2023-2024学年初中数学九年级上册 27.3 反比例函数的应用 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·双流期末）如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·包头期末）已知反比例函数（k为常数）的图象经过点．如图，过点B作直线 与函数的图象交于点A，与x轴交于点C，且，过点A作直线，交x轴于点F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·紫金期末）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
4．（2023九上·通川期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～4的整数），函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．若曲线L使得T1～T4，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（ ）
A．8≤k≤12 B．8≤k＜12 C．8＜k≤12 D．8＜k＜12
5．（2023九上·扶沟期末）如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022九上·南海月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连结、，若的面积为，则的值为（ ）．
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
7．（2022九上·济南期中）木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，当压强不超过400 Pa时，木板的面积应（ ）
A．不大于1.5 m2 B．不小于1.5 m2
C．不大于m2 D．不小于m2
8．（2021九上·大渡口期末）如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 、 两点，点 在第一象限，点 在 轴正半轴上，连接 交反比例函数图象于点 ， 为 的平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，若 ， 的面积为8，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
9．（2023九上·通川期末）如图，正比例函数，一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中，若，则自变量的取值范围是 .
10．（2022九上·平谷期末）青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差 小时．
11．（2022九上·紫金期末）如图，在平面直角坐标系中，的边平行于轴，反比例函数的图象经过的中点和点.若的面积为9，则 .
12．（2023九上·崇左期末）如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为 .
13．（2022九上·温州开学考）函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，则以下4个结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③直线x＝1与y1，y2依次交于C，B两点，则BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
14．（2021九上·阳东期末）如图，一次函数y＝x+1的图像与反比例函数y的图像相交，其中一个交点的横坐标是2．求反比例函数的解析式．
15．（2021九上·吉林期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，求小慧所戴眼镜的度数降低了多少度．
四、综合题
16．（2023九上·礼泉期末）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知A点的坐标是(2，3)，BC=2.
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）点P为反比例函数y=m/x图象上的任意一点，若S_POC=3S_ABC，求点P的坐标.
17．（2023九上·双流期末）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接.已知与的面积满足.
（1）求的面积和的值；
（2）求直线的表达式；
（3）过点的直线分别交轴和轴于两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：观察图象可得，
当时，直线位于轴的上方、函数图象的下方，
不等式组的解是.
故答案为：B.
【分析】根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方，且在x轴上方部分所对应的x的范围即可.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵图象过点，代入，
∴， ，
∴反比例函数解析式为，
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴， 即 ，
∴．
∴把代入，
∴．
∴，
设直线解析式为， 把，代入解析式得，
，
解得： ，
∴直线解析式为，
当时，， 解得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【分析】由反比例函数的图象经过点B，直接利用待定系数法求解即可；过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，则，证出，得出点A的坐标，由，再利用相似三角形的性质即可得解。
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】由分析可知，当一次函数的图象在反比例函数的下方时，x的取值范围是 或 ；
故答案为：B。
【分析】 ，即y1＜y2，说明一次函数的图象在反比例函数的下方。
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），
∴当y＝（x＞0）过点T1（8，1），T4（2，4）时，k＝8，
当y＝（x＞0）过点T2（6，2），T3（4，3）时，k＝12，
∴若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是8＜k＜12．
故答案为：D．
【分析】由每个台阶的高和宽分别是1和2，可求出T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），再分别求出函数y＝（x＞0）过各点时k的值，即可得出k的取值范围．
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由储存室的体积公式知：，
故储存室的底面积S（）与其深度之间的函数关系式为为反比例函数.
故答案为：C.
【分析】根据储存室的体积=底面积×高可得s与h的函数关系式，由函数关系式是反比例函数，且自变量的取值为正数即可判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】设直线交轴于点，连接，
∴点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴点的坐标为：，
∴把点代入，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用求出，再求出点A的坐标，最后将点A的坐标代入求出k的值即可。
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为，将点代入，得，
，
解得：，
反比例函数关系式为，
当时，，
当压强不超过400 Pa时，木板的面积应不小于1.5 m2，
故答案为：B．
【分析】先求出反比例函数解析式，再将代入解析式求出，从而得解。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥AF于点G，
∵过原点的直线与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠OAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD//OE，
∴S△ACE=S△AOC，
∵AD=2DC
∴AC=3DC，
∵△ADE的面积为8，
∴S△ACE=S△AOC=12，
设点A（m， ），
∵AC=3DC，DH//AF，
∴3DH=AF，
∴D（3m， ），
∵CH//GD，AG//DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC= S△ADG，
∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC
=
=
= ，
∴2k=12，
∴k=6.
