2023-2024学年初中数学九年级上册 28.5 弧长和扇形面积 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·泰安）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·牡丹江）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2023·兴宁模拟）如图，把一个高分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了平方分米．原来这个圆柱的体积是立方分米．（ ）
A． B． C． D．
4．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·邛崃模拟）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果，那么这个曲边三角形的周长是（ ）．
A．π B． C． D．
6．（2023·武昌模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内不含边界，则长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九下·义乌月考）如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
8．扇形的半径是100厘米，圆心角为18°，下列计算错误的是（ ）。
A．弧长l=31.4厘米 B．扇形面积S=1570平方厘米
C．扇形周长为131.4厘米 D．所在圆的面积为31400平方厘米
二、填空题
9．（2023八下·闽侯期末）如图，一个圆桶底面直径为5cm，高12cm，则桶内所能容下的最长木棒为 cm.
10．（2023·菏泽）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
11．（2023·河南模拟）如图，在扇形中，分别是OA，OB的中点，连接AD和BC交于点，若，则图中阴影部分的面积为 .
12．（2022·西安模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为△ABC外以AB为直径的半圆上一动点，当点P从点A运动到点B时，线段CP的中点Q运动的路线长为 .
13．（2022·宿迁）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是 .
三、解答题
14．求阴影部分的周长：
（1）
（2）
15．弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度。（π≈3.14，单位：cm，精确到1cm，弯制管道的粗细不计）
四、综合题
16．（2023·乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板绕点A逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：
；（ ）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键故数学就是一门哲学．
（1）【问题解决】
上述问题情境中“（ ）”处应填理由： ；
（2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转到达扇形纸板的位置．
①请在图中作出点O；
②如果，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 ；
（3）【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置另一个在孤的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
17．（2023·佳木斯模拟）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为， ，，将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．
（1）画出，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点O按逆时针方向旋转后的图形；
（3）求在旋转过程中扫过的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆的认识；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=40°，又∵∠ACB=70°，∴∠BCO=30°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO=30°，∴∠BOC=120°，∴
故答案为：C。
【分析】首先根据圆的性质求出∠BOC的度数，然后运用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可。
2．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面直径为r，则πr=，
解得r=4.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的底面直径为r，然后根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出底面圆的直径.
3．【答案】B
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，近似长方体比圆柱体的表面积增加的部分就是近似长方体的两个长方形侧面面积，
，
，
（立方分米），
故答案为：B.
【分析】观察图形可知，近似长方体比圆柱体的表面积多了两个长方形面积，由此可计算圆柱底面半径，然后计算圆柱体积.
4．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得的长等于底面圆的周长，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意结合圆周长的计算公式即可求解。
5．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC＝3，
∴∠ACB＝60°，
∴的长＝＝π，
∴这个曲边三角形的周长是3π．
故答案为：D．
【分析】由等边三角形的性质得到∠ACB＝60°，根据弧长公式求出的长即可求得结论．
6．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
当点M落在半径OB上时，B、M关于CD对称，
∴CD⊥OB，
由C为弧AB的中点知，∠COD=45°，且OC=4，
∴OD=CD=，此时OD取得最大值；
∵点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，
，
建立平面直角坐标系，则圆C的方程为，
令x=0，解得OM=，
∵直线BM的斜率为，
∴直线BM垂直平分线方程为，
令y=0，解得x=，
∴OD=，
此时OD取得最小值；
综上点M落在扇形OAB内（不含边界），OD的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】点M落在半径OB上时，OD取得最大值；点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，建立平面直角坐标系，由此求出OD的最小值，从而求出OD的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，连接交于点，连接.
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是.
此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，连接.证明，利用相似三角形的性质可得PN=2，PM=4，利用勾股定理求出BP=，由垂直的定义可得，可得点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：A项：3.14×100×2×
=314×2×
=628×
=31.4（厘米）；
B项：3.14×1002×
=3.14×10000×
=31400×
=1570（平方厘米）；
C项：31.4＋100×2
=31.4＋200
=231.4（厘米）；
D项：3.14×1002
=3.14×10000
=31400（平方厘米）。
故答案为：C。
【分析】A项：弧长=π×半径×2×；
B项：扇形面积=π×半径2×；
C项：扇形周长=弧长＋半径×2；
D项：所在圆的面积=π×半径2。
9．【答案】13
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：如图，四边形在圆桶的纵截面，
由题意可得四边形是矩形，
，
，，
，
故答案为：13.
