2023-2024学年初中数学九年级上册 27.2 反比例函数的图像与性质 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·泰安）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·嘉兴期末）如图，在第一象限内，点A是一次函数图象上一动点，点B，C的坐标分别是，，若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·杭州期末）已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2023八下·海曙期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·柯桥期末）如图，已知正方形的面积为9．它的两个顶点，是反比例函数（，）的图象上两点，若点的坐标是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2023八下·余姚期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
8．（2023·张家界）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2023八下·东阳期末）若点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
10．（2023八下·杭州期末）已知一次函数和反比例函数的图象同时经过点，则的值是 ．
11．（2023八下·宁波期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为 ；②当平分时，正方形的面积为 ．
12．（2023八下·余姚期末）如图，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的中点D和顶点C，若菱形的面积为，则点C的坐标为 ．
13．（2023·本溪）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
三、解答题
14．（2022九上·通川月考）已知点p（m，n）是反比例函数图象上一动点，且m≠n，将代数式化简并求值.
15．（2022九上·潜山月考）已知，其中与成反比例，与成正比，且当时；当时，，求关于的函数解析式．
四、综合题
16．（2023八下·德清期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k>0，k为常数，x>0)的图象经过正方形ABCO的顶点B，点A的坐标是(0，1).点D在线段OA上，点E在射线OC上，以BD，DE为边的平行四边形BDEF的顶点F恰好在该反比例函数的图象上
（1）求k的值：
（2）若点D的坐标是(0，)，求点E的坐标：
（3）如图2，当点E在OC的延长线上时，连结BE若BD⊥BE，BD=BE.求点D的坐标.
17．（2023·泰安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、根据直线的位置可以判断a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴双曲线的两个分支应该在第一、三象限，所以A不符合题意；
B、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以B不符合题意；
C、根据直线的位置可以判断a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以C不符合题意；
D、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】对于每个选项，首先根据直线的位置，判断a、b的正负，从而得出ab的正负，然后判断出双曲线的位置，选择与与图象一致的选项即可。
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A在一次函数y=x的图象上，
∴可设A（a，a）.
∵四边形ABCD为平行四边形，B（b，1），C（b+1，2），
∴点B向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到点C，
∴D（a+1，a+1）.
∵点A、D分别在y=、y=的图象上，
∴a2=k1，(a+1)2=k2，
∴=a，=a+1，
∴-=1，为定值.
故答案为：D.
【分析】由题意可设A（a，a），根据平行四边形的性质以及点的平移规律可得D（a+1，a+1），由点A、D分别在y=、y=的图象上可得a2=k1，(a+1)2=k2，然后表示出，，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵k＞0，
∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大减小.
A、若x1x3＜0，则x1＜0，x3＞0，即 在第三象限， 在第一象限，
∴当 在第三象限，y2＜y3，当 在第一象限，y2＞y3
故A错误；
B、若x2x3＜0，则x2＜0，x3＞0，即 在第三象限， 在第一象限，
∵
∴ 在第三象限
∴y1＜0，y3＞0，即y1y3＜0
故B错误；
C、若x1x3＞0，则 或 ，即 ， 都在第一象限或都在第三象限，
∵在每个象限内y随x的增大减小
∴y2＞y3
故C正确；
D、若x2x3＞0，则x1＜x2＜x3＜0或x1＜0＜x2＜x3或0＜x1＜x2＜x3，因此 ， 可能都在第一象限或都在第三象限或在第三象限在第一象限，
∴y1y3＜0或y1y3＞0
故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用 ，结合各选项中的条件，判断A，B，C所处的象限，结合反比例函数图象的性质进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，m2+1>0，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴点A（-3，y1）、B（-2，y2）在第三象限，点C（4，y3）在第一象限.
∵-3<-2，
∴y2故答案为：D.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：正方形的面积为9，
，，
点的坐标是，
，
点，是反比例函数的图象上两点，
，
，
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质通过点D坐标表示出点B坐标，再利用反比例函数上点坐标的特征得到m、n的关系.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
在图象所在的每一个象限内，随的增大而增大，
，
故答案为：C.
【分析】对于反比例函数，当k>0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，
∴OA=CB，AB=OC，
设点B的坐标为（m，n），
∵反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，
∴延长MO，且经过点B，如图所示：
∴M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
∴，
解得mn=16，
∴k=4，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质即可得到OA=CB，AB=OC，设点B的坐标为（m，n），进而根据题意延长MO，且经过点B，进而得到M，再结合题意得到点D的坐标，进而得到BD的长，从而根据三角形的面积得到，进而得到，再根据求出mn即可求解。
9．【答案】y1＜y3＜y2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴点A位于第三象限，B、C位于第一象限.
