2023-2024学年初中数学九年级上册 28.2 过三点的圆 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022九上·定海期中） 的外心在三角形的内部，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：A.
【分析】三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状．
2．（2021九上·临沭期中）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：B．
【分析】作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，再求解即可。
3．（2021九上·诸暨月考）给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．已知三个点
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不能确定，因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；
D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆，在同一直线上的三点不能确定一个圆，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，故知道圆心和半径可以确定一个圆；不在同一直线上三点可以确定一个圆；平面内任意三点都不在同一直线的四点，如果满足：①以这四点为顶点的四边形对角互补，那么这四点确定一个圆，②同底，且同侧的两个三角形，如果同底所对的两个角相等，那么这四点确定一个圆，据此一一判断得出答案.
4．（2021九上·宿迁月考）给出下列命题：①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆上两点间的线段叫弧；⑤过圆心的线段是直径；⑥直角三角形的三个顶点在同一个圆上.其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】圆的认识；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，故弦不一定是直径，原说法错误；
②圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，原说法正确；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧叫做等弧，原说法错误；
④圆上两点间的线段叫弦，原说法错误；
⑤过圆心的弦是直径，原说法错误；
⑥直角三角形的三个顶点共圆，都在以斜边的一半为半径的圆上，原说法正确；
∴正确的有②⑥两个，
故答案为：C.
【分析】根据弦的定义，可对 ① 作出判断；根据弧的定义对②作判断；等弧必须在同圆或等圆中，则可对③作出判断；圆上两点间的线段叫弦，而不是弧，可对④作判断； 过圆心的线段不一定是弦，而直径是弦，可对⑤ 作判断；每个三角形都有一个外接圆，对⑥作判断.
5．（2023九上·越城期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：直角三角形两条直角边为3，4
那么此直角三角形的斜边为
即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出斜边的长，然后根据直角三角形外接圆的直径为斜边的长进行解答.
6．（2022九上·广平期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M B．以点O为圆心，长为半径
C．以长为半径 D．以点O为圆心
【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用确定圆的条件逐项判断即可。
7．（2022九上·杭州月考）如图，为等腰直角三角形的斜边（为定长线段），为的中点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，交于点，当点运动时，给出下列四个结论：①为的外心；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①为等腰斜边上的中线，
垂直平分，
又垂直平分，
为的外心，
故①正确；
②为的外心，，
，
故②正确；
③，
，
又，
∴，
，
即，
故③正确；
④过作，交于，
则是等腰直角三角形，
，，
，
又，，
∴，
，
，
.故④正确，
综上所述，正确的有①②③④.
故答案为：D.
【分析】由题意可得CO垂直平分AB，结合DE垂直平分PB可得E为△ABP的外心，据此判断①②；根据角的和差关系可得∠EBO=∠PBC，证明△BPC∽△BEO，根据相似三角形的性质可判断③；过E作EM⊥OC，交AC于M，则△EMC是等腰直角三角形，MC=EC，∠PME=45°，根据角的和差关系可得∠PEM=∠BEC，利用SAS证明△PME≌△BCE，得到PM=BC=AB，则PM=CM+PC=EC+PC，据此判断④.
8．（2022九上·利辛月考）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：，
，
解得，；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故答案为：D．
【分析】先解方程得x=3，x=4，即得两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长，由于直角三角形的外接圆半径长为斜边长的一半，即得结论.
二、填空题
9．（2022九上·长沙月考）在中，，则外接圆半径R= .
【答案】2
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：在中，
直角三角形的外心为斜边的中点，
外接圆半径为斜边长的一半
外接圆半径
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的外心为斜边的中点可得其外接圆的半径等于斜边长的一半即可得出答案.
10．（2021九上·青冈期末）在中，是它的外心，cm，到的距离是5cm，则的外接圆的半径为 cm．
【答案】13
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示，
∵O为外心，OD⊥BC，
∴BD＝BC＝12，又OD＝5，
∴由勾股定理，得
OB＝（cm），
∴△ABC的外接圆的半径是13cm．
故答案为：13．
【分析】先求出BD＝BC＝12，再结合OD＝5，利用勾股定理求出OB的长即可。
11．（2023九上·余姚期末）如图，点B、E、C在一直线上，在直线同侧，，，当时，外接圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AE于点H，过点C作CO⊥DE交BH的延长线于点O，过点O作OF⊥BC于点F，
∵BE=BA，
∴AH垂直平分AE，
∵CD=CE，
∴CO垂直平分DE，
∴点O是△ADE的外心，
∴∠OBC=∠ABE=α，∠OCB=∠DCE=α，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∵OF⊥BC，
∴CF=CB=（BE+CE）=，
∴EF=CE-CF=，
∵ ，
∴
解之：，
∴.
