2023-2024学年初中数学九年级上册 27.1 反比例函数 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022九上·莱州期末）下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】∵中没有说明k≠0，不符合题意；
∵中，x的指数为2，不是1，不符合题意；
∵中，分母不是单项式x，是多项式2x+1，不符合题意；
∵即，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可。
2．（2022九上·临淄期中）已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴，
解得m=-2，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义可得，再求出m的值即可。
3．（2022·朝阳模拟）用绳子围成周长为10m的正x边形，记正x边形的边长为ym，内角和为．当x在一定范围内变化时，y和S都随着x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．一次函数关系，反比例函数关系
C．反比例函数关系，二次函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】D
【知识点】列反比例函数关系式；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：边长与周长的关系为：，反比例函数，
多边形的边长每增加1，内角和增加180°，
故其中的函数关系为：，
化简后为：，一次函数关系，
故答案为：D．
【分析】根据正多边形的边长乘以边数，即得周长；由于多边形的边长每增加1，内角和增加180°，可得，再判断即可.
4．若反比例函数 中， 与 的值相等， 则这个相等的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵在反比例函数y=中，x=y，
∴x2=2，
∴x=y=±.
故答案为：B.
【分析】将x=y代入反比例函数解析式中，得x2=2，再开方即可求得x=y的值.
5．若变量y与x成反比例，变量x又与z成反比例，则y与z的关系是（ ）
A．成反比例 B．成正比例
C．y与x2成正比例 D．y与z2成反比例
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；正比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵变量y与x成反比例，变量x又与z成反比例，
∴设y＝①，x＝②（k1、k2≠0），
∴把②代入①得，y＝=，
∴y与z成正比例．
故答案为：B.
【分析】根据题意设y＝①，x＝②（k1、k2≠0），把②代入①得y＝，再根据正比例函数的定义判断即可．
6．（2017·瑞安模拟）如图，反比例函数 的图象与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，若OC=2BD，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】过点CCE垂直于x轴，垂足为点E，过点D作DF垂直于x轴，垂足为F，设OC=2x，则BD=x，在直角三角形OCE中容易求得点C坐标为（x，x），在直角三角形BDF中易得点D的坐标为（5-x，x），将C，D两点的坐标代入函数解析式可以求得x=2，故k=4.
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，根据相关条件把C，D两点坐标代入函数解析式，然后建立方程即可解除x值代入求出k值。
7．下列问题中，两个变量成反比例的是 （ ）
A．长方形的周长确定，它的长与宽；
B．长方形的长确定，它的周长与宽；
C．长方形的面积确定，它的长与宽；
D．长方形的长确定，它的面积与宽．
【答案】C
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的定义解答．例如：在本题中，长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据反比例的概念应该是长和宽成反比例；长方形的周长=2×（长+宽)，即长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例．
【解答】A、长方形的周长=2×（长+宽)，即长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例．故本选项错误；
B、长方形的周长=2×（长+宽)，所以，长=-宽，即周长的一半长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是周长和宽成正比例．故本选项错误；
C、长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据反比例的概念应该是长和宽成反比例；故本选项正确；
D、长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例；故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广．反比例函数解析式的一般形式（k≠0)，也可转化为y=kx-1（k≠0)的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
二、填空题
8．（2023·峨眉山模拟）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
【答案】
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的度数为k′，
由题意可得BP k＝PA a，B′P k′＝PA a，
∴BP k＝B′P k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝
故答案为：
【分析】根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”分别列式，从而代入计算．
9．（2023·静安模拟）已知，那么 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数的定义，代入求值即可求解。
10．王华和王强同学在合作电学实验时，记录下电流 (A)与电阻 有如下对应关系.观察下表.
R … 2 4 8 10 16 …
… 16 8 4 3.2 2 …
你认为 与 间的函数关系式为 ；当电阻 时，电流 A.
【答案】；6.4
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由表格中R与I的对应值可知，I·R＝32，
∴I＝，
∴当R＝5时，I＝＝6.4（A）．
故答案为：I＝，6.4．
【分析】观察表格可知：I·R＝32，为定值，由此可知I与R为反比关系，即I＝，再把R＝5代入解析式中，求得I即可解决问题.
11．油箱注满 升油后，轿车可行驶的总路程 (单位：千米)与平均耗油量 (单位：升/千米)之间是反比例函数关系 ( 是常数， .已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米.则该轿车可行驶的总路程 与平均耗油量 之间的函数关系式为 .
【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
k=0.1×700=70，
∴s与t的函数解析式为.
故答案为：.
【分析】利用已知以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米，将a=0.1，S=700代入求出k的值，即可得到函数解析式.
