2023-2024学年初中数学九年级上册 26.3 解直角三角形 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·江阳模拟）如图，矩形的对角线相交于点O，，分别过点D，点C作的平行线，两线相交于点E，连接交于点F，则的值是（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，
∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，ME=OE，MC=DC=3，
∴∠EMC=∠H=∠HCM=90°，
∴四边形MCHE是矩形，
∴EM=CH，ME=CH=3，
∴AD∥OE，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=9，
∴HC=4.5；
∴BH=BC+CH=9+4.5=13.5，
在Rt△ABC中，，
在Rt△BEH和Rt△BFG中
，
设FG=2x，BG=9x，
∵FG∥AB，
∴△CFG∽△CAB，
∴即
解之：，
∴
∴
解之：.
故答案为：B
【分析】连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ODEC是平行四边形，利用矩形的性质可得到∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，可推出四边形ODEC是菱形，利用菱形的性质可求出MC的长，同时可证得OE⊥DC，ME=OE，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形MCHE是矩形，可求出ME，CH的长；再证明四边形AOED是平行四边形，可得到OE，HC的长，从而可求出BH的长；利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形可得到FG与BG的比值，设FG=2x，BG=9x，由FG∥AB可证得△CFG∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可推出CF与AF的比值，然后根据AC的长，可求出AF的长.
2．（2017·湖州模拟）在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（ ）
A．∠OCB=2∠ACB B．∠OAB+∠OAC=90°
C．AC=2 D．BC=4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：A、∵∠OBC=∠AOB，
∴OA∥BC，
∴∠OAC=∠ACB．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠ACB，
∴∠OCB=2∠ACB，结论A正确；
B、∵OA=OB，
∴∠OAB+∠AOB+∠OBA=180°．
∵∠OAC= ∠OCB= ∠AOB，∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB+ ∠AOB=90°，即∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；
C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，如图4所示．
∵OA=OB，
∴∠AOE= ∠AOB=∠OAE．
在△AOE和△OAE中， ，
∴△AOE≌△OAE（AAS），
∴AF=OE= = ，
∴AC=2AF=2 ，结论C正确；
D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，如图5所示．
∵∠OAB+∠AOE=90°，∠MAB+∠ABM=90°，
∴∠AOE=∠ABM．
∵∠AEO=∠AMB=90°，
∴△AOE∽△ABM，
∴ ，
∴AM= ，OM=AO﹣AM= ．
∵BC∥AO，BM⊥AO，ON⊥BC，
∴四边形MBNO为矩形，
∴BN=OM= ．
∵OB=OC，ON⊥BC，
∴BC=2BN=7，结论D错误．
故选D．
【分析】A、根据∠OBC=∠AOB即可得出OA∥BC，由平行线的性质即可得出∠OAC=∠ACB，再由等腰三角形的性质即可得出∠OAC=∠OCA，替换后即可得出∠OCB=2∠ACB，结论A正确；B、根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出∠OAB+ ∠AOB=90°，结合结论A即可得出∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，则△AOE≌△OAE，利用勾股定理即可AF=OE= = ，从而得出AC=2AF=2 ，结论C正确；D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，则△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质即可得出AM= ，OM=AO﹣AM= ，由BC∥AO、BM⊥AO、ON⊥BC即可得出四边形MBNO为矩形，再根据矩形的性质以及等腰三角形的性质即可得出BC=2BN=2OM=7，结论D错误．综上即可得出结论．
3．（2023·南关模拟）如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为6米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】过点A'作A'C⊥AB于点C（如图），
∵，
∴A'C=A'Osin，
由题意可得： A'O=AO=6，
∴A'C=，
故答案为：A.
