2023-2024学年初中数学九年级上册 26.4 解直角三角形的应用 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
2．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2023七下·长沙期中）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·清新期中）如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度：的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡长为米，到塔底的水平距离为米图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度约为米结果精确到米，参考数据：，，（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．（2023·南充）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2023·官渡）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D． cm
8．（2023八下·洪山期中）如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ）
A．海里 B．海里 C．2海里 D．2海里
二、填空题
9．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为 （m）．
10．（2023·黄冈模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）
11．（2023·泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）
12．（2023·济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．
13．（2023·广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：，，）
三、解答题
14．（2023·台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，．黑板上投影图像的高度，CB与AB的夹角，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）
15．（2023·营口）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）
四、综合题
16．（2023八下·江门期末）如图，一条笔直的公路l经过博物馆A和公园C，现要进一步开发景区B，经测量，景区B位于博物馆A的北偏东60°方向上、位于公园C的北偏东30方向上，且AC=16km
（1）求公园C与景区B的距离；
（2）为了方便游客到景区B游玩，景区管委会准备由景区B向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求这条最短公路的长.(结果保留根号)
17．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为：
1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.
故答案为：B.
【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可.
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
解：如图：
由题意得： ∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，
∴∠EAB+∠ABF = 180°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°，
∵∠α是△ ACB 的一个外角，
∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°.
故答案为： B
【分析】根据题意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，再由平行线的性质得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AB交过点D的水平面于点F，作CE⊥DF于点E，
由题意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE.
∵在Rt△CDE中，i=1：2.4，CD=26，
设CE=x，则ED=2.4x，
∴x2+(2.4x)2=262，
解得x=10，
∴BF=CE=10，ED=24.
∵∠AFD=90°，FD=EF+ED=33，∠ADF=53°，
∴AF=FD·tan53°=33×=44，
∴AB=AF-BF=44-10=34.
故答案为：C.
【分析】延长AB交过点D的水平面于点F，作CE⊥DF于点E，由题意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE，设CE=x，则ED=2.4x，利用勾股定理可得x的值，然后求出ED、FD，利用三角函数的概念可得AF，然后根据AB=AF-BF进行计算.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AC=，
故答案为：B
【分析】直接运用解直角三角形的知识即可求解。
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥CB于点C，如图所示：
∴，
∵AB=100，
∴AC=，
故答案为：A.
【分析】过点A作AC⊥CB于点C，根据解直角三角形即可求解。
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵tan15°= ．
∴木桩上升了6tan15°cm．
故选C．
【分析】运用三角函数定义求解．
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题可知：，
∴海里，
故答案为：D.
【分析】由题意可得：∠BOA=90°，OB=2，OA=4，然后利用勾股定理进行计算.
9．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，
∴BC=6，
∴迎水坡AB的长为（m）.
故答案为： .
【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。
10．【答案】12.7
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
设AD=CD=x，
则BD=AB-AD=20-x，
在Rt△CBD中，∵，
∴，
∴x≈12.7.
故答案 为：12.7.
【分析】易得△ADC是等腰直角三角形，则CD=AD，设AD=CD=x，则BD=AB-AD=20-x，在Rt△CBD中，利用∠B的正切函数建立方程，求解即可.
11．【答案】55
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=50°，AC=xm，由得：
在Rt△BEF中，EF=AD=AC+CD=（x+60）m，∠BEF=26.6°，
由得：
又由题意知AF=DE=2m，AB=AF+BF，
∴1.2x=2+0.5（x+60），解方程，得：，所以AB=1.2x≈55.
故第1空答案为：55.
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，分别解Rt△ABC和Rt△BEF，得出AB和BF（用含有x的表达式），又AF=DE=2，根据AB=AF+BF，列出方程，解方程，即可解决问题。
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得四边形CANM、四边形CABD、四边形DBNM为矩形，
∴DC=BA=30，CA=NM=1，
由题意得∠DCE=30°，∠MDE=60°，
∴∠CED=30°=∠DCE，
∴DC=DE=30，
∴，
解得，
∴EN=m，
故答案为：
【分析】先根据题意结合矩形的性质即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，进而根据题意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，从而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再运用解直角三角形的知识即可求出ME，进而即可得到EN。
13．【答案】21
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ADC=90°，
∴即；
即，
∴AB=2AD=8，
∴ 共需钢材约2AC +CD+AB=2×5+3+8=21.
