2023-2024学年初中数学九年级上册 28.2 过三点的圆 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2023·长沙模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（ ）
A．直线MN是线段BC的垂直平分线 B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90° D．点D为△ABC的内心
3．（2023·玉溪模拟）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
4．（2023·安宁模拟）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若的半径为6，，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．6
5．（2023·黄岛模拟）如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·苏州月考）已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
7．（2021九上·灌云期中）如图，在 中， ∠ACB=90°， cm， cm. 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2021九上·富县期末）如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
二、填空题
9．（2023·长丰模拟）如图，内接于圆O．若，，，则的弧长为 ．
10．（2023·黑龙江模拟）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
11．（2023九下·咸宁月考）如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转90°得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②G为的外心；③；④．其中正确结论的序号是 ．
12．（2021·天河模拟）已知点 ，原点O关于一次函数 的对称点 恰好与 的外心重合，则点 的坐标为 ，b的值为 ．
13．（2022·成都模拟）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图，若“心形”图形的顶点A，B，C，D，E，F，G均为整点，已知点P（3，4），线段PQ的长为，PQ关于过点M（0，5）的直线l对称得到P'Q'，点P的对应点为P′，当点P′恰好落在“心形”图形边的整点上时，点Q'也落在“心形”图形边的整点上，则这样的点Q′共有 个.
三、作图题
14．（2023·武汉模拟）如图是由边长为的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示．画图结果用实线表示，完成下列问题：
⑴ ▲ ；
⑶将边绕点顺时针旋转得到线段则 ▲ ；
⑶画出的外接圆的圆心；
⑷在上确定一点，使．
四、综合题
15．（2022·成都模拟）在△ABC中，AC＝BC＝5，tanA＝，E分别是AB，AC边上的动点，作△ADE关于DE对称的图形△A′DE.
（1）如图1，当点A′恰好与点C重合，求DE的长；
（2）如图2，当点A’落在BC的延长线上，且A’E⊥AB，求AD的长；
（3）如图3，若AE=CE，连接A’B，F是A’B的中点，连接CF，在D点的运动过程中，求线段CF长度的最大值.
16．（2021·玄武模拟）八上教材给出了命题“如果 ， ， 分别是 和 的高，那么 ”的证明，由此进一步思考……
（问题提出）
（1）在 和 中， ， 分别是 和 的高，如果 ， ， ，那么 和 全等吗？
（i）小红的思考
如图，先任意画出一个 ，然后按下列作法，作出一个满足条件的 ，作法如下：
①作 的外接圆
②过点 作 ，与 交于点
③连接 （点 与 重合）， （点 与 重合），得到
请说明小红所作的 .
（ii）小明的思考
如图，对于满足条件的 ， 和高 ， ；小明将 通过图形的变换，使边 与 重合， ， 相交于点 ，连接 ，易证
接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明.
如图，在 和 中， ， 分别是 和 的高，（ ），且 ， ，求证： .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；确定圆的条件
【解析】【解答】解：直线l上的四个点A、B、C、D可以最多组成六条不同的线段，它们分别为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，又因为点P不在直线l上，所以最多画出圆的个数为6个。
故答案为：D。
【分析】首先确定在直线l上的几个点可最多组成线段的条数，然后根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，可得出最多可画出圆的个数。
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由作图可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵CD＝AD，
∴CD=BD=AD，
∴∠ACB=90°，
∴点D是△ACB的外心，
∴选项ABC结论正确，选项D结论错误，
故答案为：D.
【分析】根据作图的方法，三角形的外心等对每个选项一一判断即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接BC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∵∠D＝∠B＝40°
∴∠BAC＝90°-40°＝50°
【分析】连接BC，证明∠ACB＝90°，结合∠D＝∠B＝40°，再利用三角形的内角和定理可得答案．
4．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵AC是 的直径，
∴∠ABC= 90°，
∵BPC= ∠BAC = 60°，
∴∠ACB =30°，
∵的半径为6，
∴AC=12，
∴AB=AC=6，
故答案为：D.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出∠ABC= 90°，再求出∠ACB =30°，最后计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
如图所示，连接，过点作于，
∵是等边的外接圆，，
∴，平分，是弦的垂直平分线，
∴，
∴在中，，
设，则，
∴，即，解得，（舍去），，
∴
∴的半径是，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于，设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，再求出，即可得到的半径是。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；
②若这个点在象限内，
∵，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）），（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）．
∴共12个，故答案为：C．
【分析】分两种情况：①若这个点在坐标轴上，②若这个点在象限内，据此分别解答即可.
