2023-2024学年初中数学九年级上册 28.5 弧长和扇形面积 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·滨江期末）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
2．（2022九上·鹿城期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（ ）
A． B． C．2π D．
3．（2022九上·温州期中）半径为6的圆弧的度数为，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·西湖期中）若扇形的半径为3，圆心角为160°，则它的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．9π
5．（新人教版数学九年级上册24.4弧长和扇形的面积课时练习）如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（ ）
A．3π B． C． D．4π
6．（2023九上·杭州期末）如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点B，点B在y轴上，则扇形AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（图形的性质(250)+—+圆(347)+—+圆周角定理(352) ）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40° B．30° C．50° D．60°
8．（2022九上·广平期末）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．4
二、填空题
9．（2023九上·余姚期末）若一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则此扇形的弧长为.
10．（2023九上·杭州期末）已知扇形的圆心角为80°，半径为3，则该扇形的面积为 ，周长为 .（结果保留π）
11．（2022九上·翁源期末）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，侧面积为 ．
12．（2023九上·江北期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，则侧面展开图的圆心角的度数为 .
13．（2023九上·杭州期末）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了 cm.（结果保留）
三、解答题
14．（2021九上·崇义期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（ 1 ）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（ 2 ）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（ 3 ）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
15．（2021九上·通榆期末）如图是一圆锥，底面圆的半径为AO＝1，高PO．求侧面展开图面积．
四、作图题
16．（2022九上·翁源期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
⑴请画出关于原点对称的；
⑵请画出绕点逆时针旋转90°后的，求点到所经过的路径长．
五、综合题
17．（2023九上·南宁期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.
（1）探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长 ；（填“相等”或“不相等”）若，，则n= .
（2）解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求n的值，请用含r，l的式子表示n；
（3）拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，C是中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.
18．（2023九上·沭阳期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧.
（1）直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标 .
（2）求弧AC的长（结果保留）.
（3）连接AC、BC，则 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据S扇形=lr进行计算可得r的值.
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝70°，
∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，
∴BC＝B′C，
∴∠BB′C＝∠B＝70°，
∴∠BCB′＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∴点A经过的路径长＝＝，
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形两锐角互余算出∠B的度数，根据旋转的性质得BC=B'C，根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BCB'=40°，根据旋转的性质得∠ACA'=40°，从而利用弧长计算公式即可算出答案.
3．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵圆弧的半径为6，圆心角的度数为120°，
∴圆弧的弧长为：；
故答案为：B.
【分析】根据弧长计算公式“”代入计算即可.
4．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S扇形＝ ＝4π.
故答案为：C.
【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】解答： ∵D为AC的中点，AC=AO=6，
∴OD⊥AC，
∴AD= AO，
∴∠AOD=30°，OD=
同理可得：∠BOE=30°，
∴∠DOE=150°-60°=90°
∴点D所经过路径长为：
故选C．
【分析】由垂径定理求得线段OD的长也就是点D所经过圆弧路径的半径，然后求得路径的圆心角，利用弧长的计算公式计算即可
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于C，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AC⊥x于C，根据点A的坐标可得OC=AC=1，推出△ACO为是等腰直角三角形，则OA=，∠AOC=45°，根据角的和差关系可得∠AOB=45°，然后根据扇形的面积公式进行计算.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=40°；
∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=100°；
∴∠ACB= ∠AOB= ×100°=50°．
故选：C．
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系，求出∠ACB的度数．
8．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为，
则：，
圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍后，面积变为：，
∴这个扇形的面积将扩大为原来的18倍；
故答案为：A．
【分析】利用扇形面积公式求解即可。
9．【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 此扇形的弧长为 .
故答案为：2π.
【分析】直接利用弧长计算公式“”计算即可.
10．【答案】2π；
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积为：；
扇形的弧长为：，
∴扇形的周长为：.
故答案为：2π；.
【分析】直接根据扇形面积公式“”及弧长计算公式“”算出扇形的面积及弧长，进而根据周长等于弧长加2倍半径即可算出答案.
11．【答案】18π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图，圆锥的底面半径，，
，
，
故答案为：.
【分析】先求出侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式计算扇形面积.