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥AE于点H，过点C作CO⊥DE交BH的延长线于点O，过点O作OF⊥BC于点F，利用已知可证得AH垂直平分AE，CO垂直平分DE，可得到点O是△ADE的外心，由此可证得∠OBC=∠OCB，利用等角对等边可知OB=OC；再利用等腰三角形的性质可求出CF的长，即可得到EF的长，利用锐角三角形函数的定义可求出OF的长；然后利用勾股定理求出OE的长，即可得到△ADE的外接圆的半径.
12．（2022九上·青州期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ．
【答案】（5，2）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：设三角形的外心为，由题意可得：
，
则，
解方程可得：，
故答案为（5，2）．
【分析】设三角形的外心为，根据，可得，再求出，即可得到答案。
13．（2021九上·西城期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
【答案】（2，1）
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，即可得出答案。
三、解答题
14．（2021九上·庐阳期末）如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．
【答案】解：如图所示．连接，分别作的垂直平分线，交于点O，以的长度为半径，O为圆心作圆，则即为所求，
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】先 作的垂直平分线， 再根据题意作图即可。
15．（2015九上·莱阳期末）如图，AD为△ABC的外接圆O的直径，AE⊥BC于E．求证：∠BAD=∠EAC．
【答案】证明：连接BD，
∵AD是△ABC的外接圆直径，
∴∠ABD=90°．
∴∠BAD+∠D=90°．
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°．
∴∠CAE+∠ACB=90°．
∵∠D=∠ACB，
∴∠BAD=∠EAC．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】因为AD是△ABC的外接圆直径，所以∠ABD=90°，根据∠BAD+∠D=90°，∠AEC=90°，可知∠D=∠ACB，所以∠BAD=∠CAE．
四、综合题
16．（2022九上·义乌月考）如图，在平面直角坐标系中，点、、.
（1）①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且点与点对应，位似比为2：1.
②点坐标为 ▲ .
③的面积为 ▲ 个平方单位.
（2）的外接圆圆心的坐标为 .
【答案】（1）解：①如图，即为所求；
；②（2，2）；③4
（2）（2，3）
【知识点】三角形的面积；三角形的外接圆与外心；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）解：②点坐标为；
故答案为：；
③
∴的面积为4个平方单位；
故答案为：4；
（2）解：如图，利用网格的特点，作、的垂直平分线，两垂直平分线的交点，
即为的外接圆圆心；
∴点的坐标为.
故答案为：.
【分析】（1）①连接OA并延长至点D，使OD=2OA，连接OB并延长至点E，使OE=2OB，在y轴上C点的上方找点F，使OF=2OC，再连接D、E、F即可；②根据点D的位置读出其坐标即可；③根据三角形的面积计算公式直接计算即可得出△DEF的面积；
（2）利用网格的特点，作AB、AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点M就是△ABC的外接圆的圆心，根据点M的位置读出其坐标即可.
17．（2022九上·西山期中）如图，是等边的外接圆．
（1）如图1，连接AO，延长AO交弦BC于点M，交于点P．连接PB，PC．求证：；
（2）如图2，若P为上任意一点，连接PA，PB，PC，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：连接OB、OC
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APB=∠ACB=∠ABC=∠APC=60°，
又∵OB=OP=OC，
∴△OBP与△OCP均为等边三角形，
∴ ， ，
则 ，
即证：.
（2）解：仍然成立，理由如下，
如图，延长PB至点D，使得BD=CP，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠APC=∠ABC=60°，
又∵∠ABP+∠ACP=180°，
∠ABP+∠ABD=180°，
∴∠ABD=∠ACP，
∴△ABD≌△ACP(SAS)，
∴AD=AP，∠D=∠APC=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PA=PD=PB+BD=PB+BC，
即.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用等边三角形与圆的基本性质，易证△OBP与△OCP均为等边三角形，从而利用特殊性易证得；
（2）利用线段和差关系选择截长或补短(此处只演示补短)构造全等或利用旋转将CP与BP加和，进而只需证DP=AP，故而先证△ABD≌△ACP，进而利用全等性质即得△ADP是等边三角形，从而得证。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 28.2 过三点的圆 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022九上·定海期中） 的外心在三角形的内部，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
2．（2021九上·临沭期中）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·诸暨月考）给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．已知三个点
4．（2021九上·宿迁月考）给出下列命题：①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆上两点间的线段叫弧；⑤过圆心的线段是直径；⑥直角三角形的三个顶点在同一个圆上.其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023九上·越城期末）已知直角三角形两条直角边为3，4，则它的外接圆半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
6．（2022九上·广平期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M B．以点O为圆心，长为半径
C．以长为半径 D．以点O为圆心
7．（2022九上·杭州月考）如图，为等腰直角三角形的斜边（为定长线段），为的中点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点，交于点，当点运动时，给出下列四个结论：①为的外心；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．（2022九上·利辛月考）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
二、填空题
9．（2022九上·长沙月考）在中，，则外接圆半径R= .