7．【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，
最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），
在 中， ， ，则 .
，
长度的最小值 .
故答案为：A.
【分析】以AC为直径作圆，圆心为M，作MF⊥AB于点F，由题意知∠AEC=90°，连接BM与圆相交于点E，此时BE取得最小值，在Rt△BCM中，应用勾股定理求出BM，据此求解.
8．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵ ，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故答案为：B.
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE, 由E是 的外心，得到△ABE，△ACE是等腰三角形，接着得到PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，得到AF=BF=10， AD=CD=8，接着由勾股定理逆定理得到△ADF是直角三角形，再由S△ABC= ，即可得到.
9．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵∠A＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°-∠A-∠ABC＝45°，
连接OA，OB，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，AB=
∵
∴OA＝1，
∴的弧长=
故答案为：
【分析】根据三角形内角和求出∠C的度数，连接OA，OB，得到∠AOB＝2∠C＝90°，证得△AOB是等腰直角三角形，求出OA＝1，根据弧长公式计算可得
10．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接
，
，
是等腰直角三角形，
又，
∴，
∴的直径为，
故答案为： ．
【分析】根据题意先求出△BOC是等腰直角三角形，再求出BO的值，最后计算求解即可。
11．【答案】①②③
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①由正方形的性质得，
平分，
，
，，
，故①正确；
②，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直角三角形，
∴为的外心；故②正确；
③，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，故④错误，
综上，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③.
【分析】根据正方形的性质可得∠BAC=∠ACB=45°，由角平分线的概念可得∠BAE=∠BCF=22.5°，则∠ACF=∠ACB+∠BCF=67.5°，根据同角的余角相等可得∠F=∠AEB=90°-∠BAE，据此判断①；由①的结论可得AC=AF，由角平分线的性质可得FG=CG，然后利用内心的概念可判断②；利用SAS证明△ABG≌△DCG，得到∠AGB=∠DGC，则∠AGB+∠DGA=∠DGC+∠DGA=90°，据此判断③；由全等三角形的性质可得∠CDG=∠BAG=∠CAG，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DCH∽△ACE，然后根据相似三角形的性质以及三角函数的概念可判断④.
12．【答案】；
【知识点】三角形的外接圆与外心；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解： 为直角三角形，
的外心在斜边 的中点 上（直角三角形的外心在斜边中点处），
，
，
，
连接 ，如图，
设 交 于点P，
∵点 是由O关于 对称而来，
∴直线 垂直平分 （对称的性质），
为 中点，
，
，
∵直线 与 垂直，
，
，
∵直线 过 ，
，
，
故答案为 ．
【分析】因为三角形ABC为直角三角形，直角三角形的外心在斜边中点处，三角形AOB的外心在斜边AB的中点O'上，可得O'（2，），设OO'交于点P，根据对称的性质直线垂直平分OO'，得到P（1，），由两直线互相垂直知道，P在直线上，代入可得b的值。
13．【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，当点P′与（1，2）重合，满足条件的点Q有3个.
当点P’与（﹣1，2）重合时.满足条件的点Q有3个.
故答案为：6.
【分析】根据轴对称的性质和等圆或同圆的半径相等，分别画出点P与(1，2)或(-1，2)重合时，满足条件的点Q'，即可得出结论.
14．【答案】解：⑴
⑵135°
⑶如图，点即为所求作．
⑷如图，点即为所求作．
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，
在Rt△ADC中，AD=1，CD=2，
∴.
故答案为：
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，
∵CN垂直平分AI，
∴AC=IC，
∴∠ACI=2∠FCA，
∴△ADB∽△CAI，
∴∠DAB=∠ACI=2∠FCA，
∵AB=AD，
∴AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，
∴△ADJ是等腰直角三角形，
∴∠DAJ=45°，
∴∠DAC=135°.
故答案为：135°
【分析】（1）在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠FCA的度数.
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，利用线段垂直平分线的性质可证得AC=IC，利用等腰三角形的性质可证得∠ACI=2∠FCA，同时可得到△ADB∽△CAI，利用相似三角形的对应角相等可证得∠DAB=∠ACI=2∠FCA，因此可得到AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，可推出△ADJ是等腰直角三角形，可知∠DAJ=45°，即可求出∠DAC的度数.
（3）利用三角形的外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，据此可作出△ADC的外接圆的圆心O.
（4）取格点J，K，连接JK交格线于点D，连接DF交AD于点G，可确定出点G的位置.