∵2<3，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：y1＜y3＜y2.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
10．【答案】9
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点（m，n）在一次函数和反比例函数的图象上
∴n=-m+5，n=
∴m+n=5，mn=4
∴m+mn+n=m+n+mn=5+4=9.
故答案为：9.
【分析】 由一次函数和反比例函数的图象同时经过点 ，将m，n代入一次函数和反比例函数解析式，然后整理可得m+n=5，mn=4，然后代入m+mn+n即可求解.
11．【答案】；12
【知识点】反比例函数的图象；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OC=OD，∠AOD=90°，∠OAD=45°.
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AMO=∠OND=90°.
∵∠AOM+∠DON=90°，∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠DON=∠OAM，
∴△AOM≌△ODN（AAS），
∴OM=DN，AM=ON.
①将A（1，m）代入y=中可得m=，
∴A（1，），
∴OM=DN=1，AM=ON=，
∴D（，-1）.
②作EF⊥OA于点F，
∵CE平分∠ACD，
∴ED=EF.
∵Rt△AEF中，∠OAD=45°，
∴AE=EF，
∴AE=ED.
∵∠AME=∠DNE=90°，∠AEM=∠DEN，
∴△AME∽△DNE，
∴.
∵OM=DN，
∴.
设OM=x，则AM=x.
∵点A在y=上，
∴x·x.=，
∴x=，
∴OA=，AC=，OD=，
∴S正方形ABCD=×××2=12.
故答案为：（，-1），12.
【分析】连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，由正方形的性质可得OA=OC=OD，∠AOD=90°，∠OAD=45°，根据同角的余角相等可得∠DON=∠OAM，利用AAS证明△AOM≌△ODN，得到OM=DN，AM=ON，将A（1，m）代入y=中可得m的值，据此可得点A的坐标，进而可得DN、ON的值，据此可得点D的坐标；作EF⊥OA于点F，由角平分线的性质可得ED=EF，由勾股定理可得AE=EF，则AE=ED，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△AME∽△DNE，设OM=x，则AM=x，由点A在y=上可得x的值，然后求出OA、AC、OD的值，据此求解.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作轴，
点在 的图象上，
设，
点是的中点，
，
四边形是菱形，
轴，，
点在 的图象上，
，
，
，
轴，
，，
菱形的面积为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】设，利用中点公式表示出点B的坐标，再通过平行的性质表示出点C坐标，进而得到BC的长度，然后由菱形的面积公式求得k的值，最后利用两点之间的距离公式列方程解得a的值得到点C的坐标.
13．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥y轴，交y轴于点E，作DA⊥x轴于点F.
∵DA∥EO，∴△CDA∽△CEO
∴
即
∴S△CEO=9
∴S四边形ADEO=S△CEO-S△CDA=5
又∵CD∥OF，∴△CDA∽△OFA
∴
即
∴S△OFA=1
∴S矩形OFDE=5+1=6
根据k的几何意义，当k＞时，k=S矩形OFDE=6，
因此本题答案为：6.
【分析】利用AC=2OA的数量关系，可以得到CA∶CO=3：1.通过添加辅助线，利用平行关系和面积的已知条件，建立A字全等△CDA∽△CEO，和8字全等△CDA∽△OFA，从而得到矩形OFDE的面积.最后利用k的几何意义求解.
14．【答案】解：∵点p（m，n）是反比例函数图象上一动点，
∴mn＝2，
∵m≠n，
∴m-n≠0，
＝＝1.
【知识点】分式的化简求值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积等于定值k可得 mn＝2，根据题意可得m-n≠0， 再通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除法转变为乘法，进而约分化简，最后整体代入即可算出答案.
15．【答案】解：∵与成反比例，与成正比，
∴设，，
∴，
∵当时；当时，，
∴，
解得：，
∴，
即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】根据正比例及反比例可设 ，，即得，然后将当时；当时，代入解析式中求出k1、k2的值，即得解析式.