故答案为：B.
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，由于AB经过原点，则A与B关于原点对称，由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，得AD//OE，继而得S△ACE=S△AOC，设A（m， ），由AC=3DC，DH//AF，得3DH=AF，则D（3m， ），证△DHC∽△AGD，可得S△HDC= S△ADG，根据S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC即可求解.
9．【答案】x＜-1或0＜x＜1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知，当或时，双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方，即，
所以若，则自变量x的取值范围是x＜-1或0＜x＜1
故答案为：x＜-1或0＜x＜1
【分析】根据图象，找出双曲线在直线y1的上方，且直线y1在直线y2上方部分所对应的x的范围即可.
10．【答案】2.2
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
当时，（小时），
当时，（小时），
（小时），
故答案为：2.2．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将和分别代入解析式求出t的值，最后求出即可。
11．【答案】-6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行线的性质；三角形的面积
【解析】【解答】延长AB交x轴于D点，AB∥x轴，则AD⊥x轴，该反比例的图象经过B点，设B（x，），所以OD=∣x∣=-x，BD=，S△ABO=S△ADO-S△BDO=OD×（AD-BD）=OD×AB，则AB==，则A（x，），C是OA的中点，且O（0，0），所以C（，），C在该反比例图象上，将C点坐标代入 中，即=k，解得k=-6。
【分析】延长AB交x轴于D点，该反比例的图象经过B点，设B（x，），所以OD=∣x∣=-x，BD=，根据S△ABO=S△ADO-S△BDO=OD×（AD-BD）=OD×AB可求出AB，进一步求出A的坐标，C是OA的中点，且C在该反比例图象上，据此可求出k。
12．【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，
设的横坐标分别是，
点为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是，
则，，
两点在双曲线上，
则，
，，
，
，
两边平方得：，
即，
在直角中，
，
同理可得，，
，
故答案为：4.
【分析】延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F，设A（a，a），B（b，b），则AE=OE=a，BF=OF=b，CE=，DF=，BD=BF-DF=b-，AC=-a，根据AC=BD可得，由勾股定理可得OD2=OF2+DF2=b2+，OC2=a2+，据此求解.
13．【答案】①③④
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：①∵两个函数图象的交点为A，令y1＝y2，
∴x＝，
∴x＝2，代入y1＝x（x≥0），得：y＝2，
∴A（2，2），故本选项正确；
②当x＞2时，y1＞2，y2＜2，故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝1，y2＝4，
∴BC＝y2﹣y1＝4﹣1＝3，故本选项正确；
④根据图象可知，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项正确．
所以①③④正确.
故答案为：①③④.
【分析】令y1＝y2求出x、y的值，得到点A的坐标，据此判断①；根据图象以及点A的坐标可判断②；令x=1，求出y1、y2的值，进而判断③；根据图象可直接判断④.
14．【答案】解：当x＝2时，代入y=x + 1，得y=3.
把点（2，3）代入，得k＝6
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】先将x=2代入一次函数解析式求出交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可得到反比例函数解析式。
15．【答案】解：由已知设y与x的函数关系式为：，
把代入，得，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：，
当时，有，
，
小慧所戴眼镜的度数降低了150度．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】设y与x的函数关系式为：，再将代入求出k的值，再将代入反比例函数解析式求出y的值，再利用计算即可。
16．【答案】（1）解：∵反比例函数 过点A(2，3)，
∴m=2×3=6.
∴反比例函数的关系式为
∵BC=2，∴B的纵坐标为-2，
代入得，
解得x=-3，
∴B(-3，-2)，
∵A(2，3)，B(-3，-2)两点在y=kx+b上，
解得：
∴一次函数的关系式为：y=x+1.