15．【答案】（1）解：由题意可得：AE＝CE，∠AED＝90°，
∵AC＝5，
∴AE＝，
∵tanA＝＝，
∴；
（2）解：如图，过点C作于H，延长交于点F，
，，
，
，
设，，
，
∴
（负值舍去），
，，
，
，
，
，
设，，
则，
，
，
，
，
，，
由题意可得：，
，
，
；
（3）解：如图，过点C作于H，取的中点O，连接，，过点O作于G，
，
，
点F是的中点，点O是的中点，
，
点F在以点O为圆心，为半径的圆上运动，
当点F在的延长线上时，有最大值，
，点O是的中点，
，，
，
又，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理可得：，
的最大值为.
【知识点】确定圆的条件；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 (1)由轴对称的性质得出AE=CE，∠AED=90°， 根据正切的定义求DE长即可；
(2) 过点C作于H，延长交于点F，设，， 在Rt△ACH中，根据勾股定理建立方程求出AB长， 设，，由正切的定义得到， 依此建立方程求出AF，再求出DF，则可求出AD长；
(3)根据三角形的中位线定理可得 ，则点F在以点O为圆心，OF为半径的圆上运动，即当点F在CO的延长线上时，CF有最大值，根据三角形中位线定理求出OH，证明 ，根据相似比的性质求出HG、OG，从而求出CG，最后在中，根据勾股定理求CF即可.
16．【答案】（1）解：（i）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
（ii）根据相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质解题：① ；② ；③ ；
（拓展延伸）
（2）解：如图，在 上截取 ，过点 作 ，分别交 ， 于 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 是 的高，
又∵ ， ， 分别是 ， 的高，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ， 分别是 和 的高，
， ， ，
由（1）可知 ，
∴ .
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）（ⅰ）利用平行线的性质结合已知条件可证得∠A'B'C'=∠ABC，根据可证得结论；
（ⅱ）①根据相似三角形的性质可得答案；②由相似三角形的判定定理可得答案；③根据等腰三角形的性质可得答案；
（2）在A'D'上截取A′E＝AD，过点E作FG∥B′C′，分别交A′B′、A′C′于F、G，易证△A'FG∽△A'B'C'，利用相似三角形的对应边成比例得比例式；再证明FG=BC，由△A'FG≌△ABC，可证得△ABC∽△A'B'C'.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 28.2 过三点的圆 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；确定圆的条件
【解析】【解答】解：直线l上的四个点A、B、C、D可以最多组成六条不同的线段，它们分别为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，又因为点P不在直线l上，所以最多画出圆的个数为6个。
故答案为：D。
【分析】首先确定在直线l上的几个点可最多组成线段的条数，然后根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，可得出最多可画出圆的个数。
2．（2023·长沙模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（ ）
A．直线MN是线段BC的垂直平分线 B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90° D．点D为△ABC的内心
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由作图可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵CD＝AD，
∴CD=BD=AD，
∴∠ACB=90°，
∴点D是△ACB的外心，
∴选项ABC结论正确，选项D结论错误，
故答案为：D.
【分析】根据作图的方法，三角形的外心等对每个选项一一判断即可。
3．（2023·玉溪模拟）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接BC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∵∠D＝∠B＝40°
∴∠BAC＝90°-40°＝50°
【分析】连接BC，证明∠ACB＝90°，结合∠D＝∠B＝40°，再利用三角形的内角和定理可得答案．
4．（2023·安宁模拟）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若的半径为6，，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵AC是 的直径，
∴∠ABC= 90°，
∵BPC= ∠BAC = 60°，
∴∠ACB =30°，
∵的半径为6，
∴AC=12，
∴AB=AC=6，
故答案为：D.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出∠ABC= 90°，再求出∠ACB =30°，最后计算求解即可。
5．（2023·黄岛模拟）如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
如图所示，连接，过点作于，
∵是等边的外接圆，，
∴，平分，是弦的垂直平分线，
∴，
∴在中，，
设，则，
∴，即，解得，（舍去），，
∴
∴的半径是，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于，设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，再求出，即可得到的半径是。
6．（2021九上·苏州月考）已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；
②若这个点在象限内，
∵，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）），（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）．
∴共12个，故答案为：C．
【分析】分两种情况：①若这个点在坐标轴上，②若这个点在象限内，据此分别解答即可.
7．（2021九上·灌云期中）如图，在 中， ∠ACB=90°， cm， cm. 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，
最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），
在 中， ， ，则 .
，
长度的最小值 .