【分析】已知圆桶的截面是一个矩形，故桶内所能容下的最长木棒的长度等于矩形的对角线长度，利用勾股定理求得BD的长度即可.
10．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得，AH=AB=4，
∴，
故答案为：6π
【分析】先根据多边形内角和公式结合题意即可得到，AH=AB=4，进而根据扇形面积计算公式即可求解。
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；线段的中点
【解析】【解答】解：过E作EH⊥AO，EG⊥OB，则EH=EG.
∵点C、D分别为AO、BO的中点，
∴S△AOE=2S△ACE，S△OEB=2S△OED，S△AOE=S△OEB，
∴S△AOE=2S△OED，
∴S△AOE=S△AOD，
同理可得S△BOE=S△BOC.
∵∠AOB=90°，OA=2，
∴S阴影=S扇形AOB-S△AOE-S△OEB=-××2×·1-××2×·1=π-.
故答案为：π-.
【分析】过E作EH⊥AO，EG⊥OB，则EH=EG，由中点的概念结合三角形的面积公式可得S△AOE=2S△OED，则S△AOE=S△AOD，同理可得S△BOE=S△BOC，然后根据S阴影=S扇形AOB-S△AOE-S△OEB结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
AB===10，
如图，连接AP，BP，
AB是直径，
∠APB＝90°，APBP，
取AC中点E，BC中点F，连接EQ，FQ，EF，
在△ACP，△BCP中，点E，F，Q为中点，
则EQ，FQ为中位线，
EQ=AP，FQ=BP，EQ∥AP，FQ∥BP，
EQFQ，∠EQF＝90°，
Q在以EF为直径的半圆上，EF=AB=5，
Q运动的路线长为=
故答案为：.
【分析】由勾股定理求出AB=10，连接AP，BP，由AB是直径可得∠APB＝90°，取AC中点E，BC中点F，连接EQ，FQ，EF，根据三角形中位线定理可求出△EFM为直角三角形，从而判断Q在以EF为直径的半圆上，根据圆的周长公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵点M、N分别是边AD、BC的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴
∴
∴
当点E与点A重合时，则NF=，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴是等腰直角三角形，
∴
∵BH⊥AF，
∴
由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接HO，NO，
∴∠HON=90°，
又
∴，
∴，
∴的长为=
故答案为：.
【分析】连接MN，则四边形ABNM是矩形，MN=AB=6，AM=BN=4，根据矩形的性质可得AD//BC，证明△AQM∽△FQN，根据相似三角形的性质可得NQ，当点E与点A重合时，则NF=2，BF=BN+NF=6，推出△ABF是等腰直角三角形，得到∠AFB=∠HBF=45°，由题意得：点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接HO，NO，利用勾股定理求出BQ，有ON=OH=OQ可得ON的值，然后根据弧长公式进行计算.
14．【答案】（1）解：360°-140°=220°
3.14×9×2×＋9×2
=28.26×2×＋18
=56.52×＋18
=34.54＋18
=52.54（厘米）
（2）解：3.14×8×2×＋8×2
=25.12×2×＋16
=50.24×＋16
=12.56＋16
=28.56（厘米）
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】（1）、（2）阴影部分的周长=π×半径×2×＋半径×2。
15．【答案】解：3.14×900×2×＋700×2
=2826×2×＋1400
=5652×＋1400
=1570＋1400
=2970（厘米）
答：图中所示管道的展直长度是2970厘米。
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】图中所示管道的展直长度=弧长＋半径×2，其中，弧长=π×半径×2×。
16．【答案】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等
（2）解：①下图中，点O为所求②
（3）解：<方法一>连结，交AC于M，连结PA，PD，如图所示
．
由旋转得．
在中，．
在中，，
，．
．
．
在和中，
，
又，
．
又，．
<方法二>连结，交AC于M后，连结，AC交于D，交
点P为的中点，．
由旋转的性质得：，
在中，．
在中，．
．
在中，
．
．
<方法三>连结PA，，PD，PC，交AC于M，交于N，如图所示
点P为的中点，．
由旋转得．
在为中．．
在中，
．
现证明阴影部分为轴对称图形：连结
点P为的中点，图形的旋转，．
，
又，
，
在中，．
．
又图形的旋转，∴阴影部分面积被PD等分．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得上述问题情境中“（ ）”处应填理由为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，
故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）②连接OB，OB'，如图所示：
由题意得∠BOB'=90°，B'O=BO，BB'=6，
设B'O=BO=a，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴点B经过的路径长为，
故答案为：
【分析】（1）直接根据旋转的性质即可求解；
（2）①根据题意即可画图；②先根据旋转的性质即可得到∠BOB'=90°，B'O=BO，BB'=6，设B'O=BO=a，进而根据勾股定理即可求出a，再根据弧长的计算公式即可求解；
（3）<方法一>连结，交AC于M，连结PA，PD，，先根据旋转的性质即可得到，再运用解直角三角形的知识即可求出MD和DA'的长，进而即可得到，，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解；