10．（2021九上·青冈期末）在中，是它的外心，cm，到的距离是5cm，则的外接圆的半径为 cm．
11．（2023九上·余姚期末）如图，点B、E、C在一直线上，在直线同侧，，，当时，外接圆的半径为 ．
12．（2022九上·青州期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ．
13．（2021九上·西城期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
三、解答题
14．（2021九上·庐阳期末）如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．
15．（2015九上·莱阳期末）如图，AD为△ABC的外接圆O的直径，AE⊥BC于E．求证：∠BAD=∠EAC．
四、综合题
16．（2022九上·义乌月考）如图，在平面直角坐标系中，点、、.
（1）①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且点与点对应，位似比为2：1.
②点坐标为 ▲ .
③的面积为 ▲ 个平方单位.
（2）的外接圆圆心的坐标为 .
17．（2022九上·西山期中）如图，是等边的外接圆．
（1）如图1，连接AO，延长AO交弦BC于点M，交于点P．连接PB，PC．求证：；
（2）如图2，若P为上任意一点，连接PA，PB，PC，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：A.
【分析】三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状．
2．【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：B．
【分析】作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，再求解即可。
3．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不能确定，因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；
D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆，在同一直线上的三点不能确定一个圆，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，故知道圆心和半径可以确定一个圆；不在同一直线上三点可以确定一个圆；平面内任意三点都不在同一直线的四点，如果满足：①以这四点为顶点的四边形对角互补，那么这四点确定一个圆，②同底，且同侧的两个三角形，如果同底所对的两个角相等，那么这四点确定一个圆，据此一一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】圆的认识；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，故弦不一定是直径，原说法错误；
②圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，原说法正确；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧叫做等弧，原说法错误；
④圆上两点间的线段叫弦，原说法错误；
⑤过圆心的弦是直径，原说法错误；
⑥直角三角形的三个顶点共圆，都在以斜边的一半为半径的圆上，原说法正确；
∴正确的有②⑥两个，
故答案为：C.
【分析】根据弦的定义，可对 ① 作出判断；根据弧的定义对②作判断；等弧必须在同圆或等圆中，则可对③作出判断；圆上两点间的线段叫弦，而不是弧，可对④作判断； 过圆心的线段不一定是弦，而直径是弦，可对⑤ 作判断；每个三角形都有一个外接圆，对⑥作判断.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：直角三角形两条直角边为3，4
那么此直角三角形的斜边为
即外接圆的直径为5，那么外接圆半径为2.5
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出斜边的长，然后根据直角三角形外接圆的直径为斜边的长进行解答.
6．【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用确定圆的条件逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①为等腰斜边上的中线，
垂直平分，
又垂直平分，
为的外心，
故①正确；
②为的外心，，
，
故②正确；
③，
，
又，
∴，
，
即，
故③正确；
④过作，交于，
则是等腰直角三角形，
，，
，
又，，
∴，
，
，
.故④正确，
综上所述，正确的有①②③④.
故答案为：D.
【分析】由题意可得CO垂直平分AB，结合DE垂直平分PB可得E为△ABP的外心，据此判断①②；根据角的和差关系可得∠EBO=∠PBC，证明△BPC∽△BEO，根据相似三角形的性质可判断③；过E作EM⊥OC，交AC于M，则△EMC是等腰直角三角形，MC=EC，∠PME=45°，根据角的和差关系可得∠PEM=∠BEC，利用SAS证明△PME≌△BCE，得到PM=BC=AB，则PM=CM+PC=EC+PC，据此判断④.
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：，
，
解得，；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故答案为：D．
【分析】先解方程得x=3，x=4，即得两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长，由于直角三角形的外接圆半径长为斜边长的一半，即得结论.