16．【答案】（1）解：∵四边形ABCO是正方形，点A的坐标是(0，1)
∴OA=OC= 1
即点B的坐标是(1，1)
∴k=1
（2）解：过点F作FG⊥x轴于点G，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠BAD=∠EGF=90°，AO// BC// FG
∴∠1=∠2，∠4=∠3，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BD// EF， BD=EF
∴∠2=∠3，
∴∠4=∠1，
∴△BAD≌△EGF (AAS)
当 时， ， 解得
即点的坐标
（3）解：过点F作FG⊥x轴于点G，
易证△BAD≌△BCE≌△EGF
则AB=BC=EG=1， AD=CE=FG
设AD=a，则F (2+a， a)
代入反比例函数得(2+a) a=1
解得 (舍去)
即点的坐标
【知识点】反比例函数的性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标结合正方形的性质可得OA=OC=1，据此可得点B的坐标，然后代入y=中就可求出k的值；
（2）过点F作FG⊥x轴于点G，由正方形的性质可得∠BAD=∠EGF=90°，AO// BC// FG，根据平行线的性质可得∠1=∠2，∠4=∠3，由平行四边形的性质可得BD// EF， BD=EF，则∠2=∠3，进而推出∠4=∠1，利用AAS证明△BAD≌△EGF，得到FG=AD=，EG=AB=1，令反比例函数解析式中的y=，求出x的值，即为OG，然后求出OE的值，进而可得点E的坐标；
（3）过点F作FG⊥x轴于点G，易证△BAD≌△BCE≌△EGF，则AB=BC=EG=1， AD=CE=FG，设AD=a，则F (2+a， a)，代入反比例函数解析式中可得a的值，然后求出OD，据此可得点D的坐标.
17．【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）由（1）知：y1=-2x+2与在第二象限相较于点A（-1，4），∴在第二象限内，当y1＜y2时，-1＜x＜0.
【分析】（1）先根据点A在直线y1=-2x+2上，求得点A的坐标，再根据点A在上，求得k的值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数在第二象限内的交点坐标，结合函数图象，直接写出x的取值范围即可；
（3）因为点P在X轴上，所以纵坐标为0，要求点P的横坐标，只需求出PO的长度即可。如图，过A作AM⊥x轴于点M， 根据点D是直线y1=-2x+2与x轴的交点，可求得点D的坐标，从而得出OD的长度为1，又OM=OE=1，所以BM=2，根据两点间的距离公式可求得AD的长，然后根据， 可以得出PD的长度。PD-DO是PO的长度，根据点P所在的位置，确定横坐标的正负即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 27.2 反比例函数的图像与性质 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·泰安）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、根据直线的位置可以判断a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴双曲线的两个分支应该在第一、三象限，所以A不符合题意；
B、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以B不符合题意；
C、根据直线的位置可以判断a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以C不符合题意；
D、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】对于每个选项，首先根据直线的位置，判断a、b的正负，从而得出ab的正负，然后判断出双曲线的位置，选择与与图象一致的选项即可。
2．（2023八下·嘉兴期末）如图，在第一象限内，点A是一次函数图象上一动点，点B，C的坐标分别是，，若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A在一次函数y=x的图象上，
∴可设A（a，a）.
∵四边形ABCD为平行四边形，B（b，1），C（b+1，2），
∴点B向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到点C，
∴D（a+1，a+1）.
∵点A、D分别在y=、y=的图象上，
∴a2=k1，(a+1)2=k2，
∴=a，=a+1，
∴-=1，为定值.
故答案为：D.
【分析】由题意可设A（a，a），根据平行四边形的性质以及点的平移规律可得D（a+1，a+1），由点A、D分别在y=、y=的图象上可得a2=k1，(a+1)2=k2，然后表示出，，据此判断.
3．（2023八下·杭州期末）已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵k＞0，
∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大减小.
A、若x1x3＜0，则x1＜0，x3＞0，即 在第三象限， 在第一象限，
∴当 在第三象限，y2＜y3，当 在第一象限，y2＞y3
故A错误；
B、若x2x3＜0，则x2＜0，x3＞0，即 在第三象限， 在第一象限，
∵
∴ 在第三象限
∴y1＜0，y3＞0，即y1y3＜0
故B错误；
C、若x1x3＞0，则 或 ，即 ， 都在第一象限或都在第三象限，
∵在每个象限内y随x的增大减小
∴y2＞y3
故C正确；
D、若x2x3＞0，则x1＜x2＜x3＜0或x1＜0＜x2＜x3或0＜x1＜x2＜x3，因此 ， 可能都在第一象限或都在第三象限或在第三象限在第一象限，
∴y1y3＜0或y1y3＞0
故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用 ，结合各选项中的条件，判断A，B，C所处的象限，结合反比例函数图象的性质进行判断即可.
