2023-2024学年初中数学九年级上册 28.1 圆的概念和性质 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·永嘉模拟）如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中点，，在上，点，在半圆上.若半圆的半径为10，则正方形的面积与正方形的面积之和是（ ）
A．50 B．75 C．100 D．125
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，连接FO、NO，
设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG的边长为b，OD=c，则CN=CD=a，DE=EF=b，
∵ 四边形CDMB和DEFG都是正方形 ，
∴∠NCD=90°，∠FED=90°，
∵半圆O的半径为10，
由勾股定理得NC2+CO2=ON2，OE2+EF2=OF2，
∴a2+（a+c）2=102①，b2+（b-c）2=102②，
①-②得a2+（a+c）2-b2-（b-c）2=0，
∴2（a+b）（a-b+c）=0，
∵a+b≠0，
∴a-b+c=0，
即b=a+c，
把b=a+c代入①得a2+b2=102=100，
即正方形CDMB和正方形DEFG的面积之和为100.
故答案为：C.
【分析】连接FO、NO，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG的边长为b，OD=c，则CN=CD=a，DE=EF=b，由勾股定理得a2+（a+c）2=102①，b2+（b-c）2=102②，①-②得a2+（a+c）2-b2-（b-c）2=0，把等式的左边分解因式后得2（a+b）（a-b+c）=0，可得b=a+c，再代入①，即可解决本题.
2．（2023九下·西湖月考）如图，已知OA，OB， OC是⊙O的半径，连结BC，交OA于点D，设∠ADB=a，∠OBC=p，∠AOC=y， 则（ ）
A．a+2β-y= 180° B．a+β+y= 180°
C．2a-β+y=180° D．3a-2β+y=180°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=β，
∵∠ADB=∠CDO=a，∠CDO+∠AOC+∠OCB=180°，
∴a+β+y= 180°.
故答案为：B
【分析】利用等边对等角可得到∠OCB=β，利用对顶角相等可知∠CDO=a；然后利用三角形的内角和为180°，可得到a、β、y之间的数量关系.
3．（2023九上·长顺期末）下列4个说法中，正确的有（ ）
①直径是弦 ②弦是直径 ③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴 ④弧是半圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；轴对称图形
【解析】【解答】解：①直径是最长的弦，故正确；
②弦不一定是直径，故错误；
③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据直径、弦的概念可判断①②；根据圆的对称性可判断③；根据弧的概念可判断④.
4．（2023九上·长顺期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．直径未必是弦
【答案】B
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：A、两个半圆的半径不一定相等，故不一定是等弧，错误；
B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，故正确；
C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，故错误；
D、直径是最长的弦，故错误.
故答案为：B.
【分析】两个半圆的半径不一定相等，据此判断A；根据优弧、劣弧的概念可判断B；根据等弧的概念可判断C；由直径与弦的关系可判断D.
5．（2022九上·杭州月考）如图，圆上有两点，，连结，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点交于点E，交于点F，若，则该圆的半径长是（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：由题意可知，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点两点
CD为AB的垂直平分线
AE=BE=AB=3，AB⊥CD
设该圆的半径为r
AO=OF=r
EF=1
OE=OF-EF=r-1
又 AB⊥CD
AO2=OE2+AE2
即r2=（r-1）2+32
r=5
该圆的半径为5
故答案为：C.
【分析】由题意可得CD为AB的垂直平分线，则AE=BE=AB=3，AB⊥CD，设该圆的半径为r，则AO=OF=r，OE=r-1，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求解即可.
6．（2022九上·平城期中）如图是一个半径为6cm的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆的相关概念
【解析】【解答】解：连接，延长交于点D，如图所示：
∵是的内接三角形，的半径为6cm，
∴，cm，
∴cm，
∴，
∴cm，
由图得，阴影部分得面积即为的面积，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，延长交于点D，先证明阴影部分得面积即为的面积，再利用三角形的面积公式求解即可。
7．（2022九上·朔城期中）如图是一个半径为6cm的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，延长交于点D，如图所示：
∵是的内接三角形，的半径为6cm，
∴，cm，
∴cm，
∴，
∴cm，
由图得，阴影部分得面积即为的面积，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，延长交于点D，先证明阴影部分得面积即为的面积，再利用三角形的面积公式求解即可。
8．（2023九上·长顺期末）如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的相关概念；邻补角
【解析】【解答】解：∵AO=OC，∠ACO=25°，
∴∠ACO=∠CAO=25°，
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=130°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=50°.