三、解答题
12．（2022·来安模拟）甲工程队新建公路，每名工人每天工作8小时，则甲工程队每天可完成600米新建公路．乙工程队比甲工程队少10名工人，每名工人每天工作10小时，则乙工程队每天可完成500米新建公路，假定甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同，求乙工程队的工人有多少名？
【答案】解：设乙工程队的工人有x名，由题意得
，
解得，经检验是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙工程队的工人有20名．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】根据题意中工作量相同设方程，解出方程，检验得到答案
13．（2020九上·舒兰期末）设面积为 的平行四边形的一边长为 ，这条边上的高为 ．求 关于 的函数解析式(写出自变量 的取值范围)并求当 时， 的值．
【答案】解：根据题意，得 ( )；
当 时， ， ．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】根据平行四边形的面积公式，直接写出函数解析式即可，然后代入求值即可.
四、综合题
14．（2023八下·南浔期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，，，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．
（1）当时，求k的值及点E的坐标；
（2）连接OC，CE，OE．
①若的面积为，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵正方形ABCD，，
∴，
∵，
当时，
∴，，
∴；
∴，
令，则
∴；
（2）解：①，，
∴，，，
∴
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
②由①知，，
∴，，，
当时，，
∴
化简整理，得，
解得：，（舍去）
∴存在，当时，．
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形ABCD，，得，当时，表示出A和C的坐标，将C的坐标代入函数关系式，解出k，令x=-8，求出y，即为E的坐标；
（2）①表示出A、B、C的坐标，求得k=-4m，再求出E的坐标，根据解出m，得到C的坐标和k的值；
②根据勾股定理，计算CE，当时，，将数据代入求得m的值.
15．已知水池的容量一定，当每小时的灌水量 时，溸满水池所需的时间为 .
（1）写出每小时灌水量q与灌满水池所需时间t之间的函数关系式及t的取值范围；
（2）当灌满水池需要8h时，求每小时的灌水量.
【答案】（1）解：蓄水池的容量为：3×12＝36m3，
∴q与t的函数关系式为q＝（t＞0），
∴灌水量q与灌满水池所需的时间t的函数关系式为q＝（t＞0）；
（2）解：当t＝8时，q＝＝4.5m3/h．
∴当灌满水池所需8小时时，每小时的灌水量为4.5m3．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）根据当每小时的灌水量为q＝3m3/h，灌满水池所需的时间为t＝12小时，可计算出蓄水池的容量36m3，再根据灌水量＝蓄水池容量÷灌满水池的时间，即可得出q与t之间的函数关系式及t的取值范围；
（2）将t＝8代入（1）的函数关系式中，求出q值，即可解决问题.
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一、选择题
1．（2022九上·莱州期末）下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·临淄期中）已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数
3．（2022·朝阳模拟）用绳子围成周长为10m的正x边形，记正x边形的边长为ym，内角和为．当x在一定范围内变化时，y和S都随着x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．一次函数关系，反比例函数关系
C．反比例函数关系，二次函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
4．若反比例函数 中， 与 的值相等， 则这个相等的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．若变量y与x成反比例，变量x又与z成反比例，则y与z的关系是（ ）
A．成反比例 B．成正比例
C．y与x2成正比例 D．y与z2成反比例
6．（2017·瑞安模拟）如图，反比例函数 的图象与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，若OC=2BD，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列问题中，两个变量成反比例的是 （ ）
A．长方形的周长确定，它的长与宽；
B．长方形的长确定，它的周长与宽；
C．长方形的面积确定，它的长与宽；
D．长方形的长确定，它的面积与宽．
二、填空题
8．（2023·峨眉山模拟）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
9．（2023·静安模拟）已知，那么 ．
10．王华和王强同学在合作电学实验时，记录下电流 (A)与电阻 有如下对应关系.观察下表.
R … 2 4 8 10 16 …
… 16 8 4 3.2 2 …
你认为 与 间的函数关系式为 ；当电阻 时，电流 A.
11．油箱注满 升油后，轿车可行驶的总路程 (单位：千米)与平均耗油量 (单位：升/千米)之间是反比例函数关系 ( 是常数， .已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米.则该轿车可行驶的总路程 与平均耗油量 之间的函数关系式为 .
三、解答题
12．（2022·来安模拟）甲工程队新建公路，每名工人每天工作8小时，则甲工程队每天可完成600米新建公路．乙工程队比甲工程队少10名工人，每名工人每天工作10小时，则乙工程队每天可完成500米新建公路，假定甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同，求乙工程队的工人有多少名？
13．（2020九上·舒兰期末）设面积为 的平行四边形的一边长为 ，这条边上的高为 ．求 关于 的函数解析式(写出自变量 的取值范围)并求当 时， 的值．
四、综合题
14．（2023八下·南浔期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，，，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．
（1）当时，求k的值及点E的坐标；
（2）连接OC，CE，OE．
①若的面积为，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
15．已知水池的容量一定，当每小时的灌水量 时，溸满水池所需的时间为 .