【分析】过点A'作A'C⊥AB于点C，再利用解直角三角形的方法求出A'C=即可。
4．（2022·吕梁模拟）如图，在矩形 按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线 交 于点E；③连接 ， ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ECD中，tan∠ECD= ，
∴∠ECD=30°，
又∵∠EDC=90°，
∴∠DEC=60°，
∴∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，
据图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠EAC=30°，
在矩形ABCD中， ，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ACB=30°．
故答案为：D．
【分析】先求出∠DEC=60°，再利用线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质求出∠EAC=30°，最后利用平行线的性质可得∠ACB=30°。
5．（2023·拱墅模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(不与点B，C重合)，点F在边AB上，且AF=BE，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若DF=4GH，则= （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过点E作EQ∥AC，
设GH=x，则DF=4x，
∵正方形ABCD，AF=BE
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，
在△DAF和△ABE中
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE，
在△ABG和△ADG中
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴∠ABG=∠ADF=∠BAE，
∴AH=BH，
∵∠ABG+∠HBE=90°，∠HEB+∠BAE=90°，
∴∠HBE=∠HEB，
∴AH=BH=HE=2x，
∵QE∥AC，
∴，
∴HQ=GH=BQ=x，
∴BG=DG=x+2x=3x，FG=4x-3x=x
∵AF∥CD，
∴△AFG∽△DCG，
∴，
设AF=a，则CD=AD=3a，
∴，
在Rt△ADF中，AF2+AD2=FD2，
∴a2+9a2=16x2，
解之：，
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】过点E作EQ∥AC，设GH=x，则DF=4x，利用正方形的性质可证得AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，利用SAS证明△DAF≌△ABE，利用全等三角形的性质可证得DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE；利用SAS证明△ABG≌△ADG，利用全等三角形的性质可得到∠ABG=∠ADF=∠BAE，利用等角对等边可推出AH=BH，利用余角的性质可得到∠HBE=∠HEB，利用等角对等边可知AH=BH=HE=2x，利用平行线等分线段定理可证得HQ=GH=BQ=x，可表示出DG，FG的长；由AF∥CD，可证得△AFG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得到AF与DC的比值，设AF=a，可表示出AD的长，利用解直角三角形表示出AC，CG的长，在Rt△ADF中，利用勾股定理建立方程，解方程求出x，可得到DG的长；据此可求出DG与CG的比值.
6．（2023·道里模拟）如图，绕点逆时针旋转60°得到（点与点是对应点，点与点是对应点），点是中点，与相交于点，，则的长为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点逆时针旋转60°得到，
∴，，
∴为等边三角形，则，，
∵点是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出∠BDF=60°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
7．（2023·姜堰模拟）在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴于点，连接、，如图.
点的坐标为，
，，.
点在直线上，
，
解得.
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，.
在中，.
在中，.
所求“理想矩形” 面积为；
故答案为：B.
【分析】过点作轴于点，连接、，由点A坐标可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，将点代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA为等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可.
8．（2022八下·南浔期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，则GＩ的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点I作IM⊥HC于点M，
∵正方形EFGH，
∴∠HGE=∠IGM=45°，
∴IM=GM，
∵DＩ＝2，CＩ＝1，
∴CD=DI+CI=2+1=3
∵ 记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，
∴5Ｓ1=9
解之：
∴HG=
∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，
∴DH=CG，
设DH=CG=x，则HC=+x，
在Rt△DHC中
DH2+CH2=DC2即
解之：（取正值），
∴
设IM=GM=a，
在Rt△CMI中，IM2+CM2=CI2
∴
解之：
在等腰直角△IGM中
.
故答案为：A.
【分析】过点I作IM⊥HC于点M，利用正方形的性质可证得∠HGE=∠IGM=45°，可推出IM=GM，同时可求出CD的长；利用已知条件求出HG的长；利用大正方形中的四个直角三角形全等，可证得HD=CG，设DH=CG=x，可表示出CH的长；再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的长；设IM=GM=a，在Rt△CMI中，利用勾股定理可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后利用解直角三角形求出GI的长.
