2023-2024学年初中数学九年级上册 28.4 垂径定理 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·明水模拟）下列命题是假命题的是（ ）
A．两条平行线间的距离处处相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．正方形的两条对角线互相垂直平分
D．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
【答案】B
【知识点】正方形的性质；垂径定理；圆周角定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 两条平行线间的距离处处相等是真命题，故A不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B符合题意；
C、 正方形的两条对角线互相垂直平分是真命题，故C不符合题意；
D、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是真命题，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，利用两条平行线间的距离处处相等，可对A作出判断；利用垂径定理推论，可对B作出判断；利用正方形的性质，可对C作出判断；利用圆周角定理的推论，可对D作出判断.
2．（2023·临渭模拟）如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，连接OB，
∵OH⊥AB，AB=6，
∴AH=BH=3，
∵AM=2，
∴MH=AH-AM=1，
在Rt△HMO中，由勾股定理得OH=4，
在Rt△HBO中，利用勾股定理可得OB=5，即⊙O的半径为5.
故答案为：B.
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OB，由垂径定理得AH=BH=3，然后在Rt△HMO中与在Rt△HBO中，分别利用勾股定理算出OH、OB即可得出答案.
3．（2023九下·慈溪月考）下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误，符合题意；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误，符合题意；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误，符合题意；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误，符合题意；
⑤圆内接四边形的对角互补.说法正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理的推论、圆周角定理、等弧的概念、轴对称图形的定义、圆内接四边形的性质即可一一判断得出答案.
4．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A．2 B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．
连接OA、OB，
∵OC⊥AB，OA=OB
∴O即为此圆形镜子的圆心，
∵AC=1，OC=2，
∴OA= = = ．
故答案为：B．
【分析】先分别作出AB、BD的中垂线找到圆心，再利用勾股定理即可求解。
5．（2020九上·南宁期末）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：圆周角的定义是：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角叫圆周角.
A、图中的角的顶点不在圆上，不是圆周角;
B、图中的角的顶点也不在圆上，不是圆周角;
C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角;
D.图中的角的顶点在圆上，而两边与圆不相交，不是圆周角.
故答案为：C.
【分析】 圆周角必须符合两个条件：顶点在圆上，两边与圆相交，二者缺一都不是,从而根据圆周角的定义来判断即可.
6．（2023·包头）如图，是锐角三角形ABC的外接圆，，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD=BD，AF=CF，BE=CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴，，，
∴，
∵DE+DF=6.5，
∴EF=4，
故选：B.
【分析】根据垂径定理得AD=BD，AF=CF，BE=CE，再根据三角形中位线定理计算出DE+DF+EF的值，结合已知条件可以得出EF的长。
7．（2023·陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一图是从正面看到的一个“老碗”图的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，已知，碗深，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设半径，
，
，
，
是的中点， ，
，，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】先利用垂径定理得到直角三角形及AC的长，再利用勾股定理列方程，求得半径.
8．（2023·广西） 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设弧AB的圆心为O，连接OA，OC，
∵点C，D分别是弦AB，弧AB的中点，
∴点O，C，D在同一直线上，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=AB=18.5，
AC2+OC2=AO2即18.52+（R-7）2=R2，
解之：R≈28.
故答案为：B
【分析】设弧AB的圆心为O，连接OA，OC，利用垂径定理可证得点O，C，D在同一直线上，OC垂直平分AB，可求出AC的长，利用勾股定理可得到关于R的方程，解方程求出R的值.
二、填空题
9．（2023九下·大丰月考）如图，的弦，过点O作于点C，交于点P，若，则的半径为 .
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA ，
∵ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ 的半径为5.
故答案为：5.
【分析】连接OA，设OC=3x，则CP=2x，OA=5x，由垂径定理得AC=BC=4，在Rt△AOC中，利用勾股定理建立方程，可求出x的值，从而得到该圆的半径.
