2023-2024学年初中数学八年级上册 28.3 圆心角和圆周角 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022九上·翁源期末）如图，是的直径，，则等于（ ）
A．32° B．58° C．60° D．64°
2．（2023九上·富阳期末）如图，是的直径，是上任意一点（不与，重合），设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·吴兴期末）如图，在正方形中，以边为直径在其内部作半圆，F是半圆上一点，连接，，过点D作于点E，点G是线段ED上一点，，连接并延长交于点P，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·镇海区期末）如图，是的直径，点C、D在上，且在两侧，于点H交线段于E.若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·东城期末）如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且， 则的半径为（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
6．（2022九上·河北期末）如图，在中，以为直径的分别与交于点F，D，点F是的中点，连接交于点E．若．连接，则弦的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
7．（2023九上·温州期末）如图，已知四边形两条对角线相交于点，，，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．16
8．（2022九上·顺庆月考）如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，∠DAB的平分线与CD交于点E，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF，DF．有下列结论：①DE＝BC；②DF＝BF；③∠CDF＝∠CBF；④B，C，D，F四点在同一个圆上．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023九上·杭州期末）如图，线段是的直径，弦于点H，点是弧上任意一点（不与B，C重合），，.延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连结交于点F，则 ， .
10．（2023九上·沭阳期末）如图，点A，B，C在上，，则等于 °.
11．（2023九上·余姚期末）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为6的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 .
12．（2023九上·平昌期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①CEF∽ACD；②=2；③sin∠CAD=；④AB=BF.其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）.
13．（2023九上·鄞州期末）如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC= cm.
三、解答题
14．（2023九上·靖江期末）如图，已知四边形内接于.求证：.
15．（2022九上·中山期末）如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离．
四、综合题
16．（2023九上·江北期末）如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H.
（1）求的度数.
（2）如图2，当点P是的中点时，
①求证：是等腰三角形.
②求的值.
（3）如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式.
17．（2023九上·武义期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等腰直角三角形，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴的正半轴上，点D在直线BC上运动，连结AD与y轴交于点E，连结BE.
（1）当点D从点C运动到点B（C，B两点除外）时，求证：.
（2）如图2，过B，D，E三点作⊙H与y轴的另一个交点为G，延长EH交⊙H于点F，连结GF，DG，BF.求的度数.
（3）在（2）的条件下，若，点D在运动过程中，中是否有一个角等于，如果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：D.
【分析】圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵是的直径，是上任意一点（不与，重合），
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
故A、B选项错误；
∴，
∴，
故C选项错误，D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则△ABC是直角三角形，接下来根据三角函数的概念进行判断.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，过点P作于点M，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接BF，过点P作PM⊥BF于点M，由圆周角定理可得∠AFB=90°，根据三角函数的概念可设BF=x，AF=2x，由勾股定理以及正方形的性质可得AB=BC=x，由同角的余角相等可得∠PBM=∠BAF，根据三角函数的概念可设PM=y，BM=2y，则BP=y，易得MF=PM=y，然后根据BM=BF-MF可求出的值，由CP=BC-BP表示出CP，据此求解.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
在中，，
∴
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得
连接
∵为直径，
∴，而，
∴，
∴，
∴，而，
解得（负根舍去）
∴.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据三角函数的概念可设AC=4x，则AB=5x，BC=3x，CB=CE=3x，AE=x，证明△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质可得AH，连接BD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，证明△ADH∽△ABD，然后根据相似三角形的性质进行计算.
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】连接，
在中，是直径，
，
在中，
，，
故答案为：B．
【分析】连接BC，利用圆周角的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，最后求出OA的长即可。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
为的直径，
，
点是的中点，
，，
，（等腰三角形三线合一），
，
，
，
又，
，
解得或（舍去），
，
故答案为：A．
【分析】连接DF，先求出，再利用勾股定理可得，将数据代入求出BC的长，最后求出DF的长即可。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；确定圆的条件；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，
∵AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AF＝AE＋CE＝3＋1＝4，EF＝AE＋AF＝3＋4＝7，
∵∠CBD=∠F，∠DEF=∠BEC，
∴△BEC∽△FED，
∴
∴BE DE＝CE EF＝1×7＝7，
故答案为：B.
