2023-2024学年初中数学九年级上册 28.4 垂径定理 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·宁南模拟）如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2023·麒麟模拟）如图，是的弦，交于点C，点D是优弧上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安宁模拟）如图，⊙O的直径AB长为10，弦CD的长为8，CD⊥AB于点E，则tan∠OCE＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·松江模拟）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．圆的任意一条直径都是它的对称轴
C．等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径垂直于这条弦
5．（2023·永康模拟）如图，小明分别以点A， B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，作直线EF分别交弦AB和劣弧AB于点C， D.小明量得AB=4cm， CD=1cm.则劣弧AB所在圆的半径长为（ ）
A．3cm B．2.5cm C．2cm D．2.4cm
6．（2022九上·开化期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
7．（2022九上·温州月考）如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
8．（2022九上·鄞州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
二、填空题
9．（2023·永州）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
10．（2023·广西模拟）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为 ．
11．（2023八下·景德镇期中）圆的半径为4，AB、CD是的两条弦，且，则最大为 ．
12．（2023·静安模拟）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ．
13．（2023·乌鲁木齐模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H.并与交于点K，连结HG、CH.给出下列四个结论.（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）.
三、解答题
14．（2023八上·内江期末）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品.某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高2.6m，宽2.4m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由.
15．（2022九上·东城期末）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.
四、综合题
16．（2023·绥化）如图，为的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H.点A在上，点B在上，.
（1）求证：.
（2）求证：.
（3）在中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G.若，求的长.
17．（2023·舟山模拟）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．
（1）求证：；
（2）如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；
（3）在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵，，
∴△AOH是等腰直角三角形，
∵，
∴AH=，
根据垂径定理可得：AB=2AH=4，
故答案为：A.
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出AH的长，再利用垂径定理可得AB=2AH=4。
2．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵是的弦，交于点C，
∴，
∴∠AOC=∠BOC=37°，
∴，
故答案为：A
【分析】连接OB，先根据垂径定理结合圆的性质即可得到∠AOC=∠BOC=37°，再运用圆周角定理即可求解。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ CD⊥AB，CD=8，
∴CE=CD=4，
∵AB=10，∴OC=OA=5，
∴OE==3，
∴ tan∠OCE＝ =；
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得CE=CD=4，再利用勾股定理OE=3，根据 tan∠OCE＝ 即可求解.
4．【答案】C
【知识点】圆的认识；垂径定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆 ，故此项不符合题意；
B、圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 ，故此项不符合题意；
C、等弧所对的圆心角相等，故此项符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 ，故此项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据确定圆的条件、圆的对称性、圆周角定理及垂径定理的推论逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：设圆弧的圆心为O，连接OA，
由作图可知OD垂直平分AB，
∴∠ACO=90°，AC=AB=2，
设圆O的半径为r，则OC=r-1，
∴AC2+CO2=OA2即22+（r-1）2=r2，
解之：r=2.5.
故答案为：B
【分析】设圆弧的圆心为O，连接OA，由作图可知OD垂直平分AB，由此可求出AC的长，设圆O的半径为r，则OC=r-1，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x-1）寸.
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x-1）2＝x2，
解得：x＝13.
∴圆材直径为2×13＝26（寸）.
故答案为：D.
【分析】连接OA、OC，由题意得：C为AB的中点，由垂径定理可得AC＝BC＝AB＝5寸，设圆的半径为x寸，则OC=(x-1)寸，然后在Rt△OAC中，由勾股定理求解即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，分别连接OE、EH，
∴OE＝AG，
∴点E在以AG为直径的圆上，
∵DF∥AE，
∴弧AD＝弧EH，
∴AD＝EH，
∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，
∴AC＝a，CB＝a，
∴AD＝DB＝a，
∴HE＝AD＝a，
∵EF＝DC＝a，
∴HF＝＝＝a，
∵BE＝b，BE垂直于FG，
∴EG＝b，
∴FG＝EF+EG＝a+b，
∴HG＝＝ ，
又∵a＝9，b＝6，
∴HG＝＝.
