2023-2024学年初中数学九年级上册 26.3 解直角三角形 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2022九上·霍邱月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=
3．（2021九上·宝山期末）如图，已知Rt是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·长丰期末）如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是（ ）
A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=-0.2 D．m=-0.8
5．（2021九上·亳州期末）如图，在Rt△ABC中，若，AB＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．20 B．15 C． D．
6．（2023九上·诸暨期末）如图，中，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·中卫期末）如图所示，菱形 的周长为，，垂足为E，，则下列结论正确的个数有（ ）
①，②，③菱形的面积为，④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022九上·哈尔滨月考）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子底端A到墙面的距离为6米，若梯子与地面的夹角为α，则梯子的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
9．（2023九上·扶沟期末）如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为 .
10．（2021九上·潍城期中）在中，，，，则 ．
11．（2023九上·温州期末）如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ．
12．（2022九上·成都月考）如图，OC平分∠AOB，P是边OA上一点，以点P为圆心、大于点P到OB的距离为半径作弧，交OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点D．作直线PD分别交OC、OB于点G、Q．若sin∠AOB＝，OP＝4，则△OPG的面积为 ．
13．（2022九上·章丘期中）如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为，正方形FPQG面积为，则的值为 ．
三、解答题
14．（2022九上·江门期末）中，，，，求边的长度．
15．（2022九上·平谷期末）如图，在中，，平分交边于点D，于点E，若，，求的长．
四、综合题
16．（2022九上·广平期末）如图，是的高，若，，．
（1）求边的长；
（2）求的值．
17．（2023九上·宁波期末）如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上的一动点（点E不与点A，B重合），连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为F．
（1）求证：△ADE∽△FCD；
（2）若AD＝6，tan∠DCF＝，求AE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∴可设，则，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ，
∴，
∴，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理先求出BC的值，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：A．，故A错；
Ｂ．，故Ｂ错；
Ｃ．，故Ｃ错；
Ｄ=BC，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用解直角三角形性质逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：CD=1米，CDB=a=60°，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出BC的长，再利用线段的和差求出即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵
∴
由勾股定理得，即
解得
∴
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形的面积公式可得。
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】观察图形，结合已知条件BC=8，可知要求AB的长，利用∠A的正弦，可求出AB的长.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵菱形 的周长为，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴ ，
∴，故②正确
∴菱形的面积为③正确；
∴故④错误，
故答案为：C.
【分析】利用菱形的周长可求出菱形的边长，再在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出DE的长，可对①作出判断；利用勾股定理求出AE的长，即可得到BE的长，可对②作出判断；利用菱形的面积公式，可求出菱形ABCD的面积，可对③作出判断；然后在Rt△BED中，利用勾股定理求出BD的长，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：，米，
则米，
故答案为：D．
【分析】根据，再将数据代入求出即可。
9．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：.
【分析】根据正弦函数的定义可得，据此即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵，
又∵BC=2，
∴AB=6，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可。
11．【答案】；
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC，AD，点N在以B为圆心，4为半径的圆上运动（从A运动到N′），
折叠得：BN＝AB＝4，
在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴；
当C、N、B共线时，CN最小，
∴CN最小值＝，
在等腰直角△CDN中。
∴CD最小＝；
∵AB＝AC，∠BCA＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
同理：∠DCN＝45°，
∴∠ACB＝∠DCN，
∴∠ACB ∠ACN＝∠DCN ∠ACN，
∴∠BCN＝∠ACD，
∵，
∴△BCN∽△ACD，
∴，
∴，
∴点D在以A为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点M从点A运动到点C时，点D运动圆A，
∵，
∴点D运动的路径长为.
故答案为：，
【分析】连接AC，AD，点N在以B为圆心，4为半径的圆上运动（从A运动到N′），利用勾股定理求出BC的长，利用折叠的性质可得到BN的长；利用两点之间线段最短，可知当C、N、B共线时，CN最小，根据CN=BC-BN，可求出CN的最小值，然后利用解直角三角形求出线段CD的最小值；再证明∠BCN＝∠ACD，利用两边对应成比例且夹角相等，可证得△BCN∽△ACD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长，由此可知点D在以A为圆心，为半径的圆上运动，当点M从点A运动到点C时，点D运动圆A，然后求出点D的运动总路径长.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点G作MG⊥OA于点M，
由作法可知PQ⊥OB，
∴∠POQ=90°，
∴即，
∴∠AOB=60°，
∴∠OPQ=90°-60°=30°，
∴；
∵OC平分∠AOB，MG⊥OA，PQ⊥OB
∴∠GOQ=∠AOB=30°，GM=GQ，
∴
∴
解之：GQ=GM=2，
∴.