【分析】易得点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，根据圆周角定理得∠CBD=∠F，然后判断出△BEC∽△FED，由相似三角形对应边成比例可得BE DE＝CE EF，从而即可求出答案．
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，CD∥AB，∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB=∠DEA=∠DAB=45°，
∴DA=DE，
∴DE=BC，故①正确；
∵CF⊥AE，
∴∠EFC=90°，
∵∠DEA=∠FEC=45°，
∴∠ECF=90°-45°=45°=∠FEC，
∴EF=FC，
∴∠DEF=180°-∠FEC=180°-45°=135°，
∵∠BCF=∠FEC+∠DCB=45°+90°=135°，
∴∠DEF=∠BCF，
在△DFE和△BCF中
∴△DFE≌△BCF（SAS）
∴DF=BF，故②正确；
∵△DFE≌△BCF，
∴∠CDF＝∠CBF，故③正确；
∴∠CFB=∠DFE，
∴∠CFB+∠AFB=∠AFB+∠DFE=90°，
∴∠DFB=∠DCB=90°，
∴点B，C，D，F四点共圆，故④正确；
∴正确结论的个数有4个.
故答案为：D
【分析】利用矩形的性质可证得AD=BC，CD∥AB，∠DAB=∠DCB=90°，利用平行线的性质和角平分线的定义可推出∠DAE=∠EAB=∠DEA，利用等边对等角可推出DE=BC，可对①作出判断；再利用垂直的定义和三角形的内角和定理可求出∠ECF的度数，再证明∠DEF=∠BCF，利用SAS证明△DFE≌△BCF，利用全等三角形的性质可得到DF=BF，可对②作出判断；同时可证得∠CDF=∠CBF，可对③作出判断；然后证明∠DFB=∠DCB=90°利用圆周角定理可证得点B，C，D，F四点共圆，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】2.5；4
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；相交弦定理
【解析】【解答】解：连接.
∵，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴，
∴，即；
连接.
∵是直径，
∴，
，
，
，
，
故答案为：2.5，4.
【分析】连接OC，由垂直的概念可得∠CHO=90°，设OC=r，则OH=r-1，在Rt△COH中，根据勾股定理可得r的值，连接AM，由圆周角定理可得∠AMB=90°，根据同角的余角相等可得∠E=∠MAB，证明△EHM∽△NHF，根据相似三角形的性质以及相交弦定理可得HE·HF=AH·HB，据此计算.
10．【答案】55
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∴
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB=70°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；圆心角、弧、弦的关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当⊙O过C时，且在等腰直角△ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大，
过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝6，AC＝BC，
∴AC＝BC＝
∵S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，
∴AC OP＋BC ON＋AB OM＝S△ABC＝AC BC，
设OM＝x，则OP＝ON＝x，
∴，
解得：x＝，
即OP＝ON＝，
在Rt△CON中，，
故答案为：.
【分析】根据题意画出相应的图形，易得圆心O就是三角形的内心，当⊙O过C时，且在等腰直角△ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大，过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，根据同圆中等弦的圆心距相等得OP＝OM＝ON，根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC的长，进而根据S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，建立方程，求出OP的长，最后再根据等腰直角三角形的性质即可求出OC的长，从而问题得以解决.
12．【答案】①②④
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC于点F，
∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△ADC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴，
∵CE=BC=AD，
∴=2，
∴AF=2CE，故②正确，
设CF=a，AF=2a，由DF2=AF CF=2a2，得DF=a，AD=a
∴sin∠CAD=，故③错误.
