的长度，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ，
故答案为：B．
【分析】以 为顶点， 为一边在下方作 ，过 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ，可得 ，要使 最小，只需 最小，即是 最小，此时 与 重合， 与 重合，即 最小值是线段 的长度，求出此时BD的长即可.
二、填空题
9．（2022·湘西）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
b2＝a2＋c2﹣2accosB
c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，
∴BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A=16+9-2×3×4cos60°，
BC2=25-12
解之：BC=.
故答案为：.
【分析】由题意可知利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A；然后代入计算求出结果.
10．（2022·歙县模拟）△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝4，，AB＝8，则 ．
【答案】105°或15°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1，
∵AD是BC边上的高，
∴，
在中，AD＝4，AB＝8，
∴，
∴，
在中，AD＝4，
∴，
∴，
∴，
②当△ABC为钝角三角形时，如图2，
∵AD是BC边上的高，
∴，
在中，AD＝4，AB＝8，
∴，
∴，
在中，AD＝4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或
【分析】分类讨论 △ABC 是锐角三角形和钝角三角形的情况，画出相关图像，根据已知的线段长度求三角函数，根据特殊角的三角函数值得到∠BAC
11．（2023·贵州）如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，，
∴，
∴∠CAB=60°，∠BCA=30°，
∴∠ACB=∠ECA=30°，∠EAC=15°，
在BC截取EC=FC，连接FA，如图所示：
∴∠FCA=∠ECA，
∴△ECA≌△FCA，
∴∠FAC=15°，△ECA的面积与△FCA的面积相等，
∴∠BFA=45°，
∴∠FAB=45°，
∴BF=BA=1，
∴，
∴四边形的面积是，
故答案为：
【分析】连接CA，先根据矩形的性质即可得到∠B=90°，，进而根据锐角三角函数的定义结合特殊角的三角函数值即可得到∠CAB=60°，∠BCA=30°，进而得到∠ACB=∠ECA=30°，∠EAC=15°，在BC截取EC=FC，连接FA，进而得到∠FCA=∠ECA，再根据三角形全等的判定与性质证明△ECA≌△FCA即可得到∠FAC=15°，△ECA的面积与△FCA的面积相等，进而根据等腰直角三角形的性质证明BF=BA=1，即可得到，再根据四边形的面积=即可求解。
12．（2023·奉贤模拟）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，如果点D的对应点恰好落在线段上，那么的正切值是 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；同角三角函数的关系；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如下图所示， 在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，点D的对应点恰好落在线段上的点G处，易知∠ CGE=∠ CEG+∠ GEF=∠ CED+∠ AEF =∠ EFC+∠ GEF=，∠ CEG=∠ CED，DE=GE，CD=CG=AD，
∴∠ GEF=∠ AEF ，∠A=∠EGF= ，EF=EF，∠ EFC=∠ CEG，
∴△GEF ≌ △AEF，
∴GE=AE=DE=AD，
∴tan =tan∠ CEG=====2，
∴的正切值是 2 。
故结果为：2 。
【分析】对折问题基本上都是权等问题，因此，利用题中条件快速得到两组全等三角形，从而得出对应的线段相等是解题的关键。此题综合性较高，难度较大。
13．（2021九上·宜宾期末）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角 和等腰直角 ，CD与BE、AE分别交于点P，M.对于下列结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的结论有 .（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【知识点】相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 和
都为等腰直角三角形，
∴ ，
，
∴ .
∵ ，
∴ ，即
，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即
.
∵ ，
∴ ，即
，故③正确；
如图，设BE与AC相交于O，则
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误.
综上，可知正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AC=
AB，AD=
AE，根据角的和差关系可得∠BAE=∠CAD，然后利用相似三角形的判定定理可判断①；根据相似三角形的性质可得∠BEA=∠CDA，证明△PME∽△AMD，据此判断②；证明△PMA∽△EMD，得到∠APD=∠MED=90°，证明△CAP∽△CMA，利用相似三角形的性质可判断③；设BE与AC相交于O，则∠AOB=∠POC，根据相似三角形的性质可得∠ABE=∠ACD，则∠CPB=∠BAC=45°，结合特殊角的三角函数值可判断④.
三、解答题
14．（2023·道里模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：原式
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先化简分式，再求出x的值，最后将x代入计算求解即可。
四、综合题
15．（2023·包头）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点.
（1）如图1，连接QA.当时，试判断点是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，，且，
①求证：；
②当时，设，求PQ的长（用含a的代数式表示）.
【答案】（1）解：如图，点在线段PC的垂直平分线上.
理由如下：连接
四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点
，
，
点在线段PC的垂直平分线上.
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
.
，
.
在Rt中，，
②如图，连接QC.，，
是等边三角形.
.
.
在Rt中，，，
，
.
.在Rt中，，
由勾股定理得，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，垂直平分线的性质，得出QA=QC，从而得到QC=QP，再利用垂直平分线的判定进行证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，再由各角之间的关系得∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出AE=2a，AP=3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.