12．【答案】90°
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积公式为
将，代入公式得：
代入数据解得：
故答案为90°
【分析】根据S侧=πrl可得S的值，然后根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积结合扇形的面积公式就可求出圆心角的度数.
13．【答案】5π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：5π.
【分析】由题意得：重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为150°所对应的弧长，然后结合弧长公式进行计算.
14．【答案】解：⑴如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑵如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑶由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，
∵，
∴点A旋转到点所经过的路径长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（3）利用弧长公式求出答案即可。
15．【答案】解：∵圆锥，底面圆的半径为AO＝1，高，
∴，
∴，
∴圆锥的侧面展开图面积为．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】利用勾股定理求出AP=2，再利用侧面积公式求解即可。
16．【答案】解：⑴如图所示即为所求
⑵如图所示即为所求
∵
∴点到经过的路径长
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)先找到点A、B、C关于原点对称的点A1、B1、C1，连接三点得到.
(2)先找到点A、B、C绕点B逆时针旋转90°后的点A2、B2、C2得到，根据旋转的性质可得点到所经过的路径是一段圆弧，再利用弧长公式计算路径长．
17．【答案】（1）相等；120°
（2）解：由圆锥的底面周长等于扇形的弧长
得：
∴
（3）解：
∵，，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为
∴
∵
∴
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：（1）圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等；
∵，，，
∴，
故答案为：相等，.
【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
（2）根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出等式并求解即可；
（3）利用（1）结论先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°， 从而求出，利用勾股定理求出A'C，继而求解.
18．【答案】（1）(2，0)
（2）解：由图1可知，∠ADC＝90°，，
∴弧AC的长为：.
（3）
【知识点】勾股定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义；点的坐标与象限的关系；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，交点D即为圆心.如图1所示，则圆心D的坐标是（2，0）.
（3）如图2，
由勾股定理得，由正方形的性质和格点的性质可知，∠AEC＝90°，
则，
故答案为：.
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，交点D即为圆心，结合D的位置可得相应的坐标；
（2）根据勾股定理求出AD的值，然后利用弧长公式进行计算；
（3）由勾股定理AE、AC的值，由正方形的性质和格点的性质可知∠AEC＝90°，然后根据三角函数的概念进行计算.
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 28.5 弧长和扇形面积 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023九上·滨江期末）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据S扇形=lr进行计算可得r的值.
2．（2022九上·鹿城期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（ ）
A． B． C．2π D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝70°，
∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，
∴BC＝B′C，
∴∠BB′C＝∠B＝70°，
∴∠BCB′＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∴点A经过的路径长＝＝，
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形两锐角互余算出∠B的度数，根据旋转的性质得BC=B'C，根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BCB'=40°，根据旋转的性质得∠ACA'=40°，从而利用弧长计算公式即可算出答案.
3．（2022九上·温州期中）半径为6的圆弧的度数为，则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵圆弧的半径为6，圆心角的度数为120°，
∴圆弧的弧长为：；
故答案为：B.
【分析】根据弧长计算公式“”代入计算即可.
4．（2022九上·西湖期中）若扇形的半径为3，圆心角为160°，则它的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．9π
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S扇形＝ ＝4π.
故答案为：C.
【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算.
5．（新人教版数学九年级上册24.4弧长和扇形的面积课时练习）如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（ ）
A．3π B． C． D．4π
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】解答： ∵D为AC的中点，AC=AO=6，
∴OD⊥AC，
∴AD= AO，
∴∠AOD=30°，OD=
同理可得：∠BOE=30°，
∴∠DOE=150°-60°=90°
∴点D所经过路径长为：
故选C．
【分析】由垂径定理求得线段OD的长也就是点D所经过圆弧路径的半径，然后求得路径的圆心角，利用弧长的计算公式计算即可
6．（2023九上·杭州期末）如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点B，点B在y轴上，则扇形AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于C，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AC⊥x于C，根据点A的坐标可得OC=AC=1，推出△ACO为是等腰直角三角形，则OA=，∠AOC=45°，根据角的和差关系可得∠AOB=45°，然后根据扇形的面积公式进行计算.