连接AE，
∵∠ABE+∠AFE=90°，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴∠AFB=∠AEB，
∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，
∴△ABE≌△CDE，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，
∴∠BAF=∠CED，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，由平行线的性质可得∠DAC=∠ECF，然后根据相似三角形的判定定理判断①；易证△CEF∽△ADF，根据相似三角形的性质可判断②；设CF=a，AF=2a，由DF2=AF CF=2a2得DF=a，由勾股定理可得AD=a，然后根据三角函数的概念可判断③；连接AE， 则A、B、E、F四点共圆，∠AFB=∠AEB，证明△ABE≌△CDE，得到∠AEB=∠CED，由同角的补角相等可得∠BAF=∠CED，则∠BAF=∠BFA，据此判断④.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E.
∵AE⊥AC
∴∠CAE＝90°
∵BD为⊙O的直径
∴∠BAD＝∠BCD＝90°
∵CA平分∠BCD
∴∠BCA＝∠ACD＝45°
∴∠E＝∠ACD＝45°
∴AC＝AE
∵∠CAD+∠DAE＝90°，∠BAC+∠CAD＝90°
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠BCA＝∠E＝45°
在△ABC≌△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA）
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E，根据直径所对的圆周角是直角得∠BAD＝∠BCD＝90°，根据角平分线的定义及三角形的内角和定理得∠E＝∠ACD＝45°，根据等角对等边得AC=AE，根据同角的余角相等得∠BAC＝∠DAE，从而由ASA判断△ABC≌△ADE，根据全等三角形的面积相等及割补法可得S△ADE=S四边形ABCD=30，从而根据等腰直角三角形的面积计算方法建立方程即可求出AC的长.
14．【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OD、OB，由圆周角定理可得∠C=∠BOD，∠A=(360°-∠BOD)，据此证明.
15．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的直径 ，
∴ ，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得。
16．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
（2）解：①∵P是的中点，是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
②∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴.
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系可得∠DBA=∠DBC=∠CAB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠DBA+∠DBC+∠CAB=3∠DBA=90°，据此可得∠DBA的度数；
（2）①由圆周角定理可得∠ADP=∠BDP=45°，则∠DAB=60°，由内角和定理可得∠DGA=75°，∠AMG=75°，则AM=AG，据此证明；
②同（1）求出∠DBA的度数，则∠ADP=∠BDP=45°，证明△IDM∽△ADG，然后根据相似三角形的性质以及三角函数的概念进行计算；
（3）根据圆周角定理可得∠DBA=∠CDB，结合平行线的性质可得∠CDM=∠DGA=∠PGH=∠HNB=∠DNC，证明△CDM∽△DNC，根据相似三角形的性质可得DN·CM=CD2=9，易得AC、MC、DN，然后根据三角形的面积公式以及三角函数的概念进行解答.
17．【答案】（1）证明：∵为等腰直角三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
又∵，，
∴，
在等腰Rt中，，
∴，
∴
（3）解：①当时，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在等腰Rt中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当时，过点作⊥轴与点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在R中，∠EFB=30°，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或.
【知识点】坐标与图形性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得OA=OB，推出OC垂直平分AB，则∠BEO=∠AEO，由对顶角的性质可得∠AEO=∠CEO，据此可得结论；
（2）根据外角的性质可得∠CED=∠EGD+∠EDG，∠BEO=∠ECB+∠EBC，由圆周角定理可得∠EGD=∠EBD，∠BEO=∠CED，则∠EDG=∠ECB，据此求解；
（3）①当∠BEF=30°时，过点F作FM⊥x轴于点M，由同角的余角相等可得∠FBM=∠BEO，证明△EOB∽△BMF，根据三角函数的概念可得BE=BF，由相似三角形的性质可得OE=BM，OB=x，易得四边形OGFM为矩形，OG=FM，GF=OM，则FM=OG=GE=OB-x-x，根据等腰直角三角形的性质可得FM=4-x-x，则OB=FM=4-x-3x=4，求出x的值，进而可得点E的坐标；②当∠BFE=30°时，过点F作FN⊥x轴于点N，证明△OBE∽△NFB，同理求解即可.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 28.3 圆心角和圆周角 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022九上·翁源期末）如图，是的直径，，则等于（ ）
A．32° B．58° C．60° D．64°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：D.