4．（2023八下·海曙期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，m2+1>0，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴点A（-3，y1）、B（-2，y2）在第三象限，点C（4，y3）在第一象限.
∵-3<-2，
∴y2故答案为：D.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
5．（2023八下·柯桥期末）如图，已知正方形的面积为9．它的两个顶点，是反比例函数（，）的图象上两点，若点的坐标是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：正方形的面积为9，
，，
点的坐标是，
，
点，是反比例函数的图象上两点，
，
，
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质通过点D坐标表示出点B坐标，再利用反比例函数上点坐标的特征得到m、n的关系.
6．（2023八下·余姚期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：如图，
，
在图象所在的每一个象限内，随的增大而增大，
，
故答案为：C.
【分析】对于反比例函数，当k>0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大.
7．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
8．（2023·张家界）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，
∴OA=CB，AB=OC，
设点B的坐标为（m，n），
∵反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，
∴延长MO，且经过点B，如图所示：
∴M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
∴，
解得mn=16，
∴k=4，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质即可得到OA=CB，AB=OC，设点B的坐标为（m，n），进而根据题意延长MO，且经过点B，进而得到M，再结合题意得到点D的坐标，进而得到BD的长，从而根据三角形的面积得到，进而得到，再根据求出mn即可求解。
二、填空题
9．（2023八下·东阳期末）若点A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
【答案】y1＜y3＜y2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴点A位于第三象限，B、C位于第一象限.
∵2<3，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：y1＜y3＜y2.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
10．（2023八下·杭州期末）已知一次函数和反比例函数的图象同时经过点，则的值是 ．
【答案】9
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点（m，n）在一次函数和反比例函数的图象上
∴n=-m+5，n=
∴m+n=5，mn=4
∴m+mn+n=m+n+mn=5+4=9.
故答案为：9.
【分析】 由一次函数和反比例函数的图象同时经过点 ，将m，n代入一次函数和反比例函数解析式，然后整理可得m+n=5，mn=4，然后代入m+mn+n即可求解.
11．（2023八下·宁波期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为 ；②当平分时，正方形的面积为 ．
【答案】；12
【知识点】反比例函数的图象；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OC=OD，∠AOD=90°，∠OAD=45°.
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AMO=∠OND=90°.
∵∠AOM+∠DON=90°，∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠DON=∠OAM，
∴△AOM≌△ODN（AAS），
∴OM=DN，AM=ON.
①将A（1，m）代入y=中可得m=，
∴A（1，），
∴OM=DN=1，AM=ON=，
∴D（，-1）.
②作EF⊥OA于点F，
∵CE平分∠ACD，
∴ED=EF.
∵Rt△AEF中，∠OAD=45°，
∴AE=EF，
∴AE=ED.
∵∠AME=∠DNE=90°，∠AEM=∠DEN，
∴△AME∽△DNE，
∴.
∵OM=DN，
∴.
设OM=x，则AM=x.
∵点A在y=上，
∴x·x.=，
∴x=，
∴OA=，AC=，OD=，
∴S正方形ABCD=×××2=12.
故答案为：（，-1），12.
【分析】连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，由正方形的性质可得OA=OC=OD，∠AOD=90°，∠OAD=45°，根据同角的余角相等可得∠DON=∠OAM，利用AAS证明△AOM≌△ODN，得到OM=DN，AM=ON，将A（1，m）代入y=中可得m的值，据此可得点A的坐标，进而可得DN、ON的值，据此可得点D的坐标；作EF⊥OA于点F，由角平分线的性质可得ED=EF，由勾股定理可得AE=EF，则AE=ED，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△AME∽△DNE，设OM=x，则AM=x，由点A在y=上可得x的值，然后求出OA、AC、OD的值，据此求解.
12．（2023八下·余姚期末）如图，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的中点D和顶点C，若菱形的面积为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作轴，
点在 的图象上，
设，
点是的中点，
，
四边形是菱形，
轴，，
点在 的图象上，
，
，
，
轴，
，，
菱形的面积为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】设，利用中点公式表示出点B的坐标，再通过平行的性质表示出点C坐标，进而得到BC的长度，然后由菱形的面积公式求得k的值，最后利用两点之间的距离公式列方程解得a的值得到点C的坐标.
13．（2023·本溪）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥y轴，交y轴于点E，作DA⊥x轴于点F.