故答案为：21
【分析】利用等腰三角形的性质可得到AD=BD，∠ADC=90°，利用解直角三角形分别求出AC，AD的长，可得到AB的长，然后求出2AC +CD+AB的值.
14．【答案】解：在Rt△ABC中，，，，
∴
．
∴AC的长约为80cm．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】直接利用∠B的正切函数可求出AC的长.
15．【答案】如图，过B点作于点D，
根据题意有：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵在中，，（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
即（米），
答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过B点作BD⊥AC于点D，根据题意有∠BAS=20°，∠ACN=25°，∠BCN=55°，则∠BCA=∠BCN-∠ACN=30°，∠SAD=∠ACN=25°，∠BAD=∠SAB+∠SAD=45°，推出△ABD为等腰直角三角形，得到AD=BD=AB，由三角函数的概念可得BC、CD，由AC=AD+DC求出AC，然后求出AC-BC的值即可.
16．【答案】（1）解：根据题意得：∠CAB=30°，∠ACB= 90° + 30°= 120°，
∴∠ABC= 180°- 30°- 120°= 30° ，
∴∠CAB=∠CBA，
∴BC= AC= 16(km).
答：景区B到公园C的距离为16km；
（2）解：过点B作BD⊥l，垂足为D，则BD的长是这条最短公路的长.
∵BD⊥l，
∴∠ADB = 90°，
∴∠BCD= 30°+ 30°= 60°，∠CBD= 90°- 60° = 30°，
答： 这条最短公路的长为 .
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 （1）根据题意，可先求出∠CAB=30°，∠ACB=120°，由三角形内角和定理求出∠CBA，可知∠CAB=∠CBA，即可求得BC的长度；
（2）首先过点B作BD⊥l，垂足为D，先根据含30°角直角三角形的性质求出CD，再利用勾股定理即可求得答案．
17．【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 26.4 解直角三角形的应用 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（ ）.（参考数据：，）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，沿着坡角为30°的坡面爬行1000米的耗能为：
1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.
故答案为：B.
【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊锐角三角函数值计算即可.
2．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
3．（2023七下·长沙期中）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
解：如图：
由题意得： ∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，
∴∠EAB+∠ABF = 180°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°，
∵∠α是△ ACB 的一个外角，
∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°.
故答案为： B
【分析】根据题意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°， AE//BF，再由平行线的性质得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可.
4．（2023七下·清新期中）如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度：的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡长为米，到塔底的水平距离为米图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度约为米结果精确到米，参考数据：，，（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AB交过点D的水平面于点F，作CE⊥DF于点E，
由题意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE.
∵在Rt△CDE中，i=1：2.4，CD=26，
设CE=x，则ED=2.4x，
∴x2+(2.4x)2=262，
解得x=10，
∴BF=CE=10，ED=24.
∵∠AFD=90°，FD=EF+ED=33，∠ADF=53°，
∴AF=FD·tan53°=33×=44，
∴AB=AF-BF=44-10=34.
故答案为：C.
【分析】延长AB交过点D的水平面于点F，作CE⊥DF于点E，由题意可得：CD=26，BC=EF=9，BF=CE，设CE=x，则ED=2.4x，利用勾股定理可得x的值，然后求出ED、FD，利用三角函数的概念可得AF，然后根据AB=AF-BF进行计算.
5．（2023·南充）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AC=，
故答案为：B
【分析】直接运用解直角三角形的知识即可求解。
6．（2023·官渡）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥CB于点C，如图所示：
∴，
∵AB=100，
∴AC=，
故答案为：A.
【分析】过点A作AC⊥CB于点C，根据解直角三角形即可求解。
7．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D． cm
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵tan15°= ．
∴木桩上升了6tan15°cm．
故选C．
【分析】运用三角函数定义求解．
8．（2023八下·洪山期中）如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ）
A．海里 B．海里 C．2海里 D．2海里
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题可知：，
∴海里，
故答案为：D.
【分析】由题意可得：∠BOA=90°，OB=2，OA=4，然后利用勾股定理进行计算.