10．（2023·长沙）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BO，如图所示：
∵，
∴∠AOB=120°，
∵，
∴，
∴∠AOE=60°，
∴∠EAO=30°，
∴OE=1，
故答案为：1
【分析】连接BO，先根据圆周角定理即可得到∠AOB=120°，进而根据垂径定理即可得到，从而结合题意得到∠EAO=30°，再运用含30°角的直角三角形的性质即可求解。
11．（2023·常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
【答案】0.1
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，，
由勾股定理得，
∵C是弦的中点，D在上，，
∴点O位于CD的延长线上，且，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：0.1
【分析】先根据题意结合勾股定理即求出AB的长，再根据勾股定理即可求出OC的长，进而得到，再结合题意代入数值即可求解。
12．（2023·青浦模拟）水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为 分米．
【答案】5
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AC于点D，交圆O于点B，如图所示：
∵该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，
∴AC=8，DB=2，
∴AD=4，
设OA=r，则OD=r-2，
由勾股定理得，
解得r=5，
∴该圆柱形油槽的内半径为5分米，
故答案为：5
【分析】过点O作OD⊥AC于点D，交圆O于点B，先根据垂径定理得到AD=4，设OA=r，则OD=r-2，再运用勾股定理即可求出r的值，进而即可求解。
13．（2023·徐汇模拟）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示：作直线OF交CD，AB分别为M，N，
∵点F是 的中点，
∴OF⊥CD，
∵正方形ABCD是圆O的内接正方形，
∴OF⊥AB，
设圆O的半径为r，
则AB=r，
∴ON = OE=，
∴，
∵EM//AN，
∴，
故答案为：.
【分析】根据垂径定理可得：OF⊥CD，再求出OF⊥AB，最后计算求解即可。
三、解答题
14．（2023·高明模拟）《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．
【答案】解：连接，设的半径为r，
∵是的直径，，
∴，，
在中，根据勾股定理得，
∴，解得，
∴，即直径的长为寸．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】连接，设的半径为r，利用勾股定理可得，将数据代入可得，求出，再求出即可。
15．（2022九上·海淀期末）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1。当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是符合题意使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．
【答案】解：如图，连接．
∵过圆心，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】连接OB，利用勾股定理可得，将数据代入可得，再求出即可。
四、作图题
16．（2023七下·驿城期末）如图，在中，，.
尺规作图：
（1）在线段上求作一点，使；②连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）在（1）的条件下，若，求的周长.
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：∵，
∴
∵在中，
∴
（3）解：∵，∴
∵由作图可知，
即
∴
∴的周长为
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；垂径定理
【解析】【分析】(1)根据题意作图即可。
（2）因为PA=PB，所以∠PAB=∠PBA，这里利用了两边相等，则该三角形为等边三角形，等腰三角形两底角相等，又因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以可以得出∠PAC=∠PAB+∠ABP=25°+25°，又∠ACB=90°，根据三角形的内角和为180°，所以∠CAB=180°-∠ACB-∠PAC=180°-90°-25°-25°=40°，故得出∠PAC=40°。
（3）因为BC=8，根据题中所给PA=PB，可以得到AP+PC=BC，因为AP，AQ都为圆的半径，一个圆的半径都相等，即可得到AQ=AP，又有AC⊥PQ，根据垂线上的点到线段两边的距离相等可以得出AC为PQ垂直平分线，所以可得CP=CQ，所以可以得到AQ+CQ=AP+PC，前面中我们得到AP+PC=BC，的周长=2（AP+CP)=2BC，故可得的周长为2BC.
五、综合题
17．（2023·菏泽）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）P是上一点，，求；
（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
解得，经检验，是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点B作交于点G，
∴
∵，是的平分线，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可得到，进而结合题意即可得到，从而即可求解；
（2）连接，先根据圆周角定理即可得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，设的半径为r，进而即可求出r，再运用勾股定理求出BC，进而结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）过点B作交于点G，进而得到，再根据题意结合角平分线的性质即可得到，进而得到，从而即可得到，再结合题意运用锐角三角函数的定义即可求解。
18．（2023·安徽）已知四边形内接于，对角线是的直径．
（1）如图1，连接，若，求证；平分；
（2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
【答案】（1）解：∵对角线是的直径，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：∵对角线是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）首先根据垂径定理得出： ，再根据圆周角定理的推论，得出 ∴， 即可得出结论；
（2）根据直径所对的圆周角等于90°，结合已知条件，可证得四边形AECD是平行四边形，从而得到CD=AE=3，在Rt△BCD中，根据勾股定理求得BC即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 28.4 垂径定理 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·明水模拟）下列命题是假命题的是（ ）
A．两条平行线间的距离处处相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．正方形的两条对角线互相垂直平分
D．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
2．（2023·临渭模拟）如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
3．（2023九下·慈溪月考）下列语句中不正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
A．2 B． C．2 D．3
5．（2020九上·南宁期末）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·包头）如图，是锐角三角形ABC的外接圆，，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
7．（2023·陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一图是从正面看到的一个“老碗”图的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，已知，碗深，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广西） 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九下·大丰月考）如图，的弦，过点O作于点C，交于点P，若，则的半径为 .