故答案为：C．
【分析】如图，分别连接OE、EH，由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OE＝AG，从而得出点E在以AG为直径的圆上，再根据垂径定理推论可得AD＝EH，又由点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，推出HE＝AD＝a，再利用勾股定理用字母a和b表示HG的长，最后代入数值进行计算，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝4，
由条件不能证明AD＝BC，
故①不符合题意；
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDO，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠ADO+∠DBC＝90°，
故②符合题意；
∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OD⊥AC，
∴ ＝ ，
∴ 度数是 ×180°＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵AE⊥OD，
∴DE＝OE，
故③符合题意；
∵PD＝PB，∠C＝∠DEP＝90°，∠DPE＝∠BPC，
∴△PDE≌△PBC（AAS），
∴DE＝BC，
∵AO＝BO，AE＝EC，
∴BC＝2OE，
∴DE＝2OE，
故④符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝4，由条件不能证明AD＝BC，故不能证明 AD2+AC2＝4 ，据此判断①；根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得OD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DBC＝∠BDO，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB＝90°，从而根据角的和差及等量代换可得∠ADO+∠DBC＝90°，据此判断②；根据相等的弦所对的劣弧相等得 ＝ 根据等量减去等量差相等得 ＝ ，根据垂径定理得 ＝ ，再根据圆心角、弧、弦的关系得 度数是60°，进而判断出三角形AOD是等边三角形，根据等边三角形的三线合一得DE＝OE，据此判断③；利用AAS证明△PDE≌△PBC得DE＝BC，根据三角形的中位线定理得BC＝2OE，从而即可得出答案.
9．【答案】16
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】过点O作CD⊥AB于点C，交于点D，连接OA，如图所示：
根据垂径定理可得：AC=BC=AB，
∵OA=10cm，CD=4cm，
∴OC=6cm，
在Rt△AOC中，
AC=cm，
∴AB=2AC=16cm，
故答案为：16.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用垂径定理可得AB=2AC=16cm，
10．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA、OC，
∵OE⊥CD，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，
在Rt△AOE中，由勾股定理得OE2=OA2-AE2，即OE2=62-（CE+3）2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得OE2=OC2-CE2，即OE2=42-CE2，
∴42-CE2=62-（CE+3）2，
解得CE=，
∴CD=2CE=.
故答案为：.
【分析】过点O作OE⊥CD于点E，连接OA、OC，根据垂径定理得CD=2CE，然后在Rt△AOE与Rt△OCE中，分别由勾股定理表示出OE2，从而建立方程，求解可得CE的长，此题答案就出来了.
11．【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形；图形的旋转
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OA，OB，OC，OD，过点O作OH⊥AB于点H，
∴AH=，
又OA=4，∴，
∴∠AOH=60°，∴∠AOB=120°，
∵AB=CD，∴∠COD=120°，∴∠AOD+∠BOC=120°。
把∠AOD绕点O顺时针旋转至OD与OC重合，点A的对应点为点A'，连接A'C，则∠A'OC=∠AO，
∴∠A'OB=120°，
且S△A'OC=S△AOD，∴S△AOD+S△BOC=S△A'OC+S△BOC=S四边形OBCA'，
当OC平分角∠A'OB时，S四边形OBCA'最大，此时△BOC和△A'OC为两个全等的等边三角形，
S△BOC=
∴S△A'OC=，∴S△AOD+S△BOC最大值为：
故第1空答案为：
【分析】根据垂径定理，求得AH的值，然后利用三角函数的定义，求出∠AOH的读数，旋转△AOD到△A'OC的位置，把△AOD和△BOC拼成一个四边形，且∠BOA'为120°，当BA'⊥OC时，即OC平分∠BOA'时，面积最大，根据等边三角形的性质求出最大值即可。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴x+y=2x+3，x-y=-3，
∴点A（x，y）的“关联点”为点B（2x+3，-3），
过点C（0，-3）作垂线AD⊥y轴交圆O于点A、D，连接OA，如图所示：
∴点B在AD上运动，
由勾股定理得，
∴CD=AC=3，
∴点的横坐标的取值范围是，
故答案为：
【分析】先根据题意得到点A（x，y）的“关联点”为点B（2x+3，-3），过点C（0，-3）作垂线AD⊥y轴交圆O于点A、D，连接OA，接着根据勾股定理求出AC的长，再运用垂径定理结合题意即可求解。
13．【答案】（1）（3）（4）
【知识点】正方形的性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
又∵，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即H是FK的中点；故结论（1）正确；
（2）过点H作MN∥AB交BC于N，交AD于M，
由（1）得，则.
∵，
∴.
∵四边形ABCD是正方形，，
∴.
∴四边形ABNM是矩形.
∴，.
∵，
∴.
即.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
即.
解得.
则.
∵，.
∵，，
∴.
∴.
∴.
∴与不全等，故结论（2）错误；
（3）∵，
∴.
即.
