2023-2024学年初中数学九年级上册 28.3 圆心角和圆周角 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·广元）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵是的直径 ，∠BOD=124°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=56°，
∴∠ACD=∠AOD=×56°=28°；
故答案为：C.
【分析】利用邻补角的定义求出∠AOD的度数，再利用圆周角定理可得∠ACD=∠AOD，继而得解.
2．（2023·昆明模拟）如图，已知是的直径，内接于，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵是的直径，内接于，
∴∠BAD=90°，∠C=∠ADB，
∴，
故答案为：B.
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠BAD=90°，∠C=∠ADB，进而根据锐角三角函数的定义即可求解。
3．（2023·南山模拟）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．圆周角的度数等于圆心角度数的一半
【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短.故A错误；
B、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故B正确；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形.故C错误；
D、同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半.故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据线段的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定、圆周角定理分别判断各个选项即可.
4．（2023·深圳模拟）学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图1放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于A，B两点．点A，B的度数是，，这样小明就能得到的度数．请你帮忙算算的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由所给的量角器可得：∠C=，
故答案为：B。
【分析】根据圆周角定理，结合题意计算求解即可。
5．（2020九上·西华期中）如图，已知 是 的直径， 切 于点A， .则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：A. 是 的直径，∴∠AEB=90°，∵ ， ，正确；
B. ∵ ， ， 又 ， ， ，正确；
C. ∵ 所对的圆心角为 ， 所对的圆周角为 ， ，正确；
D. 只有 时，才可证得 ，故不一定正确；
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理可得∠AEB=90°，然后结合OC∥AE即可判断A；根据弧、圆周角的关系可得∠BAE=2∠BAC，由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC，推出∠BAE=∠BOC，然后结合平行线的判定定理可判断B；直接根据圆周角定理可判断C；只有 时，才可证得OD⊥AC，据此判断D.
6．（2023·兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，OM=ON，
∴∠ONM=∠OMN=35°，
∴∠AOB=70°，
∵，
∴∠AOC=35°，
故答案为：A
【分析】先根据题意结合等腰三角形的性质即可得到∠ONM=∠OMN=35°，进而根据圆周角定理即可得到∠AOB=70°，进而结合，即可求解。
7．（2023·苏州）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵弧CD=弧BD，
∴∠A=∠COD=∠BOD，
∵S1∶S2=2∶3，
∴（AO·CH）∶（OB·BE）=2∶3，
∴CH∶BE=2∶3，
∵∠A=∠BOE，∠AHC=∠B=90°，
∴△ACH∽△OEB，
∴AH∶OB=CH∶BE=2∶3，
设AH=2m，则OB=OA=OC=3m，
∴OH=OA-AH=m，
Rt△COH中，由勾股定理得，CH=，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴tan∠ACO=tan∠A=CH∶AH=.
故答案为：A.
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，由圆周角定理得∠A=∠COD=∠BOD，根据等底三角形的面积之比等于高之比得CH∶BE=2∶3，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACH∽△OEB，由相似三角形对应边成比例可得AH∶OB=CH∶BE=2∶3，设AH=2m，则OB=OA=OC=3m，OH=OA-AH=m，Rt△COH中，由勾股定理表示出CH，由等边对等角及等角的同名三角函数值相等可求出答案.
8．（2023·攀枝花模拟）下列说法中正确的说法有（ ）个
①对角线相等的四边形是矩形②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；圆周角定理；相交弦定理
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等.
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误：
：同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确
⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；
【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可.
二、填空题
9．（2021·锡山模拟）如图，在 中， ， ，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】π-2
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴
.
故答案为：π-2.
【分析】根据圆周角定理得出 ，根据 可得出结论.
10．（2023·烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．
【答案】52.5°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OD，
∴∠BOD=130°-25°=105°，
∴∠BAD=∠BOD=52.5°；
故答案为：52.5°.
【分析】根据量角器及点B、D的位置可求出∠BOD的度数，再利用圆周角定理可得∠BAD=∠BOD，继而得解.
11．（2023九下·青山月考）如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F.若，，则 °.
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接CD，
，
即
故答案为： 40.
【分析】根据圆内接四边形的性质得∠BCF=∠A=55°，由三角形的内角和定理得∠ADC=95°，由对顶角相等及三角形外角性质即可算出∠E的度数.
12．（2023·郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得∠P所对应的圆心角的度数为110°，
∴360÷110≈3.27，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台，
故答案为：4
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠P所对应的圆心角的度数，进而结合题意即可求解。
13．（2023·株洲）如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则 度．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BOC=120°，
∵∠BOC为△COD的外角，
∴∠ODC+∠OCD=∠BOC，
∵，
∴∠ODC=80°，
故答案为：80
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠BOC的度数，进而根据三角形外角的性质结合题意即可求解。
三、解答题
14．（2023·泗洪模拟）如图，是的内接三角形，点D是的中点，弦交于点E.与相似吗？为什么？
【答案】解：相似，理由如下：∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据中点的概念结合圆周角定理可得∠ECD=∠DBC，然后根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明.