10．（2023·长沙）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ．
11．（2023·常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ．（结果保留一位小数）
12．（2023·青浦模拟）水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为 分米．
13．（2023·徐汇模拟）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ．
三、解答题
14．（2023·高明模拟）《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．
15．（2022九上·海淀期末）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1。当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是符合题意使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．
四、作图题
16．（2023七下·驿城期末）如图，在中，，.
尺规作图：
（1）在线段上求作一点，使；②连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）在（1）的条件下，若，求的周长.
五、综合题
17．（2023·菏泽）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）P是上一点，，求；
（3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
18．（2023·安徽）已知四边形内接于，对角线是的直径．
（1）如图1，连接，若，求证；平分；
（2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的性质；垂径定理；圆周角定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 两条平行线间的距离处处相等是真命题，故A不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B符合题意；
C、 正方形的两条对角线互相垂直平分是真命题，故C不符合题意；
D、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是真命题，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，利用两条平行线间的距离处处相等，可对A作出判断；利用垂径定理推论，可对B作出判断；利用正方形的性质，可对C作出判断；利用圆周角定理的推论，可对D作出判断.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，连接OB，
∵OH⊥AB，AB=6，
∴AH=BH=3，
∵AM=2，
∴MH=AH-AM=1，
在Rt△HMO中，由勾股定理得OH=4，
在Rt△HBO中，利用勾股定理可得OB=5，即⊙O的半径为5.
故答案为：B.
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OB，由垂径定理得AH=BH=3，然后在Rt△HMO中与在Rt△HBO中，分别利用勾股定理算出OH、OB即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误，符合题意；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误，符合题意；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误，符合题意；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误，符合题意；
⑤圆内接四边形的对角互补.说法正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理的推论、圆周角定理、等弧的概念、轴对称图形的定义、圆内接四边形的性质即可一一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．
连接OA、OB，
∵OC⊥AB，OA=OB
∴O即为此圆形镜子的圆心，
∵AC=1，OC=2，
∴OA= = = ．
故答案为：B．
【分析】先分别作出AB、BD的中垂线找到圆心，再利用勾股定理即可求解。
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：圆周角的定义是：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角叫圆周角.
A、图中的角的顶点不在圆上，不是圆周角;
B、图中的角的顶点也不在圆上，不是圆周角;
C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，是圆周角;
D.图中的角的顶点在圆上，而两边与圆不相交，不是圆周角.
故答案为：C.
【分析】 圆周角必须符合两个条件：顶点在圆上，两边与圆相交，二者缺一都不是,从而根据圆周角的定义来判断即可.
6．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD=BD，AF=CF，BE=CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴，，，
∴，
∵DE+DF=6.5，
∴EF=4，
故选：B.
【分析】根据垂径定理得AD=BD，AF=CF，BE=CE，再根据三角形中位线定理计算出DE+DF+EF的值，结合已知条件可以得出EF的长。
7．【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设半径，
，
，
，
是的中点， ，
，，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】先利用垂径定理得到直角三角形及AC的长，再利用勾股定理列方程，求得半径.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设弧AB的圆心为O，连接OA，OC，
∵点C，D分别是弦AB，弧AB的中点，
∴点O，C，D在同一直线上，
∴OC垂直平分AB，
∴AC=AB=18.5，
AC2+OC2=AO2即18.52+（R-7）2=R2，
解之：R≈28.
故答案为：B
【分析】设弧AB的圆心为O，连接OA，OC，利用垂径定理可证得点O，C，D在同一直线上，OC垂直平分AB，可求出AC的长，利用勾股定理可得到关于R的方程，解方程求出R的值.
9．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA ，
∵ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ 的半径为5.
故答案为：5.