（1）写出每小时灌水量q与灌满水池所需时间t之间的函数关系式及t的取值范围；
（2）当灌满水池需要8h时，求每小时的灌水量.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】∵中没有说明k≠0，不符合题意；
∵中，x的指数为2，不是1，不符合题意；
∵中，分母不是单项式x，是多项式2x+1，不符合题意；
∵即，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴，
解得m=-2，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义可得，再求出m的值即可。
3．【答案】D
【知识点】列反比例函数关系式；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：边长与周长的关系为：，反比例函数，
多边形的边长每增加1，内角和增加180°，
故其中的函数关系为：，
化简后为：，一次函数关系，
故答案为：D．
【分析】根据正多边形的边长乘以边数，即得周长；由于多边形的边长每增加1，内角和增加180°，可得，再判断即可.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵在反比例函数y=中，x=y，
∴x2=2，
∴x=y=±.
故答案为：B.
【分析】将x=y代入反比例函数解析式中，得x2=2，再开方即可求得x=y的值.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；正比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵变量y与x成反比例，变量x又与z成反比例，
∴设y＝①，x＝②（k1、k2≠0），
∴把②代入①得，y＝=，
∴y与z成正比例．
故答案为：B.
【分析】根据题意设y＝①，x＝②（k1、k2≠0），把②代入①得y＝，再根据正比例函数的定义判断即可．
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】过点CCE垂直于x轴，垂足为点E，过点D作DF垂直于x轴，垂足为F，设OC=2x，则BD=x，在直角三角形OCE中容易求得点C坐标为（x，x），在直角三角形BDF中易得点D的坐标为（5-x，x），将C，D两点的坐标代入函数解析式可以求得x=2，故k=4.
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，根据相关条件把C，D两点坐标代入函数解析式，然后建立方程即可解除x值代入求出k值。
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的定义解答．例如：在本题中，长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据反比例的概念应该是长和宽成反比例；长方形的周长=2×（长+宽)，即长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例．
【解答】A、长方形的周长=2×（长+宽)，即长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例．故本选项错误；
B、长方形的周长=2×（长+宽)，所以，长=-宽，即周长的一半长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是周长和宽成正比例．故本选项错误；
C、长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据反比例的概念应该是长和宽成反比例；故本选项正确；
D、长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例；故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广．反比例函数解析式的一般形式（k≠0)，也可转化为y=kx-1（k≠0)的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
8．【答案】
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的度数为k′，
由题意可得BP k＝PA a，B′P k′＝PA a，
∴BP k＝B′P k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝
故答案为：
【分析】根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”分别列式，从而代入计算．
9．【答案】
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数的定义，代入求值即可求解。
10．【答案】；6.4
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由表格中R与I的对应值可知，I·R＝32，
∴I＝，
∴当R＝5时，I＝＝6.4（A）．
故答案为：I＝，6.4．
【分析】观察表格可知：I·R＝32，为定值，由此可知I与R为反比关系，即I＝，再把R＝5代入解析式中，求得I即可解决问题.
11．【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
k=0.1×700=70，
∴s与t的函数解析式为.
故答案为：.
【分析】利用已知以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米，将a=0.1，S=700代入求出k的值，即可得到函数解析式.
12．【答案】解：设乙工程队的工人有x名，由题意得
，
解得，经检验是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙工程队的工人有20名．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】根据题意中工作量相同设方程，解出方程，检验得到答案
13．【答案】解：根据题意，得 ( )；
当 时， ， ．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】根据平行四边形的面积公式，直接写出函数解析式即可，然后代入求值即可.
14．【答案】（1）解：∵正方形ABCD，，
∴，
∵，
当时，
∴，，
∴；
∴，
令，则
∴；
（2）解：①，，
∴，，，
∴
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
②由①知，，
∴，，，
当时，，
∴
化简整理，得，
解得：，（舍去）
∴存在，当时，．
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形ABCD，，得，当时，表示出A和C的坐标，将C的坐标代入函数关系式，解出k，令x=-8，求出y，即为E的坐标；
（2）①表示出A、B、C的坐标，求得k=-4m，再求出E的坐标，根据解出m，得到C的坐标和k的值；
②根据勾股定理，计算CE，当时，，将数据代入求得m的值.
15．【答案】（1）解：蓄水池的容量为：3×12＝36m3，
∴q与t的函数关系式为q＝（t＞0），
∴灌水量q与灌满水池所需的时间t的函数关系式为q＝（t＞0）；
（2）解：当t＝8时，q＝＝4.5m3/h．
∴当灌满水池所需8小时时，每小时的灌水量为4.5m3．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）根据当每小时的灌水量为q＝3m3/h，灌满水池所需的时间为t＝12小时，可计算出蓄水池的容量36m3，再根据灌水量＝蓄水池容量÷灌满水池的时间，即可得出q与t之间的函数关系式及t的取值范围；
（2）将t＝8代入（1）的函数关系式中，求出q值，即可解决问题.
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