故答案为：B.
【分析】根据对圆的认识可得AO=OC，由等腰三角形的性质可得∠ACO=∠CAO=25°，利用内角和定理可求出∠AOC的度数，然后由邻补角的性质计算即可.
二、填空题
9．（2023九上·邳州期末）如图，点A、B、C在上，且，若，则的度数为 .
【答案】96
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵点A、B、C在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：96.
【分析】由题意可得OA=OC，则∠A=∠C，根据平行线的性质可得∠C=∠A=∠BOC=42°，然后根据内角和定理进行计算.
10．（2022九上·新昌月考）在同一平面内，点P到的最长距离为，最短距离为，则的半径为 .
【答案】5cm或3cm
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①点P在圆内；如图1，
，，
，
；
②点P在圆外；如图2，
，，
，
.
故答案为：5cm或3cm.
【分析】①点P在圆内，根据AB=AP+BP可得AB=10cm，进而可得半径；②点P在圆外，根据AB=BP-AP可得AB=6cm，据此可得半径.
11．（2023·达州）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵，在边上有一点，
∴C的轨迹是圆O，
取AC中点E，构造△AKE≌△BAP，如图所示：
∴，KE=PA，
∵，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵OA=OB，
∴，∠OAB=30°，
取OA中点为O1，且O1为定点，
∵，
∴，
∴，
∴点E位于以O1为圆心，2为半径的圆上，
∵要求AP最小，即求KE最小，
∴当K、E、O1共线时，KE最小，
设∠PBA=∠EAK=a，
∴∠CAO+90°+a=180°，
∴∠CAO=90°-a，
∴∠KAO=90°，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：
【分析】先根据题意判断出C的轨迹，取AC中点E，构造△AKE≌△BAP，根据三角形全等的性质得到，KE=PA，再根据等腰三角形的性质得到，∠OAB=30°，取OA中点为O1，且O1为定点，进而即可判断点E位于以O1为圆心，2为半径的圆上，设∠PBA=∠EAK=a，再运用勾股定理结合题意即可求解。
12．（2023·温州模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，整个地漏的高度（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 ；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点恰好落在中点，若点到的距离为，则密封盖下沉的最大距离为 .
【答案】39；16.5
【知识点】勾股定理的应用；圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①设作圆心O，连接交于点H，
设，
∵最高点E到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
②作，延长，交于点，作交于点Z，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点到的距离为，
∴，
∵，
回到图，作，
由勾股定理得：，
∴移动前M到地面的距离为：，
∵M移动的距离为密盖下沉的距离，
∴，
∴密封盖下沉的最大距离为.
故答案为：16.5.
【分析】设作圆心O，连接CD交CE于点H，设OH=xmm，由题意可得OE=(6+x)mm，根据CD的值可得DH，由勾股定理表示出OD，然后根据OE=OD可得x的值，进而可得OE；作M′P′⊥E′G，延长GE′，交AB于点Q′，作M′Z⊥AB交AB于点Z，易得M′Z为△GQ′B的中位线，则M′Z=GQ′，根据线段的和差关系可得GQ′，然后求出M′Z，由题意可得OM=OE=39mm，作MJ⊥EG，由勾股定理可得OJ，据此求解.
13．（2022八下·成都月考）如图，在Rt△ABC与Rt△AEF中，CD为∠ACB的角平分线，且∠ACB=30°，AE=EF=2，AB=，现将△AEF绕点A顺时针旋转，在旋转过程中，当△FDC的面积最大时，则点F到直线CD的距离为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据题意，点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上，且半径为AF=，
过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，与圆交于点H，延长HA交CB的延长线于点M，根据直径最大，当F与点H重合时，三角形FDC的面积最大，
因为∠ACB=30°，AB=，
所以AC=2AB=，BC=ABcos30°==.