故答案为：
【分析】过点G作MG⊥OA于点M，由作法可知PQ⊥OB，可证得∠POQ=90°，利用特殊角的三角函数值可求出∠AOB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠OPQ的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OQ的长；利用角平分线的定义和性质可证得GM=GQ，∠GOQ=30°，利用解直角三角形求出CQ的长，即可得到CM的长；然后利用三角形的面积公式求出△OPG的面积.
13．【答案】49：20
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：四边形，FGQP是正方形，
，
，，
E为AB中点，
，
，
设，，
则，，
，，
，，
，
，
．
故答案为：49：20．
【分析】设，，则，，，再利用线段的和差求出，可得，最后求出。
14．【答案】解：过点作，交的延长线于点．
，，，
，．
在中，
，
，，
，．
在中，
，
．
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点作，交的延长线于点，先利用解直角三角形的方法求出，，再结合，可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可。
15．【答案】解：∵，，，
∴在中，，
在中，根据勾股定理可得：，
∵平分， ，，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，根据勾股定理可得：
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】先利用勾股定理和解直角三角形的方法求出DE和AB的长，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可。
16．【答案】（1）解：在中，
∵，，
∴
（2）解：∵，，
∴；
在中，
，
∴
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据，，再求出即可；
（2）先利用勾股定理求出AB的长，再利用余弦的定义可得。
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°．
∵CF⊥DE，垂足为F，
∴∠CFD＝90°＝∠D．
∵∠AED+∠ADE＝90°，∠ADE+∠FDC＝∠ADC＝90°，
∴∠AED＝∠FDC．
∴△ADE∽△FCD．
（2）解：∵△ADE∽△FCD，
∴∠ADE＝∠FCD，
∴tan∠ADE＝tan∠FCD＝ ．
在Rt△ADE中，∠A＝90°，AD＝6，
∴AE＝AD tan∠ADE＝6× ＝2，
即AE的长为2．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠A＝∠ADC＝90°，利用垂直的定义和余角的性质可知∠AED＝∠FDC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用相似三角形的对应角相等可证得∠ADE＝∠FCD，在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AE的长.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 26.3 解直角三角形 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∴可设，则，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.
2．（2022九上·霍邱月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ，
∴，
∴，，，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理先求出BC的值，再利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
3．（2021九上·宝山期末）如图，已知Rt是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：A．，故A错；
Ｂ．，故Ｂ错；
Ｃ．，故Ｃ错；
Ｄ=BC，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用解直角三角形性质逐项判断即可。
4．（2021九上·长丰期末）如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射入室内，则m的值是（ ）
A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=-0.2 D．m=-0.8
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：CD=1米，CDB=a=60°，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用解直角三角形的方法求出BC的长，再利用线段的和差求出即可。
5．（2021九上·亳州期末）如图，在Rt△ABC中，若，AB＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．20 B．15 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵
∴
由勾股定理得，即
解得
∴
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形的面积公式可得。
6．（2023九上·诸暨期末）如图，中，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】观察图形，结合已知条件BC=8，可知要求AB的长，利用∠A的正弦，可求出AB的长.
7．（2023九上·中卫期末）如图所示，菱形 的周长为，，垂足为E，，则下列结论正确的个数有（ ）
①，②，③菱形的面积为，④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵菱形 的周长为，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴ ，
∴，故②正确
∴菱形的面积为③正确；
∴故④错误，
故答案为：C.
【分析】利用菱形的周长可求出菱形的边长，再在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出DE的长，可对①作出判断；利用勾股定理求出AE的长，即可得到BE的长，可对②作出判断；利用菱形的面积公式，可求出菱形ABCD的面积，可对③作出判断；然后在Rt△BED中，利用勾股定理求出BD的长，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．（2022九上·哈尔滨月考）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子底端A到墙面的距离为6米，若梯子与地面的夹角为α，则梯子的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：，米，
则米，
故答案为：D．
【分析】根据，再将数据代入求出即可。
二、填空题
9．（2023九上·扶沟期末）如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：.
【分析】根据正弦函数的定义可得，据此即可得出答案.