16．（2023·云南）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠BCF=12∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF=∠BEA，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵AD∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BAD=180° ∠ABC=120°，
∴∠BAE=∠DAE=∠ABC=60°，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠EAC=12∠DAE=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∴AC⊥AB，∠ACB=90° ∠ABC=30°=∠EAC，
∴AE=CE，tan30°=tan∠ACB=ABAC即33=ABAC，
∴AB=33AC，
∵∠BAE=∠ABC，
∴AE=BE=CE，
∵△ABE的面积等于43，
∴S△ABC=12AC AB=12AC 33AC=36AC2=83，
∴平行线AB与DC间的距离AC=43．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形AECF是平行四边形，再结合AE=AF，得出四边形AECF是菱形即可；
（2）首先根据平行线和角平分线得出△ABE是等边三角形，再根据（1）的结论四边形AECF是菱形，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，∠ACB=30°，且AE是斜边BC上的中线，可以得出△ABC的面积是△ABE面积的2倍，即△ABC的面积是再根据正切的定义以及30°角的正切值，得出最后根据Rt△ABC面积即可求得AC的长度，因为AC⊥AB，所以AC的长也就是AB与DC之间的距离。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 26.2 锐角三角函数的计算 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022九上·密云期末）已知为锐角，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·芝罘期中）在中，，则下列式子定成立的是
A． B． C． D．
3．（2022九上·莱州期末）2022年2月4日在北京举办了第24届冬季奥运会，很多学校都开展冰雪项目学习，如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下100米，若斜坡的坡比为，用计算器求下滑的水平距离，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021九上·单县期中）如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）
A．7km B．14km C．7km D．14km
5．（2022·抚州模拟）如图，与，，分别交于点E，G，F，且，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·吉林模拟）如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（ ）
A．2acos32°米 B．2atan32°米 C．米 D．米
7．（2022·章丘模拟）如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
8．（2021·太和模拟）在 中， ， 为 上一动点，若 ， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
二、填空题
9．（2022·湘西）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
b2＝a2＋c2﹣2accosB
c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ．
10．（2022·歙县模拟）△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝4，，AB＝8，则 ．
11．（2023·贵州）如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形的面积是 ．
12．（2023·奉贤模拟）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，如果点D的对应点恰好落在线段上，那么的正切值是 ．
13．（2021九上·宜宾期末）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角 和等腰直角 ，CD与BE、AE分别交于点P，M.对于下列结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的结论有 .（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
14．（2023·道里模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
四、综合题
15．（2023·包头）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点.
（1）如图1，连接QA.当时，试判断点是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，，且，
①求证：；
②当时，设，求PQ的长（用含a的代数式表示）.
16．（2023·云南）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵为锐角，且，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
2．【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：设Rt△ABC的两直角边分别为a、b（其中a为∠A的对边），斜边为c，
则，，
∴sinA=cosB，
故答案为：D．
【分析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答。
3．【答案】C
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：如图：过点B作，垂足为C，
∵斜坡的坡比为，
∴，
在中，米，
∴米，
故答案为：C．
【分析】过点B作，垂足为C，再利用解直角三角形的的方法求出，最后利用计算器的按键顺序求解即可。
4．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，
由题意得，∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠AMB，
∴∠AMB＝∠NBM＝45°，
∴BN＝MN，
∵AB＝28×0.5＝14km，
∴BN＝＝7km，
∴BM＝ NB＝7（km）．
故答案为：A．
【分析】过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，先求出∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，再结合AB＝28×0.5＝14km，利用含30°角的直角三角形的性质可得BN＝＝7km，最后求出BM＝ NB＝7（km）即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴，即：∠GFC=90°，故D不符合题意；
又∵，
∴，即：，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】先根据平行线的判定可得；根据三角形的内角和定理可得；根据特殊角撒三角函数值可得；
根据平行线的性质可得。
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】由题意可知：AB＝2BC，BD＝α米，∠CDB＝32°，AB⊥BD．
在Rt△BDC中，
∵tan∠CDB＝
∴BC＝BD tan∠CDB
＝α tan32°（米）．
∴AB＝2BC＝2α tan32°米
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的边角间关系在Rt△BDC中先求出BC，再利用线段中点求出AB
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：
∵点A（1，），
∴AM=1，OM=，
∵在Rt△AMO中，，
，
∴∠AOM=30°，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，
∴BN=1，∠BHN=30°，
∴HB=2BN=2，
∵点C(3，0)，
∴OC=AB=3，
∴AH=AB BH=1，
∴MH=MA+AH=2，
∴在Rt△HMO中，，
故答案为：B．
【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH
8．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：以 为顶点， 为一边在下方作 ，过 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ，如图：
，要使 最小，只需 最小，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 最小即是 最小，此时 与 重合， 与 重合，即 最小值是线段 的长度，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ，
故答案为：B．
【分析】以 为顶点， 为一边在下方作 ，过 作 于 ，过 作 于 ，交 于 ，可得 ，要使 最小，只需 最小，即是 最小，此时 与 重合， 与 重合，即 最小值是线段 的长度，求出此时BD的长即可.
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，
∴BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A=16+9-2×3×4cos60°，
BC2=25-12
解之：BC=.
故答案为：.
【分析】由题意可知利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A；然后代入计算求出结果.