（2）解：∵ BC=2，
即
当点P的纵坐标为10时，则 解得
当点P的纵坐标为-10时，则 解得
∴点P的坐标为 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式；由此可求出点B的坐标，将点A，B的坐标代入一次函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式.
（2）利用BC的长和三角形的面积公式求出△ABC的面积，即可得到△POC的面积；利用△POC的面积，可求出点P的纵坐标，据此可求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标.
17．【答案】（1）解：∵一次函数y2 = ax + 2与y轴交于C，
∴C(0，2)，
∴OC= 2，
∴，
∵，
∴ ，
∵点B在反比例函数 上，
∴；
（2）解：∵点A (1，m)在反比例函数上，
∴m= 3，
∴ A(1，3)，
将A (1，3)代入一次函数y2 = ax+ 2得，
a+2=3，
∴a=1，
∴一次函数
（3）解：设B(a，b) ，
当点N在y轴正半轴上时，作BH⊥y轴于H，
∴BH∥OM，
∴△NBH∽△NMO，
∴ ，
∵NB=2MB，
∴，
∴ ，ON=3b，
∵OP2=OM·ON，
∴ ，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠MON=90°，
∴点P到x轴和y轴的距离相等为 ，
∴，
当点N在y轴负半轴上时，如图，
同理可得， ，ON=OH=b，
∴ ，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠MON=90°，
∴点P到x轴和y轴的距离相等为 ，
∴
综上所述，或 .
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）令一次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标，利用三角形的面积公式求出S△OAC，结合已知条件可得S△OBD，然后根据反比例函数系数k的几何意义可得k的值；
（2）将A（1，m）代入反比例函数解析式中可得m的值，据此可得点A的坐标，然后代入一次函数解析式中可求出a的值，进而可得直线AC的解析式；
（3）设B(a，b) ，当点N在y轴正半轴上时，作BH⊥y轴于H，证明△NBH∽△NMO，根据相似三角形的性质可得OM=a，ON=3b，根据OP2=OM·ON可得OP的值，求出点P到x轴和y轴的距离，进而可得点P的坐标；当点N在y轴负半轴上时，同理解答即可.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 27.3 反比例函数的应用 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·双流期末）如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：观察图象可得，
当时，直线位于轴的上方、函数图象的下方，
不等式组的解是.
故答案为：B.
【分析】根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方，且在x轴上方部分所对应的x的范围即可.
2．（2022九上·包头期末）已知反比例函数（k为常数）的图象经过点．如图，过点B作直线 与函数的图象交于点A，与x轴交于点C，且，过点A作直线，交x轴于点F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵图象过点，代入，
∴， ，
∴反比例函数解析式为，
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴， 即 ，
∴．
∴把代入，
∴．
∴，
设直线解析式为， 把，代入解析式得，
，
解得： ，
∴直线解析式为，
当时，， 解得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【分析】由反比例函数的图象经过点B，直接利用待定系数法求解即可；过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，则，证出，得出点A的坐标，由，再利用相似三角形的性质即可得解。
3．（2022九上·紫金期末）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】由分析可知，当一次函数的图象在反比例函数的下方时，x的取值范围是 或 ；
故答案为：B。
【分析】 ，即y1＜y2，说明一次函数的图象在反比例函数的下方。
4．（2023九上·通川期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～4的整数），函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．若曲线L使得T1～T4，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（ ）
A．8≤k≤12 B．8≤k＜12 C．8＜k≤12 D．8＜k＜12
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），
∴当y＝（x＞0）过点T1（8，1），T4（2，4）时，k＝8，
当y＝（x＞0）过点T2（6，2），T3（4，3）时，k＝12，
∴若曲线L使得T1～T4这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是8＜k＜12．
故答案为：D．
【分析】由每个台阶的高和宽分别是1和2，可求出T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），再分别求出函数y＝（x＞0）过各点时k的值，即可得出k的取值范围．
5．（2023九上·扶沟期末）如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由储存室的体积公式知：，
故储存室的底面积S（）与其深度之间的函数关系式为为反比例函数.
故答案为：C.
【分析】根据储存室的体积=底面积×高可得s与h的函数关系式，由函数关系式是反比例函数，且自变量的取值为正数即可判断得出答案.