解得.
由（2）得，.
∴；故结论（3）正确；
（4）由（1）得，H是FK的中点，
∴.
由勾股定理得.
∴；故结论（4）正确.
故答案为：（1）（3）（4）.
【分析】先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD=∠BEA，从而推出∠AHF=90°，根据垂径定理得FH=KH，据此可判断（1）；过点H作MN∥AB交BC于点N，交AD于点M，由等面积法可求出AH，易得四边形ABNM是矩形，得MN=AB=4，AM=BN，推出MG=NE，然后证出△MAH∽△BEA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出MH，根据正切三角函数的定义可得，从而得出，，故△HGD与△HEC不全等，据此判断（2）；由相似三角形对应边成比例可求出AM，进而根据三角形的面积计算公式分别计算出△AHG与△DHC的面积，从而即可判断（3）；由勾股定理算出FH，进而根据DK=DF-2FH即可算出DK的长，从而即可判断（4）.
14．【答案】解：这辆货车能通过储藏室的门.理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作的垂线交半圆于F，G，过O作，E为垂足，
则，，由作法得，，
又∵，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
∵，
∴这辆货车能通过储藏室的门.
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】 这辆货车能通过储藏室的门，理由如下： 如图MN为卡车的宽度，过M，N作AD的垂线交半圆于F，G，过O作OE⊥FG，E为垂足， 易得四边形MNGF是矩形，则FG=MN=2.4m，根据垂径定理EF=GE=1.2m，在Rt△OEF中，根据勾股定理可得OE的长，进而可算出FM的长，再与2.6比大小即可得出结论.
15．【答案】解：如图，连接．
∵是的直径，弦于点E，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，将数据代入求出即可。
16．【答案】（1）证明：∵和是所对的圆周角
∴
∵
∴
∴
∴
（2）连接，交于点F
∵与为一组平行弦（也可写成）
∴
∵
∴
∵
∴∠
∴
∴
∴
（3）解：连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，
∵DG=DG′，∠G′ND=∠GND，DG′=DM，弧DM=弧DG′，
∴DG=DM，
∴△DGM为等腰三角形.
∵DE⊥MN，
∴GE=ME.
∵DN∥CM，
∴∠CMN=∠DNM.
∵MN为直径，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°.
∵DE⊥MN，
∴∠DEN=90°，
∴∠DNM+∠EDN=90°，
∴sin∠EDM=sin∠DNM=sin∠CMN=.
∵MN=15，
∴sin∠DNM=，
∴MD=9.
∵sin∠EDM==，
∴，
∴ME=，
∴NG=MN-MG=MN-2ME=.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ABC=∠AMC，由对顶角的性质可得∠AHM=∠CHB，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BCH∽△MAH，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）连接OC，交AB于点F，易得∠OND=∠OMC，根据等腰三角形的性质可得∠OMC=∠OCM，结合∠OND+∠AHM=90°可得∠HFC=90°，据此证明；
（3）连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，则△DGM为等腰三角形，根据圆周角定理可得∠MDN=90°，进而推出∠EDM=∠DNM=∠CMN，结合三角函数的概念可得MD、ME，然后根据NG=MN-MG=MN-2ME进行计算.
17．【答案】（1）证明：∵直径 于点F，
∴ ．
∵点C为弧 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：如图2，连接 交 于点 ，设 的半径为 ，则 ，
由（1）知
∵直径 于点F，
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
解得： ，
∵点C为弧 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．
（3）解： 的比值不会发生改变， ，理由如下：
由（2）知 ， ， ， ，
①当点 与点 重合时， ；
②当点 与点 重合时， ；
③当点 与点 、 不重合时，如图3，连接 ，
∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 的比值不会发生改变．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得 ，结合已知可证得，利用等弧所对圆周角相等，可证得结论.
（2）连接OF，交AE于点M，设圆O的半径为r，可表示出OF的长，同时可得到CD的长；利用垂径定理可求出CF的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值；利用垂径定理可得到AM的长，利用勾股定理求出OM的长；然后利用切线的性质去证明CQ∥AM，利用平行线分线段成比例定理可求出OQ的长.
（3）由（2）可得到PF与PQ的比值，分情况讨论：当点P与点A重合时，可得到PF与PQ的比值；当点P与点B重合时，可得到PF与PQ的比值；当点P与点A，B不重合时，连接OP，PF，PQ，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得到△FOP∽△POQ，利用相似三角形的对应边成比例，可得到PF与PQ的比值；综上所述可得结论.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 28.4 垂径定理 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·宁南模拟）如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵，，
∴△AOH是等腰直角三角形，
∵，
∴AH=，
根据垂径定理可得：AB=2AH=4，
故答案为：A.