因为CD为∠ACB的角平分线，
所以∠ACG=∠MCG，
因为∠AGC=∠MGC=90°，CG=CG，
所以△ACG≌△MCG，
所以CA=CM，AG=GM，
所以BM=CM-CB=CA-CB=-=，
所以AM==2，
所以AG=1，
最大值GH=AG+AH=.
故答案为：.
【分析】根据题意可得AF=，过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，与圆交于点H，延长HA交CB的延长线于点M，根据直径最大，当F与点H重合时，三角形FDC的面积最大，易得AB、AC、BC的值，根据角平分线的概念可得∠ACG=∠MCG，证明△ACG≌△MCG，得到CA=CM，AG=GM，由
BM=CM-CB=CA-CB可得BM，利用勾股定理求出AM，然后根据最大值GH=AG+AH进行计算.
三、解答题
14．（2021九上·柯桥月考）某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．
【答案】解：∵OA= AE=0.5m
∴OB=1.9+0.5=2.4m
BC=
∴能通过这个隧道.
【知识点】勾股定理；圆的相关概念
【解析】【分析】利用已知条件求出OA的长，从而可得到OB的长；再利用勾股定理求出BC的长，将BC的长与3比较大小，可作出判断.
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=-1，
则直线AB的函数解析式为y=-x+4；
（2）①由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BDO≌△COD，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②如图，连结PE，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=DE，即y=x；
（3）当BD：BF=2：1时，
如图，过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴=2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4-OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4-OD，
解得：OD=，∴点D的坐标为（0，），
∴直线CD的解析式为y=x+，
由，得：，
则点P的坐标为（2，2）；
当时，
连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEP=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
如图，过点F作FG⊥OB于点G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴，
∴FG=8，OD=BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8-OD=4+2OD，
OD=，
∴点D的坐标为（0，-），
直线CD的解析式为：，
由，得：，
∴点P的坐标为（8，-4），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；圆的相关概念；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】考查全等三角形的判定与性质。
四、综合题
16．（2020·顺义模拟）下面是小东设计的“以线段AB为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：菱形ACBD．
作法：如图，
①以点A为圆心，以AB长为半径作⊙A；
②以点 B为圆心，以AB长为半径作⊙B，
交⊙A 于C，D两点；
③连接AC，BC，BD，AD．
所以四边形ACBD就是所求作的菱形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点B，C，D在⊙A上，
∴AB=AC=AD( ▲ )（填推理的依据）．
同理 ∵点A，C，D在⊙B上，
∴AB=BC=BD．
∴ ▲ = ▲
= ▲ = ▲
．
∴四边形ACBD是菱形． ( ▲ )（填推理的依据）．
【答案】（1）解：补全图如图所示．
（2）同圆半径相等（或圆的定义）|AC|BC|BD|AD|四条边相等的四边形是菱形
【知识点】菱形的判定与性质；圆的相关概念；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：（2）完成下面的证明．
证明：∵点B，C，D在⊙A上，
∴AB=AC=AD( 同圆半径相等)
（或圆的定义）（填推理的依据）．
同理 ∵点A，C，D在⊙B上，
∴AB=BC=BD．
∴AC=BC=BD=AD．
∴四边形ACBD是菱形． ( 四条边相等的四边形是菱形 )（填推理的依据）．
【分析】（1）根据题中几何语言画出对应几何图形；（2）利用半径相等得到AB=AC=AD=BD．然后根据菱形的判定方法得到四边形ABCD是菱形.