6．（2022九上·南海月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连结、，若的面积为，则的值为（ ）．
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】设直线交轴于点，连接，
∴点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴点的坐标为：，
∴把点代入，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用求出，再求出点A的坐标，最后将点A的坐标代入求出k的值即可。
7．（2022九上·济南期中）木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，当压强不超过400 Pa时，木板的面积应（ ）
A．不大于1.5 m2 B．不小于1.5 m2
C．不大于m2 D．不小于m2
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为，将点代入，得，
，
解得：，
反比例函数关系式为，
当时，，
当压强不超过400 Pa时，木板的面积应不小于1.5 m2，
故答案为：B．
【分析】先求出反比例函数解析式，再将代入解析式求出，从而得解。
8．（2021九上·大渡口期末）如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 、 两点，点 在第一象限，点 在 轴正半轴上，连接 交反比例函数图象于点 ， 为 的平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，若 ， 的面积为8，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥AF于点G，
∵过原点的直线与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠OAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD//OE，
∴S△ACE=S△AOC，
∵AD=2DC
∴AC=3DC，
∵△ADE的面积为8，
∴S△ACE=S△AOC=12，
设点A（m， ），
∵AC=3DC，DH//AF，
∴3DH=AF，
∴D（3m， ），
∵CH//GD，AG//DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC= S△ADG，
∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC
=
=
= ，
∴2k=12，
∴k=6.
故答案为：B.
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，由于AB经过原点，则A与B关于原点对称，由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，得AD//OE，继而得S△ACE=S△AOC，设A（m， ），由AC=3DC，DH//AF，得3DH=AF，则D（3m， ），证△DHC∽△AGD，可得S△HDC= S△ADG，根据S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC即可求解.
二、填空题
9．（2023九上·通川期末）如图，正比例函数，一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中，若，则自变量的取值范围是 .
【答案】x＜-1或0＜x＜1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图象可知，当或时，双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方，即，
所以若，则自变量x的取值范围是x＜-1或0＜x＜1
故答案为：x＜-1或0＜x＜1
【分析】根据图象，找出双曲线在直线y1的上方，且直线y1在直线y2上方部分所对应的x的范围即可.
10．（2022九上·平谷期末）青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在（千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差 小时．
【答案】2.2
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴设铁路运行全程所需要的时间与运行的平均速度之间的表达式为，
当时，（小时），
当时，（小时），
（小时），
故答案为：2.2．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将和分别代入解析式求出t的值，最后求出即可。
11．（2022九上·紫金期末）如图，在平面直角坐标系中，的边平行于轴，反比例函数的图象经过的中点和点.若的面积为9，则 .
【答案】-6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行线的性质；三角形的面积
【解析】【解答】延长AB交x轴于D点，AB∥x轴，则AD⊥x轴，该反比例的图象经过B点，设B（x，），所以OD=∣x∣=-x，BD=，S△ABO=S△ADO-S△BDO=OD×（AD-BD）=OD×AB，则AB==，则A（x，），C是OA的中点，且O（0，0），所以C（，），C在该反比例图象上，将C点坐标代入 中，即=k，解得k=-6。
【分析】延长AB交x轴于D点，该反比例的图象经过B点，设B（x，），所以OD=∣x∣=-x，BD=，根据S△ABO=S△ADO-S△BDO=OD×（AD-BD）=OD×AB可求出AB，进一步求出A的坐标，C是OA的中点，且C在该反比例图象上，据此可求出k。
12．（2023九上·崇左期末）如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为 .
【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，
设的横坐标分别是，
点为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是，
则，，
两点在双曲线上，
则，
，，
，
，
两边平方得：，
即，
在直角中，
，
同理可得，，
，
故答案为：4.
【分析】延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F，设A（a，a），B（b，b），则AE=OE=a，BF=OF=b，CE=，DF=，BD=BF-DF=b-，AC=-a，根据AC=BD可得，由勾股定理可得OD2=OF2+DF2=b2+，OC2=a2+，据此求解.
