2022-2023学年上学期广东省八年级数学期末试题选编 14.3 因式分解同步练习（含解析）

14.3 因式分解
一、单选题
1．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·广东清远·八年级统考期末）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·广东云浮·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·广东梅州·八年级统考期末）下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022春·广东茂名·八年级统考期末）将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）已知，那么的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题
8．（2022春·广东河源·八年级统考期末）单项式8x2y3与4x3y4的公因式是 ．
9．（2022春·广东河源·八年级统考期末）已知，，则 ．
10．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）分解因式：6x2y﹣3xy＝ ．
11．（2022秋·广东汕头·八年级统考期末）分解因式： ．
12．（2022秋·广东阳江·八年级统考期末）分解因式 ．
13．（2022春·广东佛山·八年级期末）分解因式： ．
14．（2022秋·广东中山·八年级统考期末）因式分解： ．
15．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解： ．
16．（2022春·广东梅州·八年级统考期末）已知a，b，c是的三边的长，且满足，则的形状为 三角形．
17．（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）若，则 ．
18．（2022秋·广东湛江·八年级统考期末）分解因式得 ．
19．（2022秋·广东惠州·八年级统考期末）因式分解： ．
20．（2022春·广东茂名·八年级统考期末）因式分解： ．
三、解答题
21．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）因式分解：．
22．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)分解因式：①；②；
(2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
23．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）将下列各式分解因式：
(1)
(2)
24．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）阅读材料：
若，求的值.
解：∵，
∴.
∴.
∴，，∴，.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最长边c的值；
(3)已知，，求的值.
25．（2022春·广东梅州·八年级统考期末）在三个整式，，中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
26．（2022春·广东茂名·八年级统考期末）因式分解：．
27．（2022秋·广东韶关·八年级统考期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式
例如．求代数式的最小值．
原式
．
可知当时，有最小值，最小值是-3．
(1)分解因式：__________．
(2)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数．
(3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
28．（2022秋·广东湛江·八年级统考期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）.
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
29．（2022春·广东河源·八年级统考期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)已知：，．求：的值．
(3)三边a，b，c满足，判断的形状．
30．（2022秋·广东汕头·八年级统考期末）分解因式：
31．（2022秋·广东中山·八年级统考期末）我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．如图，利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为、宽为的长方形卡片若干张，拼成图2正方形和图3长方形．
(1)请写出一个能够表示图2面积关系的乘法公式；
(2)请用两种不同的代数式表示图3的面积；
(3)根据（2）所得的结果，写出一个表示因式分解的等式．
32．（2022春·广东梅州·八年级统考期末）教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．
∵，∴当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______，代数式的最小值是______．
(2)当a，b，c分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
33．（2022春·广东茂名·八年级统考期末）已知：，．求下列各式的值：
(1)；
(2)．
参考答案：
1．D
【分析】根据因式分解的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合同意；
B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合同意；
C、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合同意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知把一个多项式变成几个整式的乘积的形式叫做因式分解是解题的关键．
2．A
【分析】多项式分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，用多项式相等的条件求出m和a的值即可．
【详解】解：根据题意得：＝＝，
可得：，
解得：，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解与整式乘法运算的关系，熟练掌握整式乘法运算法则是解本题的关键．
3．D
【分析】根据公因式的定义判断即可．
【详解】解：多项式的公因式是．
故选：D．
【点睛】本题考查了公因式的定义，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．掌握确定公因式的方法是解题的关键．
4．A
【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．
【详解】解：A. 是与的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；
B. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；
C. 是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；
D. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．
5．B
【分析】利用提公因式的方法分解A，D，利用完全平方公式分解C，而不能分解因式，从而可得答案．
【详解】解：故A不符合题意；
不能进行因式分解，故B符合题意；
故C不符合题意；
故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是利用提公因式与公式法分解因式，理解既不能用提公因式法分解因式，也不能用公式法分解因式是解本题的关键．
6．B
【分析】将分别与各个选项结合看看是否可以分解因式，即可得出答案．
【详解】A.，此选项正确，不符合题意；
B.，此选项错误，符合题意；
C. ，此选项正确，不符合题意；
D. ，此选项正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式是解题的关键．
7．C
【分析】利用因式分解将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴
=
=
=
=
=
=
=﹣1+2023
=2022，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解题本题的关键是掌握因式分解的方法．
8．4x2y3
【分析】根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可．
【详解】单项式8x2y3与4x3y4的公因式是4x2y3．
故答案为：4x2y3．
【点睛】本题考查了公因式的概念，找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，理解找公因式的规律是解题的关键．
9．
【分析】只要把所求代数式因式分解，然后把已知代入即可得到结论．
【详解】∵m+n=4，mn=-5，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=-5×4=-20．
故答案为：-20．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后整体代值计算．
10．
【分析】直接提取公因式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．
【分析】先利用乘法的分配律把原式化为再提公因式即可得到答案.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用提公因式的方法分解因式，确定整体公因式是解本题的关键.
12．
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式得出答案．
【详解】解：
=m（m+6）．
故答案为：m（m+6）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13．
【详解】分析:提取公因式xy即可.
详解:.
故答案为.