17．（2020·北京）在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦 （ 分别为点A，B的对应点），线段 长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦 和 ，则这两条弦的位置关系是 ；在点 中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线 上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 ，求 的最小值；
（3）若点A的坐标为 ，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）平行；P3
（2）解：如图，
线段AB在直线 上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令 ，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴ ．
由垂径定理得： ，
∴ ；
（3）解：线段AB的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为 ．
如图，平移距离 的最小值即点A到⊙O的最小值： ；
平移距离 的最大值线段是下图AB的情况，即当A1，A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°，
∵OA2=1，∴OM= ， A2M= ，
∴MA=3，AA2= ，
∴ 的取值范围为： ．
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由 得到 的最小值；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离 的最大值即点A，B点的位置，由此得出 的取值范围．
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 28.1 圆的概念和性质 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·永嘉模拟）如图，是半圆的直径，四边形和都是正方形，其中点，，在上，点，在半圆上.若半圆的半径为10，则正方形的面积与正方形的面积之和是（ ）
A．50 B．75 C．100 D．125
2．（2023九下·西湖月考）如图，已知OA，OB， OC是⊙O的半径，连结BC，交OA于点D，设∠ADB=a，∠OBC=p，∠AOC=y， 则（ ）
A．a+2β-y= 180° B．a+β+y= 180°
C．2a-β+y=180° D．3a-2β+y=180°
3．（2023九上·长顺期末）下列4个说法中，正确的有（ ）
①直径是弦 ②弦是直径 ③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴 ④弧是半圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023九上·长顺期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个半圆是等弧
B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧
D．直径未必是弦
5．（2022九上·杭州月考）如图，圆上有两点，，连结，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点交于点E，交于点F，若，则该圆的半径长是（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
6．（2022九上·平城期中）如图是一个半径为6cm的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·朔城期中）如图是一个半径为6cm的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·长顺期末）如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·邳州期末）如图，点A、B、C在上，且，若，则的度数为 .
10．（2022九上·新昌月考）在同一平面内，点P到的最长距离为，最短距离为，则的半径为 .
11．（2023·达州）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ．
12．（2023·温州模拟）如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，整个地漏的高度（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 ；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点恰好落在中点，若点到的距离为，则密封盖下沉的最大距离为 .
13．（2022八下·成都月考）如图，在Rt△ABC与Rt△AEF中，CD为∠ACB的角平分线，且∠ACB=30°，AE=EF=2，AB=，现将△AEF绕点A顺时针旋转，在旋转过程中，当△FDC的面积最大时，则点F到直线CD的距离为 .
三、解答题
14．（2021九上·柯桥月考）某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
四、综合题
16．（2020·顺义模拟）下面是小东设计的“以线段AB为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：菱形ACBD．
作法：如图，
①以点A为圆心，以AB长为半径作⊙A；
②以点 B为圆心，以AB长为半径作⊙B，
交⊙A 于C，D两点；
③连接AC，BC，BD，AD．
所以四边形ACBD就是所求作的菱形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点B，C，D在⊙A上，
∴AB=AC=AD( ▲ )（填推理的依据）．
同理 ∵点A，C，D在⊙B上，
∴AB=BC=BD．
∴ ▲ = ▲
= ▲ = ▲
．
∴四边形ACBD是菱形． ( ▲ )（填推理的依据）．
17．（2020·北京）在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦 （ 分别为点A，B的对应点），线段 长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦 和 ，则这两条弦的位置关系是 ；在点 中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线 上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 ，求 的最小值；
（3）若点A的坐标为 ，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 ，直接写出 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，连接FO、NO，
设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG的边长为b，OD=c，则CN=CD=a，DE=EF=b，
∵ 四边形CDMB和DEFG都是正方形 ，
∴∠NCD=90°，∠FED=90°，
∵半圆O的半径为10，
由勾股定理得NC2+CO2=ON2，OE2+EF2=OF2，
∴a2+（a+c）2=102①，b2+（b-c）2=102②，
①-②得a2+（a+c）2-b2-（b-c）2=0，
∴2（a+b）（a-b+c）=0，
∵a+b≠0，
∴a-b+c=0，
即b=a+c，
把b=a+c代入①得a2+b2=102=100，
即正方形CDMB和正方形DEFG的面积之和为100.
故答案为：C.
【分析】连接FO、NO，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG的边长为b，OD=c，则CN=CD=a，DE=EF=b，由勾股定理得a2+（a+c）2=102①，b2+（b-c）2=102②，①-②得a2+（a+c）2-b2-（b-c）2=0，把等式的左边分解因式后得2（a+b）（a-b+c）=0，可得b=a+c，再代入①，即可解决本题.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=β，
∵∠ADB=∠CDO=a，∠CDO+∠AOC+∠OCB=180°，
∴a+β+y= 180°.
故答案为：B
【分析】利用等边对等角可得到∠OCB=β，利用对顶角相等可知∠CDO=a；然后利用三角形的内角和为180°，可得到a、β、y之间的数量关系.