7．（图形的性质(250)+—+圆(347)+—+圆周角定理(352) ）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（ ）
A．40° B．30° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=40°；
∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=100°；
∴∠ACB= ∠AOB= ×100°=50°．
故选：C．
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系，求出∠ACB的度数．
8．（2022九上·广平期末）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为，
则：，
圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍后，面积变为：，
∴这个扇形的面积将扩大为原来的18倍；
故答案为：A．
【分析】利用扇形面积公式求解即可。
二、填空题
9．（2023九上·余姚期末）若一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则此扇形的弧长为.
【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 此扇形的弧长为 .
故答案为：2π.
【分析】直接利用弧长计算公式“”计算即可.
10．（2023九上·杭州期末）已知扇形的圆心角为80°，半径为3，则该扇形的面积为 ，周长为 .（结果保留π）
【答案】2π；
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积为：；
扇形的弧长为：，
∴扇形的周长为：.
故答案为：2π；.
【分析】直接根据扇形面积公式“”及弧长计算公式“”算出扇形的面积及弧长，进而根据周长等于弧长加2倍半径即可算出答案.
11．（2022九上·翁源期末）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，侧面积为 ．
【答案】18π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图，圆锥的底面半径，，
，
，
故答案为：.
【分析】先求出侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式计算扇形面积.
12．（2023九上·江北期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，母线长，则侧面展开图的圆心角的度数为 .
【答案】90°
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积公式为
将，代入公式得：
代入数据解得：
故答案为90°
【分析】根据S侧=πrl可得S的值，然后根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积结合扇形的面积公式就可求出圆心角的度数.
13．（2023九上·杭州期末）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了，则砝码上升了 cm.（结果保留）
【答案】5π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：5π.
【分析】由题意得：重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为150°所对应的弧长，然后结合弧长公式进行计算.
三、解答题
14．（2021九上·崇义期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（ 1 ）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（ 2 ）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（ 3 ）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】解：⑴如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑵如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
⑶由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，
∵，
∴点A旋转到点所经过的路径长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、O的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（3）利用弧长公式求出答案即可。
15．（2021九上·通榆期末）如图是一圆锥，底面圆的半径为AO＝1，高PO．求侧面展开图面积．
【答案】解：∵圆锥，底面圆的半径为AO＝1，高，
∴，
∴，
∴圆锥的侧面展开图面积为．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】利用勾股定理求出AP=2，再利用侧面积公式求解即可。
四、作图题
16．（2022九上·翁源期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
⑴请画出关于原点对称的；
⑵请画出绕点逆时针旋转90°后的，求点到所经过的路径长．
【答案】解：⑴如图所示即为所求
⑵如图所示即为所求
∵
∴点到经过的路径长
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)先找到点A、B、C关于原点对称的点A1、B1、C1，连接三点得到.
(2)先找到点A、B、C绕点B逆时针旋转90°后的点A2、B2、C2得到，根据旋转的性质可得点到所经过的路径是一段圆弧，再利用弧长公式计算路径长．
五、综合题
17．（2023九上·南宁期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.
（1）探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长 ；（填“相等”或“不相等”）若，，则n= .
（2）解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求n的值，请用含r，l的式子表示n；
（3）拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，C是中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.
【答案】（1）相等；120°
（2）解：由圆锥的底面周长等于扇形的弧长
得：
∴
（3）解：
∵，，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为
∴
∵
∴
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：（1）圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等；
∵，，，
∴，
故答案为：相等，.
【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
（2）根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出等式并求解即可；
（3）利用（1）结论先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°， 从而求出，利用勾股定理求出A'C，继而求解.
18．（2023九上·沭阳期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧.
（1）直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标 .
（2）求弧AC的长（结果保留）.
（3）连接AC、BC，则 .
【答案】（1）(2，0)
（2）解：由图1可知，∠ADC＝90°，，
∴弧AC的长为：.
（3）
【知识点】勾股定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义；点的坐标与象限的关系；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，交点D即为圆心.如图1所示，则圆心D的坐标是（2，0）.
（3）如图2，
由勾股定理得，由正方形的性质和格点的性质可知，∠AEC＝90°，
则，
故答案为：.
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，交点D即为圆心，结合D的位置可得相应的坐标；
（2）根据勾股定理求出AD的值，然后利用弧长公式进行计算；
（3）由勾股定理AE、AC的值，由正方形的性质和格点的性质可知∠AEC＝90°，然后根据三角函数的概念进行计算.
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