15．（2023九上·永嘉期末）如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，，，.求证：.
【答案】证明：作，连接.
∵，，
∴，
∴四点共圆，
∴，
又，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又∵，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 作GH⊥AB，连接EO，首先根据圆内接四边形的性质逆用判断出G、O、F、E四点共圆，根据圆周角定理得∠GFH=∠EGO，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△GHF∽△OGE，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得GH∥CD，由平行线分线段成比例定理及相似三角形对应边成比例可得 ，据此结合圆的半径相等即可得出结论了.
四、作图题
16．（2023·武昌模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点已知的圆心在格点上，圆上，两点均在格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，点在圆上，请在直径下方的圆上画出点，使；并在网格中找点，使为等腰直角三角形，且．
（2）在图2中，为格点，在直径下方的圆上画出点，使得；并在线段上画出点，使得．
【答案】（1）解：如图1中，点，点即为所求；
（2）解：如图2中，点，点即为所求．
【知识点】圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）在直线AB的下方取一点E，使得∠AOE=90°，作直径CD，连接AD，延长AD交CE的延长线于点F，点E，点F即为所求；
（2）构造平行四边形AMNO，连接ON交圆O于点G，连接BG并延长交AD于点H，点G，点H即为所求.
五、综合题
17．（2023·武汉）如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点E，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可证得∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；再根据∠ACB=2∠BAC，可证得结论.
（2）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证得AE=BE，同时可证得∠BOD=∠BOC，利用在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可证得BC=BD，可求出BD的长，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△BOE中，利用勾股定理可得到关于OB的方程，解方程求出OB的长，即可得到圆O的半径.
18．（2023九下·江岸月考）如图，AB是圆O的直径，C为圆上的一点，D为弧BC的中点，连接BC，AD，过点C作AD的垂线交AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）AB=5，AD=4，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵D为弧BC的中点
∴CAD=BAD
又∵CE⊥AD
∴ACE=AEC
∴AC=AE
（2）解：连接OD交BC于点F
OD垂直平分BC
∵AB=5AD=4∴BD=3
设OF=x则AC=AE=2x
在OF中
在DF中
即
∴AE=
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由中点的概念以及圆周角定理可得∠CAD=∠BAD，由垂直的定义结合内角和定理可得∠ACE=∠AEC，据此证明；
（2）连接OD交BC于点F，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据勾股定理可得BD的值，设OF=x，则AC=AE=2x，然后在Rt△BOF、Rt△BDF中，利用勾股定理进行计算.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 28.3 圆心角和圆周角 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·广元）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·昆明模拟）如图，已知是的直径，内接于，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·南山模拟）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．圆周角的度数等于圆心角度数的一半
4．（2023·深圳模拟）学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图1放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于A，B两点．点A，B的度数是，，这样小明就能得到的度数．请你帮忙算算的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·西华期中）如图，已知 是 的直径， 切 于点A， .则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·苏州）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·攀枝花模拟）下列说法中正确的说法有（ ）个
①对角线相等的四边形是矩形②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2021·锡山模拟）如图，在 中， ， ，则图中阴影部分的面积为 .
10．（2023·烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．
11．（2023九下·青山月考）如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F.若，，则 °.
12．（2023·郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
13．（2023·株洲）如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则 度．
三、解答题
14．（2023·泗洪模拟）如图，是的内接三角形，点D是的中点，弦交于点E.与相似吗？为什么？
15．（2023九上·永嘉期末）如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，，，.求证：.
四、作图题
16．（2023·武昌模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点已知的圆心在格点上，圆上，两点均在格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，点在圆上，请在直径下方的圆上画出点，使；并在网格中找点，使为等腰直角三角形，且．
（2）在图2中，为格点，在直径下方的圆上画出点，使得；并在线段上画出点，使得．
五、综合题
17．（2023·武汉）如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
18．（2023九下·江岸月考）如图，AB是圆O的直径，C为圆上的一点，D为弧BC的中点，连接BC，AD，过点C作AD的垂线交AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）AB=5，AD=4，求AE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵是的直径 ，∠BOD=124°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=56°，
∴∠ACD=∠AOD=×56°=28°；
故答案为：C.
【分析】利用邻补角的定义求出∠AOD的度数，再利用圆周角定理可得∠ACD=∠AOD，继而得解.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵是的直径，内接于，
∴∠BAD=90°，∠C=∠ADB，
∴，
故答案为：B.