故答案为：A.
【分析】以AC为直径作圆，圆心为M，作MF⊥AB于点F，由题意知∠AEC=90°，连接BM与圆相交于点E，此时BE取得最小值，在Rt△BCM中，应用勾股定理求出BM，据此求解.
8．（2021九上·富县期末）如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵ ，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故答案为：B.
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE, 由E是 的外心，得到△ABE，△ACE是等腰三角形，接着得到PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，得到AF=BF=10， AD=CD=8，接着由勾股定理逆定理得到△ADF是直角三角形，再由S△ABC= ，即可得到.
二、填空题
9．（2023·长丰模拟）如图，内接于圆O．若，，，则的弧长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵∠A＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°-∠A-∠ABC＝45°，
连接OA，OB，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，AB=
∵
∴OA＝1，
∴的弧长=
故答案为：
【分析】根据三角形内角和求出∠C的度数，连接OA，OB，得到∠AOB＝2∠C＝90°，证得△AOB是等腰直角三角形，求出OA＝1，根据弧长公式计算可得
10．（2023·黑龙江模拟）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，连接
，
，
是等腰直角三角形，
又，
∴，
∴的直径为，
故答案为： ．
【分析】根据题意先求出△BOC是等腰直角三角形，再求出BO的值，最后计算求解即可。
11．（2023九下·咸宁月考）如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转90°得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②G为的外心；③；④．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①由正方形的性质得，
平分，
，
，，
，故①正确；
②，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直角三角形，
∴为的外心；故②正确；
③，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，故④错误，
综上，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③.
【分析】根据正方形的性质可得∠BAC=∠ACB=45°，由角平分线的概念可得∠BAE=∠BCF=22.5°，则∠ACF=∠ACB+∠BCF=67.5°，根据同角的余角相等可得∠F=∠AEB=90°-∠BAE，据此判断①；由①的结论可得AC=AF，由角平分线的性质可得FG=CG，然后利用内心的概念可判断②；利用SAS证明△ABG≌△DCG，得到∠AGB=∠DGC，则∠AGB+∠DGA=∠DGC+∠DGA=90°，据此判断③；由全等三角形的性质可得∠CDG=∠BAG=∠CAG，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DCH∽△ACE，然后根据相似三角形的性质以及三角函数的概念可判断④.
12．（2021·天河模拟）已知点 ，原点O关于一次函数 的对称点 恰好与 的外心重合，则点 的坐标为 ，b的值为 ．
【答案】；
【知识点】三角形的外接圆与外心；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解： 为直角三角形，
的外心在斜边 的中点 上（直角三角形的外心在斜边中点处），
，
，
，
连接 ，如图，
设 交 于点P，
∵点 是由O关于 对称而来，
∴直线 垂直平分 （对称的性质），
为 中点，
，
，
∵直线 与 垂直，
，
，
∵直线 过 ，
，
，
故答案为 ．
【分析】因为三角形ABC为直角三角形，直角三角形的外心在斜边中点处，三角形AOB的外心在斜边AB的中点O'上，可得O'（2，），设OO'交于点P，根据对称的性质直线垂直平分OO'，得到P（1，），由两直线互相垂直知道，P在直线上，代入可得b的值。
13．（2022·成都模拟）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图，若“心形”图形的顶点A，B，C，D，E，F，G均为整点，已知点P（3，4），线段PQ的长为，PQ关于过点M（0，5）的直线l对称得到P'Q'，点P的对应点为P′，当点P′恰好落在“心形”图形边的整点上时，点Q'也落在“心形”图形边的整点上，则这样的点Q′共有 个.
【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，当点P′与（1，2）重合，满足条件的点Q有3个.
当点P’与（﹣1，2）重合时.满足条件的点Q有3个.
故答案为：6.
【分析】根据轴对称的性质和等圆或同圆的半径相等，分别画出点P与(1，2)或(-1，2)重合时，满足条件的点Q'，即可得出结论.
三、作图题
14．（2023·武汉模拟）如图是由边长为的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示．画图结果用实线表示，完成下列问题：
⑴ ▲ ；
⑶将边绕点顺时针旋转得到线段则 ▲ ；
⑶画出的外接圆的圆心；
⑷在上确定一点，使．
【答案】解：⑴
⑵135°
⑶如图，点即为所求作．
⑷如图，点即为所求作．
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，
在Rt△ADC中，AD=1，CD=2，
∴.