13．（2022九上·温州开学考）函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，则以下4个结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③直线x＝1与y1，y2依次交于C，B两点，则BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：①∵两个函数图象的交点为A，令y1＝y2，
∴x＝，
∴x＝2，代入y1＝x（x≥0），得：y＝2，
∴A（2，2），故本选项正确；
②当x＞2时，y1＞2，y2＜2，故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝1，y2＝4，
∴BC＝y2﹣y1＝4﹣1＝3，故本选项正确；
④根据图象可知，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项正确．
所以①③④正确.
故答案为：①③④.
【分析】令y1＝y2求出x、y的值，得到点A的坐标，据此判断①；根据图象以及点A的坐标可判断②；令x=1，求出y1、y2的值，进而判断③；根据图象可直接判断④.
三、解答题
14．（2021九上·阳东期末）如图，一次函数y＝x+1的图像与反比例函数y的图像相交，其中一个交点的横坐标是2．求反比例函数的解析式．
【答案】解：当x＝2时，代入y=x + 1，得y=3.
把点（2，3）代入，得k＝6
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】先将x=2代入一次函数解析式求出交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可得到反比例函数解析式。
15．（2021九上·吉林期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，求小慧所戴眼镜的度数降低了多少度．
【答案】解：由已知设y与x的函数关系式为：，
把代入，得，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：，
当时，有，
，
小慧所戴眼镜的度数降低了150度．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】设y与x的函数关系式为：，再将代入求出k的值，再将代入反比例函数解析式求出y的值，再利用计算即可。
四、综合题
16．（2023九上·礼泉期末）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知A点的坐标是(2，3)，BC=2.
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）点P为反比例函数y=m/x图象上的任意一点，若S_POC=3S_ABC，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数 过点A(2，3)，
∴m=2×3=6.
∴反比例函数的关系式为
∵BC=2，∴B的纵坐标为-2，
代入得，
解得x=-3，
∴B(-3，-2)，
∵A(2，3)，B(-3，-2)两点在y=kx+b上，
解得：
∴一次函数的关系式为：y=x+1.
（2）解：∵ BC=2，
即
当点P的纵坐标为10时，则 解得
当点P的纵坐标为-10时，则 解得
∴点P的坐标为 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式；由此可求出点B的坐标，将点A，B的坐标代入一次函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式.
（2）利用BC的长和三角形的面积公式求出△ABC的面积，即可得到△POC的面积；利用△POC的面积，可求出点P的纵坐标，据此可求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标.
17．（2023九上·双流期末）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接.已知与的面积满足.
（1）求的面积和的值；
（2）求直线的表达式；
（3）过点的直线分别交轴和轴于两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标.
【答案】（1）解：∵一次函数y2 = ax + 2与y轴交于C，
∴C(0，2)，
∴OC= 2，
∴，
∵，
∴ ，
∵点B在反比例函数 上，
∴；
（2）解：∵点A (1，m)在反比例函数上，
∴m= 3，
∴ A(1，3)，
将A (1，3)代入一次函数y2 = ax+ 2得，
a+2=3，
∴a=1，
∴一次函数
（3）解：设B(a，b) ，
当点N在y轴正半轴上时，作BH⊥y轴于H，
∴BH∥OM，
∴△NBH∽△NMO，
∴ ，
∵NB=2MB，
∴，
∴ ，ON=3b，
∵OP2=OM·ON，
∴ ，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠MON=90°，
∴点P到x轴和y轴的距离相等为 ，
∴，
当点N在y轴负半轴上时，如图，
同理可得， ，ON=OH=b，
∴ ，
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴∠MON=90°，
∴点P到x轴和y轴的距离相等为 ，
∴
综上所述，或 .
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）令一次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标，利用三角形的面积公式求出S△OAC，结合已知条件可得S△OBD，然后根据反比例函数系数k的几何意义可得k的值；
（2）将A（1，m）代入反比例函数解析式中可得m的值，据此可得点A的坐标，然后代入一次函数解析式中可求出a的值，进而可得直线AC的解析式；
（3）设B(a，b) ，当点N在y轴正半轴上时，作BH⊥y轴于H，证明△NBH∽△NMO，根据相似三角形的性质可得OM=a，ON=3b，根据OP2=OM·ON可得OP的值，求出点P到x轴和y轴的距离，进而可得点P的坐标；当点N在y轴负半轴上时，同理解答即可.
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