10．（2021九上·潍城期中）在中，，，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵，
又∵BC=2，
∴AB=6，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可。
11．（2023九上·温州期末）如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ．
【答案】；
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC，AD，点N在以B为圆心，4为半径的圆上运动（从A运动到N′），
折叠得：BN＝AB＝4，
在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴；
当C、N、B共线时，CN最小，
∴CN最小值＝，
在等腰直角△CDN中。
∴CD最小＝；
∵AB＝AC，∠BCA＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
同理：∠DCN＝45°，
∴∠ACB＝∠DCN，
∴∠ACB ∠ACN＝∠DCN ∠ACN，
∴∠BCN＝∠ACD，
∵，
∴△BCN∽△ACD，
∴，
∴，
∴点D在以A为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点M从点A运动到点C时，点D运动圆A，
∵，
∴点D运动的路径长为.
故答案为：，
【分析】连接AC，AD，点N在以B为圆心，4为半径的圆上运动（从A运动到N′），利用勾股定理求出BC的长，利用折叠的性质可得到BN的长；利用两点之间线段最短，可知当C、N、B共线时，CN最小，根据CN=BC-BN，可求出CN的最小值，然后利用解直角三角形求出线段CD的最小值；再证明∠BCN＝∠ACD，利用两边对应成比例且夹角相等，可证得△BCN∽△ACD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长，由此可知点D在以A为圆心，为半径的圆上运动，当点M从点A运动到点C时，点D运动圆A，然后求出点D的运动总路径长.
12．（2022九上·成都月考）如图，OC平分∠AOB，P是边OA上一点，以点P为圆心、大于点P到OB的距离为半径作弧，交OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点D．作直线PD分别交OC、OB于点G、Q．若sin∠AOB＝，OP＝4，则△OPG的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点G作MG⊥OA于点M，
由作法可知PQ⊥OB，
∴∠POQ=90°，
∴即，
∴∠AOB=60°，
∴∠OPQ=90°-60°=30°，
∴；
∵OC平分∠AOB，MG⊥OA，PQ⊥OB
∴∠GOQ=∠AOB=30°，GM=GQ，
∴
∴
解之：GQ=GM=2，
∴.
故答案为：
【分析】过点G作MG⊥OA于点M，由作法可知PQ⊥OB，可证得∠POQ=90°，利用特殊角的三角函数值可求出∠AOB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠OPQ的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OQ的长；利用角平分线的定义和性质可证得GM=GQ，∠GOQ=30°，利用解直角三角形求出CQ的长，即可得到CM的长；然后利用三角形的面积公式求出△OPG的面积.
13．（2022九上·章丘期中）如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为，正方形FPQG面积为，则的值为 ．
【答案】49：20
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：四边形，FGQP是正方形，
，
，，
E为AB中点，
，
，
设，，
则，，
，，
，，
，
，
．
故答案为：49：20．
【分析】设，，则，，，再利用线段的和差求出，可得，最后求出。
三、解答题
14．（2022九上·江门期末）中，，，，求边的长度．
【答案】解：过点作，交的延长线于点．
，，，
，．
在中，
，
，，
，．
在中，
，
．
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点作，交的延长线于点，先利用解直角三角形的方法求出，，再结合，可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可。
15．（2022九上·平谷期末）如图，在中，，平分交边于点D，于点E，若，，求的长．
【答案】解：∵，，，
∴在中，，
在中，根据勾股定理可得：，
∵平分， ，，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，根据勾股定理可得：
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】先利用勾股定理和解直角三角形的方法求出DE和AB的长，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可。
四、综合题
16．（2022九上·广平期末）如图，是的高，若，，．
（1）求边的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：在中，
∵，，
∴
（2）解：∵，，
∴；
在中，
，
∴
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据，，再求出即可；
（2）先利用勾股定理求出AB的长，再利用余弦的定义可得。
17．（2023九上·宁波期末）如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上的一动点（点E不与点A，B重合），连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为F．
（1）求证：△ADE∽△FCD；
（2）若AD＝6，tan∠DCF＝，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°．
∵CF⊥DE，垂足为F，
∴∠CFD＝90°＝∠D．
∵∠AED+∠ADE＝90°，∠ADE+∠FDC＝∠ADC＝90°，
∴∠AED＝∠FDC．
∴△ADE∽△FCD．
（2）解：∵△ADE∽△FCD，
∴∠ADE＝∠FCD，
∴tan∠ADE＝tan∠FCD＝ ．
在Rt△ADE中，∠A＝90°，AD＝6，
∴AE＝AD tan∠ADE＝6× ＝2，
即AE的长为2．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠A＝∠ADC＝90°，利用垂直的定义和余角的性质可知∠AED＝∠FDC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用相似三角形的对应角相等可证得∠ADE＝∠FCD，在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AE的长.
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