【分析】圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
2．（2023九上·富阳期末）如图，是的直径，是上任意一点（不与，重合），设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵是的直径，是上任意一点（不与，重合），
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
故A、B选项错误；
∴，
∴，
故C选项错误，D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则△ABC是直角三角形，接下来根据三角函数的概念进行判断.
3．（2023九上·吴兴期末）如图，在正方形中，以边为直径在其内部作半圆，F是半圆上一点，连接，，过点D作于点E，点G是线段ED上一点，，连接并延长交于点P，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接，过点P作于点M，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接BF，过点P作PM⊥BF于点M，由圆周角定理可得∠AFB=90°，根据三角函数的概念可设BF=x，AF=2x，由勾股定理以及正方形的性质可得AB=BC=x，由同角的余角相等可得∠PBM=∠BAF，根据三角函数的概念可设PM=y，BM=2y，则BP=y，易得MF=PM=y，然后根据BM=BF-MF可求出的值，由CP=BC-BP表示出CP，据此求解.
4．（2023九上·镇海区期末）如图，是的直径，点C、D在上，且在两侧，于点H交线段于E.若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
在中，，
∴
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得
连接
∵为直径，
∴，而，
∴，
∴，
∴，而，
解得（负根舍去）
∴.
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据三角函数的概念可设AC=4x，则AB=5x，BC=3x，CB=CE=3x，AE=x，证明△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质可得AH，连接BD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，证明△ADH∽△ABD，然后根据相似三角形的性质进行计算.
5．（2022九上·东城期末）如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且， 则的半径为（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】连接，
在中，是直径，
，
在中，
，，
故答案为：B．
【分析】连接BC，利用圆周角的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长，最后求出OA的长即可。
6．（2022九上·河北期末）如图，在中，以为直径的分别与交于点F，D，点F是的中点，连接交于点E．若．连接，则弦的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
为的直径，
，
点是的中点，
，，
，（等腰三角形三线合一），
，
，
，
又，
，
解得或（舍去），
，
故答案为：A．
【分析】连接DF，先求出，再利用勾股定理可得，将数据代入求出BC的长，最后求出DF的长即可。
7．（2023九上·温州期末）如图，已知四边形两条对角线相交于点，，，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】圆周角定理；确定圆的条件；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，
∵AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AF＝AE＋CE＝3＋1＝4，EF＝AE＋AF＝3＋4＝7，
∵∠CBD=∠F，∠DEF=∠BEC，
∴△BEC∽△FED，
∴
∴BE DE＝CE EF＝1×7＝7，
故答案为：B.
【分析】易得点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，根据圆周角定理得∠CBD=∠F，然后判断出△BEC∽△FED，由相似三角形对应边成比例可得BE DE＝CE EF，从而即可求出答案．
8．（2022九上·顺庆月考）如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，∠DAB的平分线与CD交于点E，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF，DF．有下列结论：①DE＝BC；②DF＝BF；③∠CDF＝∠CBF；④B，C，D，F四点在同一个圆上．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，CD∥AB，∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB=∠DEA=∠DAB=45°，
∴DA=DE，
∴DE=BC，故①正确；
∵CF⊥AE，
∴∠EFC=90°，
∵∠DEA=∠FEC=45°，
∴∠ECF=90°-45°=45°=∠FEC，
∴EF=FC，
∴∠DEF=180°-∠FEC=180°-45°=135°，
∵∠BCF=∠FEC+∠DCB=45°+90°=135°，
∴∠DEF=∠BCF，
在△DFE和△BCF中
∴△DFE≌△BCF（SAS）
∴DF=BF，故②正确；
∵△DFE≌△BCF，
∴∠CDF＝∠CBF，故③正确；
∴∠CFB=∠DFE，
∴∠CFB+∠AFB=∠AFB+∠DFE=90°，
∴∠DFB=∠DCB=90°，
∴点B，C，D，F四点共圆，故④正确；
∴正确结论的个数有4个.