∵DA∥EO，∴△CDA∽△CEO
∴
即
∴S△CEO=9
∴S四边形ADEO=S△CEO-S△CDA=5
又∵CD∥OF，∴△CDA∽△OFA
∴
即
∴S△OFA=1
∴S矩形OFDE=5+1=6
根据k的几何意义，当k＞时，k=S矩形OFDE=6，
因此本题答案为：6.
【分析】利用AC=2OA的数量关系，可以得到CA∶CO=3：1.通过添加辅助线，利用平行关系和面积的已知条件，建立A字全等△CDA∽△CEO，和8字全等△CDA∽△OFA，从而得到矩形OFDE的面积.最后利用k的几何意义求解.
三、解答题
14．（2022九上·通川月考）已知点p（m，n）是反比例函数图象上一动点，且m≠n，将代数式化简并求值.
【答案】解：∵点p（m，n）是反比例函数图象上一动点，
∴mn＝2，
∵m≠n，
∴m-n≠0，
＝＝1.
【知识点】分式的化简求值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积等于定值k可得 mn＝2，根据题意可得m-n≠0， 再通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除法转变为乘法，进而约分化简，最后整体代入即可算出答案.
15．（2022九上·潜山月考）已知，其中与成反比例，与成正比，且当时；当时，，求关于的函数解析式．
【答案】解：∵与成反比例，与成正比，
∴设，，
∴，
∵当时；当时，，
∴，
解得：，
∴，
即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】根据正比例及反比例可设 ，，即得，然后将当时；当时，代入解析式中求出k1、k2的值，即得解析式.
四、综合题
16．（2023八下·德清期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(k>0，k为常数，x>0)的图象经过正方形ABCO的顶点B，点A的坐标是(0，1).点D在线段OA上，点E在射线OC上，以BD，DE为边的平行四边形BDEF的顶点F恰好在该反比例函数的图象上
（1）求k的值：
（2）若点D的坐标是(0，)，求点E的坐标：
（3）如图2，当点E在OC的延长线上时，连结BE若BD⊥BE，BD=BE.求点D的坐标.
【答案】（1）解：∵四边形ABCO是正方形，点A的坐标是(0，1)
∴OA=OC= 1
即点B的坐标是(1，1)
∴k=1
（2）解：过点F作FG⊥x轴于点G，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠BAD=∠EGF=90°，AO// BC// FG
∴∠1=∠2，∠4=∠3，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BD// EF， BD=EF
∴∠2=∠3，
∴∠4=∠1，
∴△BAD≌△EGF (AAS)
当 时， ， 解得
即点的坐标
（3）解：过点F作FG⊥x轴于点G，
易证△BAD≌△BCE≌△EGF
则AB=BC=EG=1， AD=CE=FG
设AD=a，则F (2+a， a)
代入反比例函数得(2+a) a=1
解得 (舍去)
即点的坐标
【知识点】反比例函数的性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标结合正方形的性质可得OA=OC=1，据此可得点B的坐标，然后代入y=中就可求出k的值；
（2）过点F作FG⊥x轴于点G，由正方形的性质可得∠BAD=∠EGF=90°，AO// BC// FG，根据平行线的性质可得∠1=∠2，∠4=∠3，由平行四边形的性质可得BD// EF， BD=EF，则∠2=∠3，进而推出∠4=∠1，利用AAS证明△BAD≌△EGF，得到FG=AD=，EG=AB=1，令反比例函数解析式中的y=，求出x的值，即为OG，然后求出OE的值，进而可得点E的坐标；
（3）过点F作FG⊥x轴于点G，易证△BAD≌△BCE≌△EGF，则AB=BC=EG=1， AD=CE=FG，设AD=a，则F (2+a， a)，代入反比例函数解析式中可得a的值，然后求出OD，据此可得点D的坐标.
17．（2023·泰安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）由（1）知：y1=-2x+2与在第二象限相较于点A（-1，4），∴在第二象限内，当y1＜y2时，-1＜x＜0.
【分析】（1）先根据点A在直线y1=-2x+2上，求得点A的坐标，再根据点A在上，求得k的值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数在第二象限内的交点坐标，结合函数图象，直接写出x的取值范围即可；
（3）因为点P在X轴上，所以纵坐标为0，要求点P的横坐标，只需求出PO的长度即可。如图，过A作AM⊥x轴于点M， 根据点D是直线y1=-2x+2与x轴的交点，可求得点D的坐标，从而得出OD的长度为1，又OM=OE=1，所以BM=2，根据两点间的距离公式可求得AD的长，然后根据， 可以得出PD的长度。PD-DO是PO的长度，根据点P所在的位置，确定横坐标的正负即可。
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