3．【答案】B
【知识点】圆的相关概念；轴对称图形
【解析】【解答】解：①直径是最长的弦，故正确；
②弦不一定是直径，故错误；
③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据直径、弦的概念可判断①②；根据圆的对称性可判断③；根据弧的概念可判断④.
4．【答案】B
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：A、两个半圆的半径不一定相等，故不一定是等弧，错误；
B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，故正确；
C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，故错误；
D、直径是最长的弦，故错误.
故答案为：B.
【分析】两个半圆的半径不一定相等，据此判断A；根据优弧、劣弧的概念可判断B；根据等弧的概念可判断C；由直径与弦的关系可判断D.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：由题意可知，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点两点
CD为AB的垂直平分线
AE=BE=AB=3，AB⊥CD
设该圆的半径为r
AO=OF=r
EF=1
OE=OF-EF=r-1
又 AB⊥CD
AO2=OE2+AE2
即r2=（r-1）2+32
r=5
该圆的半径为5
故答案为：C.
【分析】由题意可得CD为AB的垂直平分线，则AE=BE=AB=3，AB⊥CD，设该圆的半径为r，则AO=OF=r，OE=r-1，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求解即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆的相关概念
【解析】【解答】解：连接，延长交于点D，如图所示：
∵是的内接三角形，的半径为6cm，
∴，cm，
∴cm，
∴，
∴cm，
由图得，阴影部分得面积即为的面积，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，延长交于点D，先证明阴影部分得面积即为的面积，再利用三角形的面积公式求解即可。
7．【答案】A
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，延长交于点D，如图所示：
∵是的内接三角形，的半径为6cm，
∴，cm，
∴cm，
∴，
∴cm，
由图得，阴影部分得面积即为的面积，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，延长交于点D，先证明阴影部分得面积即为的面积，再利用三角形的面积公式求解即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的相关概念；邻补角
【解析】【解答】解：∵AO=OC，∠ACO=25°，
∴∠ACO=∠CAO=25°，
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=130°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=50°.
故答案为：B.
【分析】根据对圆的认识可得AO=OC，由等腰三角形的性质可得∠ACO=∠CAO=25°，利用内角和定理可求出∠AOC的度数，然后由邻补角的性质计算即可.
9．【答案】96
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵点A、B、C在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：96.
【分析】由题意可得OA=OC，则∠A=∠C，根据平行线的性质可得∠C=∠A=∠BOC=42°，然后根据内角和定理进行计算.
10．【答案】5cm或3cm
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①点P在圆内；如图1，
，，
，
；
②点P在圆外；如图2，
，，
，
.
故答案为：5cm或3cm.
【分析】①点P在圆内，根据AB=AP+BP可得AB=10cm，进而可得半径；②点P在圆外，根据AB=BP-AP可得AB=6cm，据此可得半径.
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵，在边上有一点，
∴C的轨迹是圆O，
取AC中点E，构造△AKE≌△BAP，如图所示：
∴，KE=PA，
∵，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵OA=OB，
∴，∠OAB=30°，
取OA中点为O1，且O1为定点，
∵，
∴，
∴，
∴点E位于以O1为圆心，2为半径的圆上，
∵要求AP最小，即求KE最小，
∴当K、E、O1共线时，KE最小，
设∠PBA=∠EAK=a，
∴∠CAO+90°+a=180°，
∴∠CAO=90°-a，
∴∠KAO=90°，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：
【分析】先根据题意判断出C的轨迹，取AC中点E，构造△AKE≌△BAP，根据三角形全等的性质得到，KE=PA，再根据等腰三角形的性质得到，∠OAB=30°，取OA中点为O1，且O1为定点，进而即可判断点E位于以O1为圆心，2为半径的圆上，设∠PBA=∠EAK=a，再运用勾股定理结合题意即可求解。
12．【答案】39；16.5
【知识点】勾股定理的应用；圆的相关概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①设作圆心O，连接交于点H，
设，
∵最高点E到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
②作，延长，交于点，作交于点Z，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点到的距离为，
∴，
∵，
回到图，作，
由勾股定理得：，
∴移动前M到地面的距离为：，
∵M移动的距离为密盖下沉的距离，
∴，
∴密封盖下沉的最大距离为.
故答案为：16.5.