10．【答案】105°或15°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1，
∵AD是BC边上的高，
∴，
在中，AD＝4，AB＝8，
∴，
∴，
在中，AD＝4，
∴，
∴，
∴，
②当△ABC为钝角三角形时，如图2，
∵AD是BC边上的高，
∴，
在中，AD＝4，AB＝8，
∴，
∴，
在中，AD＝4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或
【分析】分类讨论 △ABC 是锐角三角形和钝角三角形的情况，画出相关图像，根据已知的线段长度求三角函数，根据特殊角的三角函数值得到∠BAC
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，，
∴，
∴∠CAB=60°，∠BCA=30°，
∴∠ACB=∠ECA=30°，∠EAC=15°，
在BC截取EC=FC，连接FA，如图所示：
∴∠FCA=∠ECA，
∴△ECA≌△FCA，
∴∠FAC=15°，△ECA的面积与△FCA的面积相等，
∴∠BFA=45°，
∴∠FAB=45°，
∴BF=BA=1，
∴，
∴四边形的面积是，
故答案为：
【分析】连接CA，先根据矩形的性质即可得到∠B=90°，，进而根据锐角三角函数的定义结合特殊角的三角函数值即可得到∠CAB=60°，∠BCA=30°，进而得到∠ACB=∠ECA=30°，∠EAC=15°，在BC截取EC=FC，连接FA，进而得到∠FCA=∠ECA，再根据三角形全等的判定与性质证明△ECA≌△FCA即可得到∠FAC=15°，△ECA的面积与△FCA的面积相等，进而根据等腰直角三角形的性质证明BF=BA=1，即可得到，再根据四边形的面积=即可求解。
12．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；同角三角函数的关系；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如下图所示， 在正方形中，点E、F分别在边上，．将沿直线CE翻折，点D的对应点恰好落在线段上的点G处，易知∠ CGE=∠ CEG+∠ GEF=∠ CED+∠ AEF =∠ EFC+∠ GEF=，∠ CEG=∠ CED，DE=GE，CD=CG=AD，
∴∠ GEF=∠ AEF ，∠A=∠EGF= ，EF=EF，∠ EFC=∠ CEG，
∴△GEF ≌ △AEF，
∴GE=AE=DE=AD，
∴tan =tan∠ CEG=====2，
∴的正切值是 2 。
故结果为：2 。
【分析】对折问题基本上都是权等问题，因此，利用题中条件快速得到两组全等三角形，从而得出对应的线段相等是解题的关键。此题综合性较高，难度较大。
13．【答案】①②③
【知识点】相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 和
都为等腰直角三角形，
∴ ，
，
∴ .
∵ ，
∴ ，即
，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即
.
∵ ，
∴ ，即
，故③正确；
如图，设BE与AC相交于O，则
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误.
综上，可知正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AC=
AB，AD=
AE，根据角的和差关系可得∠BAE=∠CAD，然后利用相似三角形的判定定理可判断①；根据相似三角形的性质可得∠BEA=∠CDA，证明△PME∽△AMD，据此判断②；证明△PMA∽△EMD，得到∠APD=∠MED=90°，证明△CAP∽△CMA，利用相似三角形的性质可判断③；设BE与AC相交于O，则∠AOB=∠POC，根据相似三角形的性质可得∠ABE=∠ACD，则∠CPB=∠BAC=45°，结合特殊角的三角函数值可判断④.
14．【答案】解：原式
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先化简分式，再求出x的值，最后将x代入计算求解即可。
15．【答案】（1）解：如图，点在线段PC的垂直平分线上.
理由如下：连接
四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点
，
，
点在线段PC的垂直平分线上.
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
.
，
.
在Rt中，，
②如图，连接QC.，，
是等边三角形.
.
.
在Rt中，，，
，
.
.在Rt中，，
由勾股定理得，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，垂直平分线的性质，得出QA=QC，从而得到QC=QP，再利用垂直平分线的判定进行证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，再由各角之间的关系得∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出AE=2a，AP=3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠BCF=12∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF=∠BEA，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵AD∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BAD=180° ∠ABC=120°，
∴∠BAE=∠DAE=∠ABC=60°，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠EAC=12∠DAE=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∴AC⊥AB，∠ACB=90° ∠ABC=30°=∠EAC，
∴AE=CE，tan30°=tan∠ACB=ABAC即33=ABAC，
∴AB=33AC，
∵∠BAE=∠ABC，
∴AE=BE=CE，
∵△ABE的面积等于43，
∴S△ABC=12AC AB=12AC 33AC=36AC2=83，
∴平行线AB与DC间的距离AC=43．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形AECF是平行四边形，再结合AE=AF，得出四边形AECF是菱形即可；
（2）首先根据平行线和角平分线得出△ABE是等边三角形，再根据（1）的结论四边形AECF是菱形，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，∠ACB=30°，且AE是斜边BC上的中线，可以得出△ABC的面积是△ABE面积的2倍，即△ABC的面积是再根据正切的定义以及30°角的正切值，得出最后根据Rt△ABC面积即可求得AC的长度，因为AC⊥AB，所以AC的长也就是AB与DC之间的距离。
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