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出AH的长，再利用垂径定理可得AB=2AH=4。
2．（2023·麒麟模拟）如图，是的弦，交于点C，点D是优弧上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵是的弦，交于点C，
∴，
∴∠AOC=∠BOC=37°，
∴，
故答案为：A
【分析】连接OB，先根据垂径定理结合圆的性质即可得到∠AOC=∠BOC=37°，再运用圆周角定理即可求解。
3．（2023·安宁模拟）如图，⊙O的直径AB长为10，弦CD的长为8，CD⊥AB于点E，则tan∠OCE＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ CD⊥AB，CD=8，
∴CE=CD=4，
∵AB=10，∴OC=OA=5，
∴OE==3，
∴ tan∠OCE＝ =；
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得CE=CD=4，再利用勾股定理OE=3，根据 tan∠OCE＝ 即可求解.
4．（2023·松江模拟）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．圆的任意一条直径都是它的对称轴
C．等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径垂直于这条弦
【答案】C
【知识点】圆的认识；垂径定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆 ，故此项不符合题意；
B、圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 ，故此项不符合题意；
C、等弧所对的圆心角相等，故此项符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 ，故此项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据确定圆的条件、圆的对称性、圆周角定理及垂径定理的推论逐项判断即可.
5．（2023·永康模拟）如图，小明分别以点A， B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，作直线EF分别交弦AB和劣弧AB于点C， D.小明量得AB=4cm， CD=1cm.则劣弧AB所在圆的半径长为（ ）
A．3cm B．2.5cm C．2cm D．2.4cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：设圆弧的圆心为O，连接OA，
由作图可知OD垂直平分AB，
∴∠ACO=90°，AC=AB=2，
设圆O的半径为r，则OC=r-1，
∴AC2+CO2=OA2即22+（r-1）2=r2，
解之：r=2.5.
故答案为：B
【分析】设圆弧的圆心为O，连接OA，由作图可知OD垂直平分AB，由此可求出AC的长，设圆O的半径为r，则OC=r-1，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
6．（2022九上·开化期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x-1）寸.
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x-1）2＝x2，
解得：x＝13.
∴圆材直径为2×13＝26（寸）.
故答案为：D.
【分析】连接OA、OC，由题意得：C为AB的中点，由垂径定理可得AC＝BC＝AB＝5寸，设圆的半径为x寸，则OC=(x-1)寸，然后在Rt△OAC中，由勾股定理求解即可.
7．（2022九上·温州月考）如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，分别连接OE、EH，
∴OE＝AG，
∴点E在以AG为直径的圆上，
∵DF∥AE，
∴弧AD＝弧EH，
∴AD＝EH，
∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，
∴AC＝a，CB＝a，
∴AD＝DB＝a，
∴HE＝AD＝a，
∵EF＝DC＝a，
∴HF＝＝＝a，
∵BE＝b，BE垂直于FG，
∴EG＝b，
∴FG＝EF+EG＝a+b，
∴HG＝＝ ，
又∵a＝9，b＝6，
∴HG＝＝.
故答案为：C．
【分析】如图，分别连接OE、EH，由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OE＝AG，从而得出点E在以AG为直径的圆上，再根据垂径定理推论可得AD＝EH，又由点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，推出HE＝AD＝a，再利用勾股定理用字母a和b表示HG的长，最后代入数值进行计算，即可求解.
8．（2022九上·鄞州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝4，
由条件不能证明AD＝BC，
故①不符合题意；
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDO，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠ADO+∠DBC＝90°，
故②符合题意；
∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OD⊥AC，
∴ ＝ ，
∴ 度数是 ×180°＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵AE⊥OD，
∴DE＝OE，
故③符合题意；
∵PD＝PB，∠C＝∠DEP＝90°，∠DPE＝∠BPC，
∴△PDE≌△PBC（AAS），
∴DE＝BC，
∵AO＝BO，AE＝EC，
∴BC＝2OE，
∴DE＝2OE，
故④符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝4，由条件不能证明AD＝BC，故不能证明 AD2+AC2＝4 ，据此判断①；根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得OD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DBC＝∠BDO，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB＝90°，从而根据角的和差及等量代换可得∠ADO+∠DBC＝90°，据此判断②；根据相等的弦所对的劣弧相等得 ＝ 根据等量减去等量差相等得 ＝ ，根据垂径定理得 ＝ ，再根据圆心角、弧、弦的关系得 度数是60°，进而判断出三角形AOD是等边三角形，根据等边三角形的三线合一得DE＝OE，据此判断③；利用AAS证明△PDE≌△PBC得DE＝BC，根据三角形的中位线定理得BC＝2OE，从而即可得出答案.