点睛: 本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
14．
【分析】根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式：．
16．等边
【分析】利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方的非负性，可得，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，完全平方公式的应用，熟练掌握等边三角形的判定，完全平方公式是解题的关键．
17．
【分析】先运用公式法因式分解得出，再把代入即可
【详解】解：∵，
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查了公式法因式分解以及求代数式的值，解题的关键是整体代入的思想和完全公式．
18．
【分析】利用完全平方公式分解即可．
【详解】∵=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，正确理解公式法分解因式是解题的关键．
19．
【分析】原式提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
20．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式解答．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式、完全平方公式因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．
【分析】用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是准确找出公因式．
22．(1)①；②
(2)等腰三角形
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
【详解】（1）（1）①x2-xy+5x-5y
=（x2-xy）+（5x-5y）
=x（x-y）+5（x-y）
=（x-y）（x+5）；
②m2-n2-6m+9
=（m2-6m+9）-n2
=（m-3）2-n2
=（m-3+n）（m-3-n）；
（2）∵a2-b2-ac+bc=0，
∴（a2-b2）-（ac-bc）=0，
∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a+b-c）=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b-c＞0，
∴a-b=0，
∴a=b，
即△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解题关键．
23．(1)（x＋5）（x－3）
(2)（5x＋4 y）（x＋8 y）
【分析】（1）原式利用十字相乘法分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：原式=（x+5）（x-3）；
（2）解：原式＝（3x＋6 y）2－（2x－2y）2
＝（3x＋6 y＋2x－2y）（3x＋6 y －2x＋2y）
＝（5x＋4 y）（x＋8 y）
【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
24．(1)
(2)6、7、8、9、10
(3)8
【分析】（1）根据例题凑成2个完全平方式，进而根据非负数的性质求得的值即可求解；
（2）方法同（1）进而求得的值，根据三角形的三边关系，列出不等式，求得不等式的整数解，进而求得的值；
（3）由已知式子，根据代入法求得，根据（1）的方法求得的值，进而求得的值，即可求得答案．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴
（2）解：∵
∴
∴
∴，
∴，，
∵的三边长都是正整数，
∴，，
∴的最长边的值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，即的值是8．
【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，三角形三边关系，求不等式组的整数解，掌握完全平方式是解题的关键．
25．见解析（答案不唯一）
【分析】根据题意计算+，然后因式分解，即可求解．
【详解】解：+
【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，掌握因式分解的方法是解题的关键．
26．
【分析】先提出公因式（x-y），再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查了因式分解，因式分解的方法有提公因式法和公式法．
27．(1)（a-3）（a+1）；
(2)见解析
(3)m=6，n=4，最小值为5．
【分析】（1）把a -2a-3化为a -2a+1-4的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（2）首先把x +y -4x+2y+6配方写成（x-2）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性即可求解；
（3）用拆项的方法首先把多项式化为m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．
【详解】（1）解：a -2a-3
=a -2a+1-4
=（a-1）2-4
=（a-1-2）（a-1+2）
=（a-3）（a+1）；
（2）解：多项式x +y -4x+2y+6的值总为正数，理由：
x +y -4x+2y+6
=x -4x+4+y +2y+1+1
=（x-2）2+（y+1）2+1，
∵（x-2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x-2）2+（y+1）2+1≥1，
∴多项式x +y -4x+2y+6的值总为正数；
（3）解：m -2mn+2n -4m-4n+25
=m2-2m（n+2）+（n+2）2+n2-8n+16+5
=（m-n-2）2+（n-4）2+5，
当m-n-2=0，n-4=0时代数式有最小值，
解得m=6，n=4，最小值为5．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方、完全平方式，熟练掌握这三个知识点的综合应用，用拆项法把多项式化为完全平方的形式是解题关键．
28．（1）（x﹣2）（x﹣4）；（2）①（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【分析】(1) 根据材料1,可对进行x2﹣6x+8进行分解因式;
(2) ①根据材料2的整体思想，可对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3进行分解因式;
②根据材料1、2，可对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3进行分解因式.
【详解】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点睛】本题主要考查因式分解的方法-十字相乘法.
29．(1)
(2)45
(3)的形状是等腰三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）将整理成即可求解；
（3）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
∵，，
代入得：原式
．
（3）解：
，
，
或，
的形状是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握分组分解法．
30．
【分析】分组后，前三项用完全平方公式分解，再与后一组利用平方公式进行分解即可.
【详解】
【点睛】本题考查了因式分解－分组分解法、公式法，熟练掌握乘法公式并灵活使用是解题的关键.
31．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）用两种方法表示出图2图形的面积即可；
（2）根据长方形的面积公式表示图3的面积和利用分割法表示图3的面积求解即可；
（3）根据（2）中两种面积的表示方法和因式分解的概念求解即可．
【详解】（1）图2图形的面积可以表示为，
图2图形的面积还可以表示为，
∴；
（2）图3图形的面积可以表示为，
图3图形的面积还可以表示为；
（3）∵由（2）得，图3图形的面积可以表示为，
图3图形的面积还可以表示为，
∴．
【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，面积与代数式恒等式的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
32．(1)（m-5）(m+1)；3
(2)△ABC为直角三角形
【分析】（1）根据题意，配出完全平方，再用平方差公式进行因式分解即可．
（2）将等式的左边拆项后重新组合，配出三个完全平方，再根据“几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0”求解出a、b、c的值即可．
【详解】（1）
=
∵
∴当x=3时，原式有最小值，最小值=3
（2）
∴a-3=0，b-5=0，c-4=0
解得：a=3，b=5，c=4
∵
∴△ABC为直角三角形
【点睛】本题主要考查了用公式法进行因式分解和勾股定理的逆定理，熟练的掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．注意：几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．
33．(1)5
(2)30
【分析】（1）将利用平方差公式变形，再将代入，即可求出的值；
（2）将提取公因式2x，再将代入，整理化简，最后将代入求值即可．
【详解】（1）∵
∴．
将代入上式，得：，
∴；
（2）
，
将代入上式，得：原式=，
将代入上式，得：原式=．
【点睛】本题考查代数式求值，因式分解的应用．利用整体代入的思想是解答本题的关键．