二、填空题
9．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为 （m）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，
∴BC=6，
∴迎水坡AB的长为（m）.
故答案为： .
【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。
10．（2023·黄冈模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据：）
【答案】12.7
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
设AD=CD=x，
则BD=AB-AD=20-x，
在Rt△CBD中，∵，
∴，
∴x≈12.7.
故答案 为：12.7.
【分析】易得△ADC是等腰直角三角形，则CD=AD，设AD=CD=x，则BD=AB-AD=20-x，在Rt△CBD中，利用∠B的正切函数建立方程，求解即可.
11．（2023·泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）
【答案】55
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=50°，AC=xm，由得：
在Rt△BEF中，EF=AD=AC+CD=（x+60）m，∠BEF=26.6°，
由得：
又由题意知AF=DE=2m，AB=AF+BF，
∴1.2x=2+0.5（x+60），解方程，得：，所以AB=1.2x≈55.
故第1空答案为：55.
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，分别解Rt△ABC和Rt△BEF，得出AB和BF（用含有x的表达式），又AF=DE=2，根据AB=AF+BF，列出方程，解方程，即可解决问题。
12．（2023·济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得四边形CANM、四边形CABD、四边形DBNM为矩形，
∴DC=BA=30，CA=NM=1，
由题意得∠DCE=30°，∠MDE=60°，
∴∠CED=30°=∠DCE，
∴DC=DE=30，
∴，
解得，
∴EN=m，
故答案为：
【分析】先根据题意结合矩形的性质即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，进而根据题意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，从而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再运用解直角三角形的知识即可求出ME，进而即可得到EN。
13．（2023·广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：，，）
【答案】21
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ADC=90°，
∴即；
即，
∴AB=2AD=8，
∴ 共需钢材约2AC +CD+AB=2×5+3+8=21.
故答案为：21
【分析】利用等腰三角形的性质可得到AD=BD，∠ADC=90°，利用解直角三角形分别求出AC，AD的长，可得到AB的长，然后求出2AC +CD+AB的值.
三、解答题
14．（2023·台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，．黑板上投影图像的高度，CB与AB的夹角，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）
【答案】解：在Rt△ABC中，，，，
∴
．
∴AC的长约为80cm．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】直接利用∠B的正切函数可求出AC的长.
15．（2023·营口）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）
【答案】如图，过B点作于点D，
根据题意有：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵在中，，（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
即（米），
答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过B点作BD⊥AC于点D，根据题意有∠BAS=20°，∠ACN=25°，∠BCN=55°，则∠BCA=∠BCN-∠ACN=30°，∠SAD=∠ACN=25°，∠BAD=∠SAB+∠SAD=45°，推出△ABD为等腰直角三角形，得到AD=BD=AB，由三角函数的概念可得BC、CD，由AC=AD+DC求出AC，然后求出AC-BC的值即可.
四、综合题
16．（2023八下·江门期末）如图，一条笔直的公路l经过博物馆A和公园C，现要进一步开发景区B，经测量，景区B位于博物馆A的北偏东60°方向上、位于公园C的北偏东30方向上，且AC=16km
（1）求公园C与景区B的距离；
（2）为了方便游客到景区B游玩，景区管委会准备由景区B向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求这条最短公路的长.(结果保留根号)
【答案】（1）解：根据题意得：∠CAB=30°，∠ACB= 90° + 30°= 120°，
∴∠ABC= 180°- 30°- 120°= 30° ，
∴∠CAB=∠CBA，
∴BC= AC= 16(km).
答：景区B到公园C的距离为16km；
（2）解：过点B作BD⊥l，垂足为D，则BD的长是这条最短公路的长.
∵BD⊥l，
∴∠ADB = 90°，
∴∠BCD= 30°+ 30°= 60°，∠CBD= 90°- 60° = 30°，
答： 这条最短公路的长为 .
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 （1）根据题意，可先求出∠CAB=30°，∠ACB=120°，由三角形内角和定理求出∠CBA，可知∠CAB=∠CBA，即可求得BC的长度；
（2）首先过点B作BD⊥l，垂足为D，先根据含30°角直角三角形的性质求出CD，再利用勾股定理即可求得答案．
17．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
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