二、填空题
9．（2023·杨浦模拟）如果一个矩形的面积是，两条对角线夹角的余切值是，那么它的一条对角线长是 ．
【答案】10
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CO=AO=DO=BO，
设CO=AO=DO=BO=5x，则CA=10x，
∵，
∴HB=4x，OH=3x，
∴，
∴x=1，
∴CA=10，
故答案为：10
【分析】先根据矩形的性质得到CO=AO=DO=BO，设CO=AO=DO=BO=5x，则CA=10x，再运用解直角三角形的知识点即可得到HB=4x，OH=3x，再根据即可求出x，进而即可求解。
10．（2023·香坊模拟）中，，点D在直线上，连接，若，，，则的面积为 ．
【答案】2或10
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵点D在直线上，，
∴可分两种情况：
当点D在A右侧时，如图1，则，
∴的面积为；
当点D在点A左侧时，如图2，则，
∴的面积为，
综上，的面积为2或10．
故答案为：2或10．
【分析】根据题意先求出，再分类讨论，结合图形，利用三角形面积公式计算求解即可。
11．（2023七下·长沙期中）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，则 °．
【答案】15
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图
∵AB∥CF，∠A=60°，
∴∠ACM=∠A=60°，
∵∠BCA=0°，
∴∠BCD=30°，
∵∠EFD=90°，∠E=45°，
∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，
∴∠DBC=180°-30°-135°=15°
【分析】 根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
12．（2023·长宁模拟）如图，的直径与弦交于点E，已知，，，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作FO⊥CD于点F，连接DO，过点D作HD⊥BA于点H，如图所示：
∵，
∴∠FEO=45°，
∴△FEO为等腰直角三角形，
∵，，
∴FE=FO=3，
∴DF=4，
由勾股定理得，
∴，BO=5，
∵△DFE为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点O作FO⊥CD于点F，连接DO，过点D作HD⊥BA于点H，先根据等腰直角三角形的判定与性质得到FE=FO=3，进而得到DF=4，再根据勾股定理即可求出OD的长，进而得到，BO=5，再根据等腰直角三角形的性质得到，进而即可求出BH的长，再根据余切函数的定义即可求解。
13．（2023·防城模拟）如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行线的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点C作CM∥AB，过点D作DE⊥AB于点E，交CM于点F，
∵EF⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵AB∥CM，∠A=30°，
∴∠CFD=90°，∠MCA=∠A=30°，
∴DF=CD，
∴OD+CD=OD+DF，
当O、D、F三点共线时，OD+DF=OF最小，
过点O作OF'⊥CM于点F'，交CA于点D'，此时OD'+F'D'=OF'即为最小值，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB的中点，
∴OA=OC=AB=，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠F'CO=60°，
∴cos∠F'CO=，
∴OF'=，即OD+CD的最小值为.
故答案为：.
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DE⊥AB于点E，交CM于点F，根据平行线的性质可得∠CFD=90°，∠MCA=∠A=30°，由含30°角直角三角形性质得DF=CD，则OD+CD=OD+DF，当O、D、F三点共线时，OD+DF=OF最小，过点O作OF'⊥CM于点F'，交CA于点D'，此时OD'+F'D'=OF'即为最小值，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OA=OC=AB=，由等边对等角得∠A=∠ACO=30°，则∠F'CO=60°，由∠F'CO的余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出OF'的长，从而得出答案.
三、解答题
14．（2023·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．
素材2 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度）907560453015参考数据：，．
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
【答案】解：任务1：如图1，过点E作于点I，过点G作于点J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
在中，（米）．
任务2：方法1：
如图2，过点Q作交于点P．
由（1）知，，
∵．
∴在中，，
∴，
∴．
在中，，
在中，，
∵在中，当时，，
∴小明刚好被照射到时离B点的距离为，
∴小明会被照射到．
方法2：
如图2，过点Q作交FH于点P．
与方法1同理得，得，，
∴．
在中，．
∴小明会被照射到．
任务3：当时，．
当时，．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】任务1：过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J，利用AB，BD的长可求出AD的长，利用等腰三角形的性质可求出DI的长，可求出sin∠IDE的值，利用余角的性质可证得∠IDE=∠DGB，利用平行线的性质和矩形的性质可证得∠DGB=∠α，同时可求出GJ的长；再利用解直角三角形求出GH的长.
任务2：方法1：过点Q作PQ⊥BC交HF于点P，可知∠IDE=∠α=∠DGB，利用直角三角形的性质可求出DI的长，可得到AD，BD的长；利用解直角三角形求出BG，GH，HQ的长，然后求出小明刚好被照射到时离B点的距离，即可作出判断；方法2：过点Q作PQ⊥BC交FH于点P，与方法1同理可求出BG，GH，QH的长；再利用解直角三角形求出PQ的长，可作出判断；任务3：当tanα=45°时，可得到BQ的最小值，当tanα=60°时，可得到BQ的最大值，即可得到BQ的取值范围.
15．（2022九上·温州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，求AC，AB及sinB的值．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，
∴sinA＝＝，即＝，
∴AB＝6，
∴AC＝，
∴sinB＝.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先根据正弦函数的定义求出AB，再利用勾股定理求出AC，最后根据正弦函数的定义，即可求出sinB的值．
四、综合题
16．（2023八下·江北期末）如图1，在菱形中，．等腰的两个顶点分别在上，且，点在的异侧．
（1）如图2，当于点时，
①求证：，且点在菱形的对角线上．
②如图3，若交于点交于点，连结．当 时，四边形为正方形．
（2）如图1，
①判断：点 ▲ 菱形的对角线上．（填“在”或“不在”）
②若，请求出的取值范围．
【答案】（1）解：①连接，如图所示，
四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
②
（2）解：①在
②
如图，作于于，连结，
，
，又，
又，
在的平分线上，四边形是菱形，平分，
在上．，
．
故答案为：.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）②，
是正三角形，，
是正方形，，
是菱形，，即，
∴.