【分析】连接OA，设OC=3x，则CP=2x，OA=5x，由垂径定理得AC=BC=4，在Rt△AOC中，利用勾股定理建立方程，可求出x的值，从而得到该圆的半径.
10．【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BO，如图所示：
∵，
∴∠AOB=120°，
∵，
∴，
∴∠AOE=60°，
∴∠EAO=30°，
∴OE=1，
故答案为：1
【分析】连接BO，先根据圆周角定理即可得到∠AOB=120°，进而根据垂径定理即可得到，从而结合题意得到∠EAO=30°，再运用含30°角的直角三角形的性质即可求解。
11．【答案】0.1
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，，
由勾股定理得，
∵C是弦的中点，D在上，，
∴点O位于CD的延长线上，且，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：0.1
【分析】先根据题意结合勾股定理即求出AB的长，再根据勾股定理即可求出OC的长，进而得到，再结合题意代入数值即可求解。
12．【答案】5
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AC于点D，交圆O于点B，如图所示：
∵该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，
∴AC=8，DB=2，
∴AD=4，
设OA=r，则OD=r-2，
由勾股定理得，
解得r=5，
∴该圆柱形油槽的内半径为5分米，
故答案为：5
【分析】过点O作OD⊥AC于点D，交圆O于点B，先根据垂径定理得到AD=4，设OA=r，则OD=r-2，再运用勾股定理即可求出r的值，进而即可求解。
13．【答案】
【知识点】垂径定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示：作直线OF交CD，AB分别为M，N，
∵点F是 的中点，
∴OF⊥CD，
∵正方形ABCD是圆O的内接正方形，
∴OF⊥AB，
设圆O的半径为r，
则AB=r，
∴ON = OE=，
∴，
∵EM//AN，
∴，
故答案为：.
【分析】根据垂径定理可得：OF⊥CD，再求出OF⊥AB，最后计算求解即可。
14．【答案】解：连接，设的半径为r，
∵是的直径，，
∴，，
在中，根据勾股定理得，
∴，解得，
∴，即直径的长为寸．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】连接，设的半径为r，利用勾股定理可得，将数据代入可得，求出，再求出即可。
15．【答案】解：如图，连接．
∵过圆心，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】连接OB，利用勾股定理可得，将数据代入可得，再求出即可。
16．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：∵，
∴
∵在中，
∴
（3）解：∵，∴
∵由作图可知，
即
∴
∴的周长为
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；垂径定理
【解析】【分析】(1)根据题意作图即可。
（2）因为PA=PB，所以∠PAB=∠PBA，这里利用了两边相等，则该三角形为等边三角形，等腰三角形两底角相等，又因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以可以得出∠PAC=∠PAB+∠ABP=25°+25°，又∠ACB=90°，根据三角形的内角和为180°，所以∠CAB=180°-∠ACB-∠PAC=180°-90°-25°-25°=40°，故得出∠PAC=40°。
（3）因为BC=8，根据题中所给PA=PB，可以得到AP+PC=BC，因为AP，AQ都为圆的半径，一个圆的半径都相等，即可得到AQ=AP，又有AC⊥PQ，根据垂线上的点到线段两边的距离相等可以得出AC为PQ垂直平分线，所以可得CP=CQ，所以可以得到AQ+CQ=AP+PC，前面中我们得到AP+PC=BC，的周长=2（AP+CP)=2BC，故可得的周长为2BC.
17．【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
解得，经检验，是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点B作交于点G，
∴
∵，是的平分线，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可得到，进而结合题意即可得到，从而即可求解；
（2）连接，先根据圆周角定理即可得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，设的半径为r，进而即可求出r，再运用勾股定理求出BC，进而结合锐角三角函数的定义即可求解；
（3）过点B作交于点G，进而得到，再根据题意结合角平分线的性质即可得到，进而得到，从而即可得到，再结合题意运用锐角三角函数的定义即可求解。
18．【答案】（1）解：∵对角线是的直径，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：∵对角线是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）首先根据垂径定理得出： ，再根据圆周角定理的推论，得出 ∴， 即可得出结论；
（2）根据直径所对的圆周角等于90°，结合已知条件，可证得四边形AECD是平行四边形，从而得到CD=AE=3，在Rt△BCD中，根据勾股定理求得BC即可。
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