故答案为：D
【分析】利用矩形的性质可证得AD=BC，CD∥AB，∠DAB=∠DCB=90°，利用平行线的性质和角平分线的定义可推出∠DAE=∠EAB=∠DEA，利用等边对等角可推出DE=BC，可对①作出判断；再利用垂直的定义和三角形的内角和定理可求出∠ECF的度数，再证明∠DEF=∠BCF，利用SAS证明△DFE≌△BCF，利用全等三角形的性质可得到DF=BF，可对②作出判断；同时可证得∠CDF=∠CBF，可对③作出判断；然后证明∠DFB=∠DCB=90°利用圆周角定理可证得点B，C，D，F四点共圆，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
9．（2023九上·杭州期末）如图，线段是的直径，弦于点H，点是弧上任意一点（不与B，C重合），，.延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连结交于点F，则 ， .
【答案】2.5；4
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；相交弦定理
【解析】【解答】解：连接.
∵，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴，
∴，即；
连接.
∵是直径，
∴，
，
，
，
，
故答案为：2.5，4.
【分析】连接OC，由垂直的概念可得∠CHO=90°，设OC=r，则OH=r-1，在Rt△COH中，根据勾股定理可得r的值，连接AM，由圆周角定理可得∠AMB=90°，根据同角的余角相等可得∠E=∠MAB，证明△EHM∽△NHF，根据相似三角形的性质以及相交弦定理可得HE·HF=AH·HB，据此计算.
10．（2023九上·沭阳期末）如图，点A，B，C在上，，则等于 °.
【答案】55
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∴
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB=70°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
11．（2023九上·余姚期末）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为6的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；圆心角、弧、弦的关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当⊙O过C时，且在等腰直角△ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大，
过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝6，AC＝BC，
∴AC＝BC＝
∵S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，
∴AC OP＋BC ON＋AB OM＝S△ABC＝AC BC，
设OM＝x，则OP＝ON＝x，
∴，
解得：x＝，
即OP＝ON＝，
在Rt△CON中，，
故答案为：.
【分析】根据题意画出相应的图形，易得圆心O就是三角形的内心，当⊙O过C时，且在等腰直角△ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大，过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，根据同圆中等弦的圆心距相等得OP＝OM＝ON，根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC的长，进而根据S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，建立方程，求出OP的长，最后再根据等腰直角三角形的性质即可求出OC的长，从而问题得以解决.
12．（2023九上·平昌期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①CEF∽ACD；②=2；③sin∠CAD=；④AB=BF.其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）.
【答案】①②④
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC于点F，
∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△ADC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴，
∵CE=BC=AD，
∴=2，
∴AF=2CE，故②正确，
设CF=a，AF=2a，由DF2=AF CF=2a2，得DF=a，AD=a
∴sin∠CAD=，故③错误.
连接AE，
∵∠ABE+∠AFE=90°，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴∠AFB=∠AEB，
∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，
∴△ABE≌△CDE，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，
∴∠BAF=∠CED，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，由平行线的性质可得∠DAC=∠ECF，然后根据相似三角形的判定定理判断①；易证△CEF∽△ADF，根据相似三角形的性质可判断②；设CF=a，AF=2a，由DF2=AF CF=2a2得DF=a，由勾股定理可得AD=a，然后根据三角函数的概念可判断③；连接AE， 则A、B、E、F四点共圆，∠AFB=∠AEB，证明△ABE≌△CDE，得到∠AEB=∠CED，由同角的补角相等可得∠BAF=∠CED，则∠BAF=∠BFA，据此判断④.
13．（2023九上·鄞州期末）如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC= cm.
【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E.