故答案为：.
（2）①四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
∴点M在菱形ABCD的对角线AC上.
【分析】（1）根据菱形的性质和两直线平行即可求证AE=AF，利用菱形的性质对角线将角互相平分即可求出AC垂直平分EF，从而求证M在菱形ABCD的对角线上；
（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出EF与EM的关系，再根据第一问AE=AF和已知条件即可求证AE=EF和EM的关系，利用正方形的性质可知EH=EF与EM的关系，最后根据菱形ABCD的性质和特殊角的锐角三角函数可求出EB与EH的关系，通过等量转化，苛求抽AB与EM的关系；
（3）通过三角形全等解证明MG=MH，结合菱形的性质证明M在线段AC上，根据两点之间垂线段最短可知道HM的取值范围，从而知道AM取值安慰，最后利用勾股定理求出AC长度，从而求证CM取值范围.
17．（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）解：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再由，可得，从而证得四边形为正方形；
（2）①由可得，再根据 ，可得BC=AM， 由（1）得， 利用等量代换即得结论；
② 设的交点为M，过M作于G， 先证， 利用等腰三角形三线合一的性质可得点G是的中点，利用解直角三角形求出DG、DM的长，从而求出AM的长，再证， 利用相似三角形的对应边成比例求出AH的长即可.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 26.3 解直角三角形 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·江阳模拟）如图，矩形的对角线相交于点O，，分别过点D，点C作的平行线，两线相交于点E，连接交于点F，则的值是（ ）
A．7 B． C．8 D．
2．（2017·湖州模拟）在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（ ）
A．∠OCB=2∠ACB B．∠OAB+∠OAC=90°
C．AC=2 D．BC=4
3．（2023·南关模拟）如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为6米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2022·吕梁模拟）如图，在矩形 按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线 交 于点E；③连接 ， ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·拱墅模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(不与点B，C重合)，点F在边AB上，且AF=BE，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若DF=4GH，则= （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·道里模拟）如图，绕点逆时针旋转60°得到（点与点是对应点，点与点是对应点），点是中点，与相交于点，，则的长为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·姜堰模拟）在平面直角坐标系中，点A在直线l上，以A为圆心，为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段，和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形为直线l的“理想矩形”.若点，则直线的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
8．（2022八下·南浔期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，则GＩ的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·杨浦模拟）如果一个矩形的面积是，两条对角线夹角的余切值是，那么它的一条对角线长是 ．
10．（2023·香坊模拟）中，，点D在直线上，连接，若，，，则的面积为 ．
11．（2023七下·长沙期中）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，则 °．
12．（2023·长宁模拟）如图，的直径与弦交于点E，已知，，，那么的值为 ．
13．（2023·防城模拟）如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为 ．
三、解答题
14．（2023·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．
素材2 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度）907560453015参考数据：，．
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
15．（2022九上·温州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，求AC，AB及sinB的值．
四、综合题
16．（2023八下·江北期末）如图1，在菱形中，．等腰的两个顶点分别在上，且，点在的异侧．
（1）如图2，当于点时，
①求证：，且点在菱形的对角线上．
②如图3，若交于点交于点，连结．当 时，四边形为正方形．
（2）如图1，
①判断：点 ▲ 菱形的对角线上．（填“在”或“不在”）
②若，请求出的取值范围．
17．（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，
∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，ME=OE，MC=DC=3，
∴∠EMC=∠H=∠HCM=90°，
∴四边形MCHE是矩形，
∴EM=CH，ME=CH=3，
∴AD∥OE，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=9，
∴HC=4.5；
∴BH=BC+CH=9+4.5=13.5，
在Rt△ABC中，，
在Rt△BEH和Rt△BFG中
，
设FG=2x，BG=9x，
∵FG∥AB，
∴△CFG∽△CAB，
∴即
解之：，
∴
∴
解之：.