二、填空题
9．（2023·永州）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
【答案】16
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】过点O作CD⊥AB于点C，交于点D，连接OA，如图所示：
根据垂径定理可得：AC=BC=AB，
∵OA=10cm，CD=4cm，
∴OC=6cm，
在Rt△AOC中，
AC=cm，
∴AB=2AC=16cm，
故答案为：16.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用垂径定理可得AB=2AC=16cm，
10．（2023·广西模拟）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA、OC，
∵OE⊥CD，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，
在Rt△AOE中，由勾股定理得OE2=OA2-AE2，即OE2=62-（CE+3）2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得OE2=OC2-CE2，即OE2=42-CE2，
∴42-CE2=62-（CE+3）2，
解得CE=，
∴CD=2CE=.
故答案为：.
【分析】过点O作OE⊥CD于点E，连接OA、OC，根据垂径定理得CD=2CE，然后在Rt△AOE与Rt△OCE中，分别由勾股定理表示出OE2，从而建立方程，求解可得CE的长，此题答案就出来了.
11．（2023八下·景德镇期中）圆的半径为4，AB、CD是的两条弦，且，则最大为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形；图形的旋转
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OA，OB，OC，OD，过点O作OH⊥AB于点H，
∴AH=，
又OA=4，∴，
∴∠AOH=60°，∴∠AOB=120°，
∵AB=CD，∴∠COD=120°，∴∠AOD+∠BOC=120°。
把∠AOD绕点O顺时针旋转至OD与OC重合，点A的对应点为点A'，连接A'C，则∠A'OC=∠AO，
∴∠A'OB=120°，
且S△A'OC=S△AOD，∴S△AOD+S△BOC=S△A'OC+S△BOC=S四边形OBCA'，
当OC平分角∠A'OB时，S四边形OBCA'最大，此时△BOC和△A'OC为两个全等的等边三角形，
S△BOC=
∴S△A'OC=，∴S△AOD+S△BOC最大值为：
故第1空答案为：
【分析】根据垂径定理，求得AH的值，然后利用三角函数的定义，求出∠AOH的读数，旋转△AOD到△A'OC的位置，把△AOD和△BOC拼成一个四边形，且∠BOA'为120°，当BA'⊥OC时，即OC平分∠BOA'时，面积最大，根据等边三角形的性质求出最大值即可。
12．（2023·静安模拟）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴x+y=2x+3，x-y=-3，
∴点A（x，y）的“关联点”为点B（2x+3，-3），
过点C（0，-3）作垂线AD⊥y轴交圆O于点A、D，连接OA，如图所示：
∴点B在AD上运动，
由勾股定理得，
∴CD=AC=3，
∴点的横坐标的取值范围是，
故答案为：
【分析】先根据题意得到点A（x，y）的“关联点”为点B（2x+3，-3），过点C（0，-3）作垂线AD⊥y轴交圆O于点A、D，连接OA，接着根据勾股定理求出AC的长，再运用垂径定理结合题意即可求解。
13．（2023·乌鲁木齐模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H.并与交于点K，连结HG、CH.给出下列四个结论.（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）.
【答案】（1）（3）（4）
【知识点】正方形的性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
又∵，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即H是FK的中点；故结论（1）正确；
（2）过点H作MN∥AB交BC于N，交AD于M，
由（1）得，则.
∵，
∴.
∵四边形ABCD是正方形，，
∴.
∴四边形ABNM是矩形.
∴，.
∵，
∴.
即.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
即.
解得.
则.
∵，.
∵，，
∴.
∴.
∴.
∴与不全等，故结论（2）错误；
（3）∵，
∴.
即.
解得.
由（2）得，.
∴；故结论（3）正确；
（4）由（1）得，H是FK的中点，
∴.
由勾股定理得.
∴；故结论（4）正确.
故答案为：（1）（3）（4）.