∵AE⊥AC
∴∠CAE＝90°
∵BD为⊙O的直径
∴∠BAD＝∠BCD＝90°
∵CA平分∠BCD
∴∠BCA＝∠ACD＝45°
∴∠E＝∠ACD＝45°
∴AC＝AE
∵∠CAD+∠DAE＝90°，∠BAC+∠CAD＝90°
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠BCA＝∠E＝45°
在△ABC≌△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA）
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E，根据直径所对的圆周角是直角得∠BAD＝∠BCD＝90°，根据角平分线的定义及三角形的内角和定理得∠E＝∠ACD＝45°，根据等角对等边得AC=AE，根据同角的余角相等得∠BAC＝∠DAE，从而由ASA判断△ABC≌△ADE，根据全等三角形的面积相等及割补法可得S△ADE=S四边形ABCD=30，从而根据等腰直角三角形的面积计算方法建立方程即可求出AC的长.
三、解答题
14．（2023九上·靖江期末）如图，已知四边形内接于.求证：.
【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OD、OB，由圆周角定理可得∠C=∠BOD，∠A=(360°-∠BOD)，据此证明.
15．（2022九上·中山期末）如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的直径 ，
∴ ，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得。
四、综合题
16．（2023九上·江北期末）如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H.
（1）求的度数.
（2）如图2，当点P是的中点时，
①求证：是等腰三角形.
②求的值.
（3）如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
（2）解：①∵P是的中点，是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
②∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴.
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系可得∠DBA=∠DBC=∠CAB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠DBA+∠DBC+∠CAB=3∠DBA=90°，据此可得∠DBA的度数；
（2）①由圆周角定理可得∠ADP=∠BDP=45°，则∠DAB=60°，由内角和定理可得∠DGA=75°，∠AMG=75°，则AM=AG，据此证明；
②同（1）求出∠DBA的度数，则∠ADP=∠BDP=45°，证明△IDM∽△ADG，然后根据相似三角形的性质以及三角函数的概念进行计算；
（3）根据圆周角定理可得∠DBA=∠CDB，结合平行线的性质可得∠CDM=∠DGA=∠PGH=∠HNB=∠DNC，证明△CDM∽△DNC，根据相似三角形的性质可得DN·CM=CD2=9，易得AC、MC、DN，然后根据三角形的面积公式以及三角函数的概念进行解答.
17．（2023九上·武义期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等腰直角三角形，点A，点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴的正半轴上，点D在直线BC上运动，连结AD与y轴交于点E，连结BE.
（1）当点D从点C运动到点B（C，B两点除外）时，求证：.
（2）如图2，过B，D，E三点作⊙H与y轴的另一个交点为G，延长EH交⊙H于点F，连结GF，DG，BF.求的度数.
（3）在（2）的条件下，若，点D在运动过程中，中是否有一个角等于，如果存在，求出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵为等腰直角三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
又∵，，
∴，
在等腰Rt中，，
∴，
∴
（3）解：①当时，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在等腰Rt中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当时，过点作⊥轴与点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在R中，∠EFB=30°，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或.
【知识点】坐标与图形性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得OA=OB，推出OC垂直平分AB，则∠BEO=∠AEO，由对顶角的性质可得∠AEO=∠CEO，据此可得结论；
（2）根据外角的性质可得∠CED=∠EGD+∠EDG，∠BEO=∠ECB+∠EBC，由圆周角定理可得∠EGD=∠EBD，∠BEO=∠CED，则∠EDG=∠ECB，据此求解；
（3）①当∠BEF=30°时，过点F作FM⊥x轴于点M，由同角的余角相等可得∠FBM=∠BEO，证明△EOB∽△BMF，根据三角函数的概念可得BE=BF，由相似三角形的性质可得OE=BM，OB=x，易得四边形OGFM为矩形，OG=FM，GF=OM，则FM=OG=GE=OB-x-x，根据等腰直角三角形的性质可得FM=4-x-x，则OB=FM=4-x-3x=4，求出x的值，进而可得点E的坐标；②当∠BFE=30°时，过点F作FN⊥x轴于点N，证明△OBE∽△NFB，同理求解即可.
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