故答案为：B
【分析】连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ODEC是平行四边形，利用矩形的性质可得到∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，可推出四边形ODEC是菱形，利用菱形的性质可求出MC的长，同时可证得OE⊥DC，ME=OE，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形MCHE是矩形，可求出ME，CH的长；再证明四边形AOED是平行四边形，可得到OE，HC的长，从而可求出BH的长；利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形可得到FG与BG的比值，设FG=2x，BG=9x，由FG∥AB可证得△CFG∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可推出CF与AF的比值，然后根据AC的长，可求出AF的长.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：A、∵∠OBC=∠AOB，
∴OA∥BC，
∴∠OAC=∠ACB．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠ACB，
∴∠OCB=2∠ACB，结论A正确；
B、∵OA=OB，
∴∠OAB+∠AOB+∠OBA=180°．
∵∠OAC= ∠OCB= ∠AOB，∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB+ ∠AOB=90°，即∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；
C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，如图4所示．
∵OA=OB，
∴∠AOE= ∠AOB=∠OAE．
在△AOE和△OAE中， ，
∴△AOE≌△OAE（AAS），
∴AF=OE= = ，
∴AC=2AF=2 ，结论C正确；
D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，如图5所示．
∵∠OAB+∠AOE=90°，∠MAB+∠ABM=90°，
∴∠AOE=∠ABM．
∵∠AEO=∠AMB=90°，
∴△AOE∽△ABM，
∴ ，
∴AM= ，OM=AO﹣AM= ．
∵BC∥AO，BM⊥AO，ON⊥BC，
∴四边形MBNO为矩形，
∴BN=OM= ．
∵OB=OC，ON⊥BC，
∴BC=2BN=7，结论D错误．
故选D．
【分析】A、根据∠OBC=∠AOB即可得出OA∥BC，由平行线的性质即可得出∠OAC=∠ACB，再由等腰三角形的性质即可得出∠OAC=∠OCA，替换后即可得出∠OCB=2∠ACB，结论A正确；B、根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出∠OAB+ ∠AOB=90°，结合结论A即可得出∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，则△AOE≌△OAE，利用勾股定理即可AF=OE= = ，从而得出AC=2AF=2 ，结论C正确；D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，则△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质即可得出AM= ，OM=AO﹣AM= ，由BC∥AO、BM⊥AO、ON⊥BC即可得出四边形MBNO为矩形，再根据矩形的性质以及等腰三角形的性质即可得出BC=2BN=2OM=7，结论D错误．综上即可得出结论．
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】过点A'作A'C⊥AB于点C（如图），
∵，
∴A'C=A'Osin，
由题意可得： A'O=AO=6，
∴A'C=，
故答案为：A.
【分析】过点A'作A'C⊥AB于点C，再利用解直角三角形的方法求出A'C=即可。
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ECD中，tan∠ECD= ，
∴∠ECD=30°，
又∵∠EDC=90°，
∴∠DEC=60°，
∴∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°，
据图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠EAC=30°，
在矩形ABCD中， ，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ACB=30°．
故答案为：D．
【分析】先求出∠DEC=60°，再利用线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质求出∠EAC=30°，最后利用平行线的性质可得∠ACB=30°。
5．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过点E作EQ∥AC，
设GH=x，则DF=4x，
∵正方形ABCD，AF=BE
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，
在△DAF和△ABE中
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE，
在△ABG和△ADG中
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴∠ABG=∠ADF=∠BAE，
∴AH=BH，
∵∠ABG+∠HBE=90°，∠HEB+∠BAE=90°，
∴∠HBE=∠HEB，
∴AH=BH=HE=2x，
∵QE∥AC，
∴，
∴HQ=GH=BQ=x，
∴BG=DG=x+2x=3x，FG=4x-3x=x
∵AF∥CD，
∴△AFG∽△DCG，
∴，
设AF=a，则CD=AD=3a，
∴，
在Rt△ADF中，AF2+AD2=FD2，
∴a2+9a2=16x2，
解之：，
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】过点E作EQ∥AC，设GH=x，则DF=4x，利用正方形的性质可证得AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAG=45°，利用SAS证明△DAF≌△ABE，利用全等三角形的性质可证得DF=AE=4x，∠ADF=∠BAE；利用SAS证明△ABG≌△ADG，利用全等三角形的性质可得到∠ABG=∠ADF=∠BAE，利用等角对等边可推出AH=BH，利用余角的性质可得到∠HBE=∠HEB，利用等角对等边可知AH=BH=HE=2x，利用平行线等分线段定理可证得HQ=GH=BQ=x，可表示出DG，FG的长；由AF∥CD，可证得△AFG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得到AF与DC的比值，设AF=a，可表示出AD的长，利用解直角三角形表示出AC，CG的长，在Rt△ADF中，利用勾股定理建立方程，解方程求出x，可得到DG的长；据此可求出DG与CG的比值.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点逆时针旋转60°得到，
∴，，
∴为等边三角形，则，，
∵点是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出∠BDF=60°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作轴于点，连接、，如图.