故答案为：
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，
∵CN垂直平分AI，
∴AC=IC，
∴∠ACI=2∠FCA，
∴△ADB∽△CAI，
∴∠DAB=∠ACI=2∠FCA，
∵AB=AD，
∴AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，
∴△ADJ是等腰直角三角形，
∴∠DAJ=45°，
∴∠DAC=135°.
故答案为：135°
【分析】（1）在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠FCA的度数.
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，利用线段垂直平分线的性质可证得AC=IC，利用等腰三角形的性质可证得∠ACI=2∠FCA，同时可得到△ADB∽△CAI，利用相似三角形的对应角相等可证得∠DAB=∠ACI=2∠FCA，因此可得到AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，可推出△ADJ是等腰直角三角形，可知∠DAJ=45°，即可求出∠DAC的度数.
（3）利用三角形的外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，据此可作出△ADC的外接圆的圆心O.
（4）取格点J，K，连接JK交格线于点D，连接DF交AD于点G，可确定出点G的位置.
四、综合题
15．（2022·成都模拟）在△ABC中，AC＝BC＝5，tanA＝，E分别是AB，AC边上的动点，作△ADE关于DE对称的图形△A′DE.
（1）如图1，当点A′恰好与点C重合，求DE的长；
（2）如图2，当点A’落在BC的延长线上，且A’E⊥AB，求AD的长；
（3）如图3，若AE=CE，连接A’B，F是A’B的中点，连接CF，在D点的运动过程中，求线段CF长度的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得：AE＝CE，∠AED＝90°，
∵AC＝5，
∴AE＝，
∵tanA＝＝，
∴；
（2）解：如图，过点C作于H，延长交于点F，
，，
，
，
设，，
，
∴
（负值舍去），
，，
，
，
，
，
设，，
则，
，
，
，
，
，，
由题意可得：，
，
，
；
（3）解：如图，过点C作于H，取的中点O，连接，，过点O作于G，
，
，
点F是的中点，点O是的中点，
，
点F在以点O为圆心，为半径的圆上运动，
当点F在的延长线上时，有最大值，
，点O是的中点，
，，
，
又，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理可得：，
的最大值为.
【知识点】确定圆的条件；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 (1)由轴对称的性质得出AE=CE，∠AED=90°， 根据正切的定义求DE长即可；
(2) 过点C作于H，延长交于点F，设，， 在Rt△ACH中，根据勾股定理建立方程求出AB长， 设，，由正切的定义得到， 依此建立方程求出AF，再求出DF，则可求出AD长；
(3)根据三角形的中位线定理可得 ，则点F在以点O为圆心，OF为半径的圆上运动，即当点F在CO的延长线上时，CF有最大值，根据三角形中位线定理求出OH，证明 ，根据相似比的性质求出HG、OG，从而求出CG，最后在中，根据勾股定理求CF即可.
16．（2021·玄武模拟）八上教材给出了命题“如果 ， ， 分别是 和 的高，那么 ”的证明，由此进一步思考……
（问题提出）
（1）在 和 中， ， 分别是 和 的高，如果 ， ， ，那么 和 全等吗？
（i）小红的思考
如图，先任意画出一个 ，然后按下列作法，作出一个满足条件的 ，作法如下：
①作 的外接圆
②过点 作 ，与 交于点
③连接 （点 与 重合）， （点 与 重合），得到
请说明小红所作的 .
（ii）小明的思考
如图，对于满足条件的 ， 和高 ， ；小明将 通过图形的变换，使边 与 重合， ， 相交于点 ，连接 ，易证
接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明.
如图，在 和 中， ， 分别是 和 的高，（ ），且 ， ，求证： .
【答案】（1）解：（i）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
（ii）根据相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质解题：① ；② ；③ ；
（拓展延伸）
（2）解：如图，在 上截取 ，过点 作 ，分别交 ， 于 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 是 的高，
又∵ ， ， 分别是 ， 的高，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ， 分别是 和 的高，
， ， ，
由（1）可知 ，
∴ .
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）（ⅰ）利用平行线的性质结合已知条件可证得∠A'B'C'=∠ABC，根据可证得结论；
（ⅱ）①根据相似三角形的性质可得答案；②由相似三角形的判定定理可得答案；③根据等腰三角形的性质可得答案；
（2）在A'D'上截取A′E＝AD，过点E作FG∥B′C′，分别交A′B′、A′C′于F、G，易证△A'FG∽△A'B'C'，利用相似三角形的对应边成比例得比例式；再证明FG=BC，由△A'FG≌△ABC，可证得△ABC∽△A'B'C'.
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