9．【答案】2
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：在中，
直角三角形的外心为斜边的中点，
外接圆半径为斜边长的一半
外接圆半径
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的外心为斜边的中点可得其外接圆的半径等于斜边长的一半即可得出答案.
10．【答案】13
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示，
∵O为外心，OD⊥BC，
∴BD＝BC＝12，又OD＝5，
∴由勾股定理，得
OB＝（cm），
∴△ABC的外接圆的半径是13cm．
故答案为：13．
【分析】先求出BD＝BC＝12，再结合OD＝5，利用勾股定理求出OB的长即可。
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AE于点H，过点C作CO⊥DE交BH的延长线于点O，过点O作OF⊥BC于点F，
∵BE=BA，
∴AH垂直平分AE，
∵CD=CE，
∴CO垂直平分DE，
∴点O是△ADE的外心，
∴∠OBC=∠ABE=α，∠OCB=∠DCE=α，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∵OF⊥BC，
∴CF=CB=（BE+CE）=，
∴EF=CE-CF=，
∵ ，
∴
解之：，
∴.
故答案为：.
【分析】过点B作BH⊥AE于点H，过点C作CO⊥DE交BH的延长线于点O，过点O作OF⊥BC于点F，利用已知可证得AH垂直平分AE，CO垂直平分DE，可得到点O是△ADE的外心，由此可证得∠OBC=∠OCB，利用等角对等边可知OB=OC；再利用等腰三角形的性质可求出CF的长，即可得到EF的长，利用锐角三角形函数的定义可求出OF的长；然后利用勾股定理求出OE的长，即可得到△ADE的外接圆的半径.
12．【答案】（5，2）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：设三角形的外心为，由题意可得：
，
则，
解方程可得：，
故答案为（5，2）．
【分析】设三角形的外心为，根据，可得，再求出，即可得到答案。
13．【答案】（2，1）
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，即可得出答案。
14．【答案】解：如图所示．连接，分别作的垂直平分线，交于点O，以的长度为半径，O为圆心作圆，则即为所求，
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】先 作的垂直平分线， 再根据题意作图即可。
15．【答案】证明：连接BD，
∵AD是△ABC的外接圆直径，
∴∠ABD=90°．
∴∠BAD+∠D=90°．
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°．
∴∠CAE+∠ACB=90°．
∵∠D=∠ACB，
∴∠BAD=∠EAC．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】因为AD是△ABC的外接圆直径，所以∠ABD=90°，根据∠BAD+∠D=90°，∠AEC=90°，可知∠D=∠ACB，所以∠BAD=∠CAE．
16．【答案】（1）解：①如图，即为所求；
；②（2，2）；③4
（2）（2，3）
【知识点】三角形的面积；三角形的外接圆与外心；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）解：②点坐标为；
故答案为：；
③
∴的面积为4个平方单位；
故答案为：4；
（2）解：如图，利用网格的特点，作、的垂直平分线，两垂直平分线的交点，
即为的外接圆圆心；
∴点的坐标为.
故答案为：.
【分析】（1）①连接OA并延长至点D，使OD=2OA，连接OB并延长至点E，使OE=2OB，在y轴上C点的上方找点F，使OF=2OC，再连接D、E、F即可；②根据点D的位置读出其坐标即可；③根据三角形的面积计算公式直接计算即可得出△DEF的面积；
（2）利用网格的特点，作AB、AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点M就是△ABC的外接圆的圆心，根据点M的位置读出其坐标即可.
17．【答案】（1）证明：连接OB、OC
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APB=∠ACB=∠ABC=∠APC=60°，
又∵OB=OP=OC，
∴△OBP与△OCP均为等边三角形，
∴ ， ，
则 ，
即证：.
（2）解：仍然成立，理由如下，
如图，延长PB至点D，使得BD=CP，连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠APC=∠ABC=60°，
又∵∠ABP+∠ACP=180°，
∠ABP+∠ABD=180°，
∴∠ABD=∠ACP，
∴△ABD≌△ACP(SAS)，
∴AD=AP，∠D=∠APC=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PA=PD=PB+BD=PB+BC，
即.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用等边三角形与圆的基本性质，易证△OBP与△OCP均为等边三角形，从而利用特殊性易证得；
（2）利用线段和差关系选择截长或补短(此处只演示补短)构造全等或利用旋转将CP与BP加和，进而只需证DP=AP，故而先证△ABD≌△ACP，进而利用全等性质即得△ADP是等边三角形，从而得证。
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