点的坐标为，
，，.
点在直线上，
，
解得.
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，.
在中，.
在中，.
所求“理想矩形” 面积为；
故答案为：B.
【分析】过点作轴于点，连接、，由点A坐标可求出AC=AO=5，AF=3，OF=4，将点代入中求出k=1，即得y=x+1，可得G（0，1），△FGA为等腰直角三角形，可得∠FGA=45°，AG=3，利用解直角三角形求出AB的长，再利用勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点I作IM⊥HC于点M，
∵正方形EFGH，
∴∠HGE=∠IGM=45°，
∴IM=GM，
∵DＩ＝2，CＩ＝1，
∴CD=DI+CI=2+1=3
∵ 记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，
∴5Ｓ1=9
解之：
∴HG=
∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，
∴DH=CG，
设DH=CG=x，则HC=+x，
在Rt△DHC中
DH2+CH2=DC2即
解之：（取正值），
∴
设IM=GM=a，
在Rt△CMI中，IM2+CM2=CI2
∴
解之：
在等腰直角△IGM中
.
故答案为：A.
【分析】过点I作IM⊥HC于点M，利用正方形的性质可证得∠HGE=∠IGM=45°，可推出IM=GM，同时可求出CD的长；利用已知条件求出HG的长；利用大正方形中的四个直角三角形全等，可证得HD=CG，设DH=CG=x，可表示出CH的长；再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的长；设IM=GM=a，在Rt△CMI中，利用勾股定理可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后利用解直角三角形求出GI的长.
9．【答案】10
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CO=AO=DO=BO，
设CO=AO=DO=BO=5x，则CA=10x，
∵，
∴HB=4x，OH=3x，
∴，
∴x=1，
∴CA=10，
故答案为：10
【分析】先根据矩形的性质得到CO=AO=DO=BO，设CO=AO=DO=BO=5x，则CA=10x，再运用解直角三角形的知识点即可得到HB=4x，OH=3x，再根据即可求出x，进而即可求解。
10．【答案】2或10
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵点D在直线上，，
∴可分两种情况：
当点D在A右侧时，如图1，则，
∴的面积为；
当点D在点A左侧时，如图2，则，
∴的面积为，
综上，的面积为2或10．
故答案为：2或10．
【分析】根据题意先求出，再分类讨论，结合图形，利用三角形面积公式计算求解即可。
11．【答案】15
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图
∵AB∥CF，∠A=60°，
∴∠ACM=∠A=60°，
∵∠BCA=0°，
∴∠BCD=30°，
∵∠EFD=90°，∠E=45°，
∴∠EDC=∠E+∠EFD=135°，
∴∠DBC=180°-30°-135°=15°
【分析】 根据平行线的性质求出∠ACM，根据平角求出∠BCD，根据三角形外角性质求出∠BDC，根据三角形内角和定理求出即可．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作FO⊥CD于点F，连接DO，过点D作HD⊥BA于点H，如图所示：
∵，
∴∠FEO=45°，
∴△FEO为等腰直角三角形，
∵，，
∴FE=FO=3，
∴DF=4，
由勾股定理得，
∴，BO=5，
∵△DFE为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点O作FO⊥CD于点F，连接DO，过点D作HD⊥BA于点H，先根据等腰直角三角形的判定与性质得到FE=FO=3，进而得到DF=4，再根据勾股定理即可求出OD的长，进而得到，BO=5，再根据等腰直角三角形的性质得到，进而即可求出BH的长，再根据余切函数的定义即可求解。
13．【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行线的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点C作CM∥AB，过点D作DE⊥AB于点E，交CM于点F，
∵EF⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵AB∥CM，∠A=30°，
∴∠CFD=90°，∠MCA=∠A=30°，
∴DF=CD，
∴OD+CD=OD+DF，
当O、D、F三点共线时，OD+DF=OF最小，
过点O作OF'⊥CM于点F'，交CA于点D'，此时OD'+F'D'=OF'即为最小值，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB的中点，
∴OA=OC=AB=，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠F'CO=60°，
∴cos∠F'CO=，
∴OF'=，即OD+CD的最小值为.