【分析】先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD=∠BEA，从而推出∠AHF=90°，根据垂径定理得FH=KH，据此可判断（1）；过点H作MN∥AB交BC于点N，交AD于点M，由等面积法可求出AH，易得四边形ABNM是矩形，得MN=AB=4，AM=BN，推出MG=NE，然后证出△MAH∽△BEA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出MH，根据正切三角函数的定义可得，从而得出，，故△HGD与△HEC不全等，据此判断（2）；由相似三角形对应边成比例可求出AM，进而根据三角形的面积计算公式分别计算出△AHG与△DHC的面积，从而即可判断（3）；由勾股定理算出FH，进而根据DK=DF-2FH即可算出DK的长，从而即可判断（4）.
三、解答题
14．（2023八上·内江期末）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品.某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高2.6m，宽2.4m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由.
【答案】解：这辆货车能通过储藏室的门.理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作的垂线交半圆于F，G，过O作，E为垂足，
则，，由作法得，，
又∵，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
∵，
∴这辆货车能通过储藏室的门.
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】 这辆货车能通过储藏室的门，理由如下： 如图MN为卡车的宽度，过M，N作AD的垂线交半圆于F，G，过O作OE⊥FG，E为垂足， 易得四边形MNGF是矩形，则FG=MN=2.4m，根据垂径定理EF=GE=1.2m，在Rt△OEF中，根据勾股定理可得OE的长，进而可算出FM的长，再与2.6比大小即可得出结论.
15．（2022九上·东城期末）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.
【答案】解：如图，连接．
∵是的直径，弦于点E，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，将数据代入求出即可。
四、综合题
16．（2023·绥化）如图，为的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H.点A在上，点B在上，.
（1）求证：.
（2）求证：.
（3）在中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G.若，求的长.
【答案】（1）证明：∵和是所对的圆周角
∴
∵
∴
∴
∴
（2）连接，交于点F
∵与为一组平行弦（也可写成）
∴
∵
∴
∵
∴∠
∴
∴
∴
（3）解：连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，
∵DG=DG′，∠G′ND=∠GND，DG′=DM，弧DM=弧DG′，
∴DG=DM，
∴△DGM为等腰三角形.
∵DE⊥MN，
∴GE=ME.
∵DN∥CM，
∴∠CMN=∠DNM.
∵MN为直径，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°.
∵DE⊥MN，
∴∠DEN=90°，
∴∠DNM+∠EDN=90°，
∴sin∠EDM=sin∠DNM=sin∠CMN=.
∵MN=15，
∴sin∠DNM=，
∴MD=9.
∵sin∠EDM==，
∴，
∴ME=，
∴NG=MN-MG=MN-2ME=.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ABC=∠AMC，由对顶角的性质可得∠AHM=∠CHB，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BCH∽△MAH，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）连接OC，交AB于点F，易得∠OND=∠OMC，根据等腰三角形的性质可得∠OMC=∠OCM，结合∠OND+∠AHM=90°可得∠HFC=90°，据此证明；
（3）连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，则△DGM为等腰三角形，根据圆周角定理可得∠MDN=90°，进而推出∠EDM=∠DNM=∠CMN，结合三角函数的概念可得MD、ME，然后根据NG=MN-MG=MN-2ME进行计算.
17．（2023·舟山模拟）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．
（1）求证：；
（2）如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；
（3）在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
【答案】（1）证明：∵直径 于点F，
∴ ．
∵点C为弧 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：如图2，连接 交 于点 ，设 的半径为 ，则 ，
由（1）知
∵直径 于点F，
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
解得： ，
∵点C为弧 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．
（3）解： 的比值不会发生改变， ，理由如下：
由（2）知 ， ， ， ，
①当点 与点 重合时， ；
②当点 与点 重合时， ；
③当点 与点 、 不重合时，如图3，连接 ，
∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 的比值不会发生改变．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得 ，结合已知可证得，利用等弧所对圆周角相等，可证得结论.
（2）连接OF，交AE于点M，设圆O的半径为r，可表示出OF的长，同时可得到CD的长；利用垂径定理可求出CF的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值；利用垂径定理可得到AM的长，利用勾股定理求出OM的长；然后利用切线的性质去证明CQ∥AM，利用平行线分线段成比例定理可求出OQ的长.
（3）由（2）可得到PF与PQ的比值，分情况讨论：当点P与点A重合时，可得到PF与PQ的比值；当点P与点B重合时，可得到PF与PQ的比值；当点P与点A，B不重合时，连接OP，PF，PQ，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得到△FOP∽△POQ，利用相似三角形的对应边成比例，可得到PF与PQ的比值；综上所述可得结论.
1 / 1