【分析】设作圆心O，连接CD交CE于点H，设OH=xmm，由题意可得OE=(6+x)mm，根据CD的值可得DH，由勾股定理表示出OD，然后根据OE=OD可得x的值，进而可得OE；作M′P′⊥E′G，延长GE′，交AB于点Q′，作M′Z⊥AB交AB于点Z，易得M′Z为△GQ′B的中位线，则M′Z=GQ′，根据线段的和差关系可得GQ′，然后求出M′Z，由题意可得OM=OE=39mm，作MJ⊥EG，由勾股定理可得OJ，据此求解.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据题意，点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上，且半径为AF=，
过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，与圆交于点H，延长HA交CB的延长线于点M，根据直径最大，当F与点H重合时，三角形FDC的面积最大，
因为∠ACB=30°，AB=，
所以AC=2AB=，BC=ABcos30°==.
因为CD为∠ACB的角平分线，
所以∠ACG=∠MCG，
因为∠AGC=∠MGC=90°，CG=CG，
所以△ACG≌△MCG，
所以CA=CM，AG=GM，
所以BM=CM-CB=CA-CB=-=，
所以AM==2，
所以AG=1，
最大值GH=AG+AH=.
故答案为：.
【分析】根据题意可得AF=，过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，与圆交于点H，延长HA交CB的延长线于点M，根据直径最大，当F与点H重合时，三角形FDC的面积最大，易得AB、AC、BC的值，根据角平分线的概念可得∠ACG=∠MCG，证明△ACG≌△MCG，得到CA=CM，AG=GM，由
BM=CM-CB=CA-CB可得BM，利用勾股定理求出AM，然后根据最大值GH=AG+AH进行计算.
14．【答案】解：∵OA= AE=0.5m
∴OB=1.9+0.5=2.4m
BC=
∴能通过这个隧道.
【知识点】勾股定理；圆的相关概念
【解析】【分析】利用已知条件求出OA的长，从而可得到OB的长；再利用勾股定理求出BC的长，将BC的长与3比较大小，可作出判断.
15．【答案】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=-1，
则直线AB的函数解析式为y=-x+4；
（2）①由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BDO≌△COD，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②如图，连结PE，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=DE，即y=x；
（3）当BD：BF=2：1时，
如图，过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴=2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4-OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4-OD，
解得：OD=，∴点D的坐标为（0，），
∴直线CD的解析式为y=x+，
由，得：，
则点P的坐标为（2，2）；
当时，
连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEP=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
如图，过点F作FG⊥OB于点G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴，
∴FG=8，OD=BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8-OD=4+2OD，
OD=，
∴点D的坐标为（0，-），
直线CD的解析式为：，
由，得：，
∴点P的坐标为（8，-4），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；圆的相关概念；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】考查全等三角形的判定与性质。
16．【答案】（1）解：补全图如图所示．
（2）同圆半径相等（或圆的定义）|AC|BC|BD|AD|四条边相等的四边形是菱形
【知识点】菱形的判定与性质；圆的相关概念；尺规作图的概念
【解析】【解答】解：（2）完成下面的证明．
证明：∵点B，C，D在⊙A上，
∴AB=AC=AD( 同圆半径相等)
（或圆的定义）（填推理的依据）．
同理 ∵点A，C，D在⊙B上，
∴AB=BC=BD．
∴AC=BC=BD=AD．
∴四边形ACBD是菱形． ( 四条边相等的四边形是菱形 )（填推理的依据）．
【分析】（1）根据题中几何语言画出对应几何图形；（2）利用半径相等得到AB=AC=AD=BD．然后根据菱形的判定方法得到四边形ABCD是菱形.
17．【答案】（1）平行；P3
（2）解：如图，
线段AB在直线 上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令 ，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴ ．
由垂径定理得： ，
∴ ；
（3）解：线段AB的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为 ．
如图，平移距离 的最小值即点A到⊙O的最小值： ；
平移距离 的最大值线段是下图AB的情况，即当A1，A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°，
∵OA2=1，∴OM= ， A2M= ，
∴MA=3，AA2= ，
∴ 的取值范围为： ．
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由 得到 的最小值；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离 的最大值即点A，B点的位置，由此得出 的取值范围．
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