故答案为：.
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DE⊥AB于点E，交CM于点F，根据平行线的性质可得∠CFD=90°，∠MCA=∠A=30°，由含30°角直角三角形性质得DF=CD，则OD+CD=OD+DF，当O、D、F三点共线时，OD+DF=OF最小，过点O作OF'⊥CM于点F'，交CA于点D'，此时OD'+F'D'=OF'即为最小值，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OA=OC=AB=，由等边对等角得∠A=∠ACO=30°，则∠F'CO=60°，由∠F'CO的余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出OF'的长，从而得出答案.
14．【答案】解：任务1：如图1，过点E作于点I，过点G作于点J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
在中，（米）．
任务2：方法1：
如图2，过点Q作交于点P．
由（1）知，，
∵．
∴在中，，
∴，
∴．
在中，，
在中，，
∵在中，当时，，
∴小明刚好被照射到时离B点的距离为，
∴小明会被照射到．
方法2：
如图2，过点Q作交FH于点P．
与方法1同理得，得，，
∴．
在中，．
∴小明会被照射到．
任务3：当时，．
当时，．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】任务1：过点E作EI⊥AB于点I，过点G作GJ⊥FH于点J，利用AB，BD的长可求出AD的长，利用等腰三角形的性质可求出DI的长，可求出sin∠IDE的值，利用余角的性质可证得∠IDE=∠DGB，利用平行线的性质和矩形的性质可证得∠DGB=∠α，同时可求出GJ的长；再利用解直角三角形求出GH的长.
任务2：方法1：过点Q作PQ⊥BC交HF于点P，可知∠IDE=∠α=∠DGB，利用直角三角形的性质可求出DI的长，可得到AD，BD的长；利用解直角三角形求出BG，GH，HQ的长，然后求出小明刚好被照射到时离B点的距离，即可作出判断；方法2：过点Q作PQ⊥BC交FH于点P，与方法1同理可求出BG，GH，QH的长；再利用解直角三角形求出PQ的长，可作出判断；任务3：当tanα=45°时，可得到BQ的最小值，当tanα=60°时，可得到BQ的最大值，即可得到BQ的取值范围.
15．【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，
∴sinA＝＝，即＝，
∴AB＝6，
∴AC＝，
∴sinB＝.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先根据正弦函数的定义求出AB，再利用勾股定理求出AC，最后根据正弦函数的定义，即可求出sinB的值．
16．【答案】（1）解：①连接，如图所示，
四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
②
（2）解：①在
②
如图，作于于，连结，
，
，又，
又，
在的平分线上，四边形是菱形，平分，
在上．，
．
故答案为：.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）②，
是正三角形，，
是正方形，，
是菱形，，即，
∴.
故答案为：.
（2）①四边形是菱形，
平分，即，
又
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
又平分垂直平分，
在的中垂线上，即在上．
∴点M在菱形ABCD的对角线AC上.
【分析】（1）根据菱形的性质和两直线平行即可求证AE=AF，利用菱形的性质对角线将角互相平分即可求出AC垂直平分EF，从而求证M在菱形ABCD的对角线上；
（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出EF与EM的关系，再根据第一问AE=AF和已知条件即可求证AE=EF和EM的关系，利用正方形的性质可知EH=EF与EM的关系，最后根据菱形ABCD的性质和特殊角的锐角三角函数可求出EB与EH的关系，通过等量转化，苛求抽AB与EM的关系；
（3）通过三角形全等解证明MG=MH，结合菱形的性质证明M在线段AC上，根据两点之间垂线段最短可知道HM的取值范围，从而知道AM取值安慰，最后利用勾股定理求出AC长度，从而求证CM取值范围.
17．【答案】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
（2）解：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先证四边形为矩形，再由，可得，从而证得四边形为正方形；
（2）①由可得，再根据 ，可得BC=AM， 由（1）得， 利用等量代换即得结论；
② 设的交点为M，过M作于G， 先证， 利用等腰三角形三线合一的性质可得点G是的中点，利用解直角三角形求出DG、DM的长，从而求出AM的长，再证， 利用相似三角形的对应边成比例求出AH的长即可.
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