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠BAD=90°，∠C=∠ADB，进而根据锐角三角函数的定义即可求解。
3．【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短.故A错误；
B、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故B正确；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形.故C错误；
D、同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半.故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据线段的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定、圆周角定理分别判断各个选项即可.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由所给的量角器可得：∠C=，
故答案为：B。
【分析】根据圆周角定理，结合题意计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：A. 是 的直径，∴∠AEB=90°，∵ ， ，正确；
B. ∵ ， ， 又 ， ， ，正确；
C. ∵ 所对的圆心角为 ， 所对的圆周角为 ， ，正确；
D. 只有 时，才可证得 ，故不一定正确；
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理可得∠AEB=90°，然后结合OC∥AE即可判断A；根据弧、圆周角的关系可得∠BAE=2∠BAC，由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC，推出∠BAE=∠BOC，然后结合平行线的判定定理可判断B；直接根据圆周角定理可判断C；只有 时，才可证得OD⊥AC，据此判断D.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，OM=ON，
∴∠ONM=∠OMN=35°，
∴∠AOB=70°，
∵，
∴∠AOC=35°，
故答案为：A
【分析】先根据题意结合等腰三角形的性质即可得到∠ONM=∠OMN=35°，进而根据圆周角定理即可得到∠AOB=70°，进而结合，即可求解。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵弧CD=弧BD，
∴∠A=∠COD=∠BOD，
∵S1∶S2=2∶3，
∴（AO·CH）∶（OB·BE）=2∶3，
∴CH∶BE=2∶3，
∵∠A=∠BOE，∠AHC=∠B=90°，
∴△ACH∽△OEB，
∴AH∶OB=CH∶BE=2∶3，
设AH=2m，则OB=OA=OC=3m，
∴OH=OA-AH=m，
Rt△COH中，由勾股定理得，CH=，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴tan∠ACO=tan∠A=CH∶AH=.
故答案为：A.
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，由圆周角定理得∠A=∠COD=∠BOD，根据等底三角形的面积之比等于高之比得CH∶BE=2∶3，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACH∽△OEB，由相似三角形对应边成比例可得AH∶OB=CH∶BE=2∶3，设AH=2m，则OB=OA=OC=3m，OH=OA-AH=m，Rt△COH中，由勾股定理表示出CH，由等边对等角及等角的同名三角函数值相等可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；圆周角定理；相交弦定理
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等.
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误：
：同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确
⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；
【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可.
9．【答案】π-2
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴
.
故答案为：π-2.
【分析】根据圆周角定理得出 ，根据 可得出结论.
10．【答案】52.5°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OD，
∴∠BOD=130°-25°=105°，
∴∠BAD=∠BOD=52.5°；
故答案为：52.5°.
【分析】根据量角器及点B、D的位置可求出∠BOD的度数，再利用圆周角定理可得∠BAD=∠BOD，继而得解.
11．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接CD，
，
即
故答案为： 40.
【分析】根据圆内接四边形的性质得∠BCF=∠A=55°，由三角形的内角和定理得∠ADC=95°，由对顶角相等及三角形外角性质即可算出∠E的度数.
12．【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得∠P所对应的圆心角的度数为110°，
∴360÷110≈3.27，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台，
故答案为：4
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠P所对应的圆心角的度数，进而结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BOC=120°，
∵∠BOC为△COD的外角，
∴∠ODC+∠OCD=∠BOC，
∵，
∴∠ODC=80°，
故答案为：80
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠BOC的度数，进而根据三角形外角的性质结合题意即可求解。
14．【答案】解：相似，理由如下：∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据中点的概念结合圆周角定理可得∠ECD=∠DBC，然后根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明.
15．【答案】证明：作，连接.
∵，，
∴，
∴四点共圆，
∴，
又，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又∵，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 作GH⊥AB，连接EO，首先根据圆内接四边形的性质逆用判断出G、O、F、E四点共圆，根据圆周角定理得∠GFH=∠EGO，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△GHF∽△OGE，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得GH∥CD，由平行线分线段成比例定理及相似三角形对应边成比例可得 ，据此结合圆的半径相等即可得出结论了.
16．【答案】（1）解：如图1中，点，点即为所求；
（2）解：如图2中，点，点即为所求．
【知识点】圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）在直线AB的下方取一点E，使得∠AOE=90°，作直径CD，连接AD，延长AD交CE的延长线于点F，点E，点F即为所求；
（2）构造平行四边形AMNO，连接ON交圆O于点G，连接BG并延长交AD于点H，点G，点H即为所求.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点E，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可证得∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；再根据∠ACB=2∠BAC，可证得结论.
（2）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证得AE=BE，同时可证得∠BOD=∠BOC，利用在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可证得BC=BD，可求出BD的长，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△BOE中，利用勾股定理可得到关于OB的方程，解方程求出OB的长，即可得到圆O的半径.
18．【答案】（1）证明：∵D为弧BC的中点
∴CAD=BAD
又∵CE⊥AD
∴ACE=AEC
∴AC=AE
（2）解：连接OD交BC于点F
OD垂直平分BC
∵AB=5AD=4∴BD=3
设OF=x则AC=AE=2x
在OF中
在DF中
即
∴AE=
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由中点的概念以及圆周角定理可得∠CAD=∠BAD，由垂直的定义结合内角和定理可得∠ACE=∠AEC，据此证明；
（2）连接OD交BC于点F，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据勾股定理可得BD的值，设OF=x，则AC=AE=2x，然后在Rt△BOF、Rt△BDF中，利用勾股定理进行计算.
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