<方法二>连结，交AC于M后，连结，AC交于D，交，先根据旋转的性质即可得到，进而根据解直角三角形的知识即可得到MA'、ME、MD的长，再运用即可求解；
<方法三>连结PA，，PD，PC，交AC于M，交于N，先根据旋转的性质即可得到，进而根据解直角三角形的知识即可得到CM的长，进而得到，再证明阴影部分为轴对称图形即可求解。
17．【答案】（1）解：如图1， 即为所求；
由平移可知点 的坐标为 ．
（2）解：如图1， 即为所求；
（3）解：由题意知 ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
由平移与旋转的性质可得 ， 均为等腰直角三角形， ， ，
∵ ，
∴ 在旋转过程中扫过的面积为 ．
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作三角形，再求点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质作三角形即可；
（3）利用勾股定理先求出 是等腰直角三角形， ， 再利用三角形和扇形的面积公式计算求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学九年级上册 28.5 弧长和扇形面积 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·泰安）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆的认识；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=40°，又∵∠ACB=70°，∴∠BCO=30°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO=30°，∴∠BOC=120°，∴
故答案为：C。
【分析】首先根据圆的性质求出∠BOC的度数，然后运用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可。
2．（2023·牡丹江）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面直径为r，则πr=，
解得r=4.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的底面直径为r，然后根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长就可求出底面圆的直径.
3．（2023·兴宁模拟）如图，把一个高分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了平方分米．原来这个圆柱的体积是立方分米．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，近似长方体比圆柱体的表面积增加的部分就是近似长方体的两个长方形侧面面积，
，
，
（立方分米），
故答案为：B.
【分析】观察图形可知，近似长方体比圆柱体的表面积多了两个长方形面积，由此可计算圆柱底面半径，然后计算圆柱体积.
4．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得的长等于底面圆的周长，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意结合圆周长的计算公式即可求解。
5．（2023·邛崃模拟）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果，那么这个曲边三角形的周长是（ ）．
A．π B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC＝3，
∴∠ACB＝60°，
∴的长＝＝π，
∴这个曲边三角形的周长是3π．
故答案为：D．
【分析】由等边三角形的性质得到∠ACB＝60°，根据弧长公式求出的长即可求得结论．
6．（2023·武昌模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内不含边界，则长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
当点M落在半径OB上时，B、M关于CD对称，
∴CD⊥OB，
由C为弧AB的中点知，∠COD=45°，且OC=4，
∴OD=CD=，此时OD取得最大值；
∵点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，
，
建立平面直角坐标系，则圆C的方程为，
令x=0，解得OM=，
∵直线BM的斜率为，
∴直线BM垂直平分线方程为，
令y=0，解得x=，
∴OD=，
此时OD取得最小值；
综上点M落在扇形OAB内（不含边界），OD的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】点M落在半径OB上时，OD取得最大值；点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，建立平面直角坐标系，由此求出OD的最小值，从而求出OD的取值范围.
7．（2023九下·义乌月考）如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，连接交于点，连接.
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是.
此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，连接.证明，利用相似三角形的性质可得PN=2，PM=4，利用勾股定理求出BP=，由垂直的定义可得，可得点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可.
8．扇形的半径是100厘米，圆心角为18°，下列计算错误的是（ ）。
A．弧长l=31.4厘米 B．扇形面积S=1570平方厘米
C．扇形周长为131.4厘米 D．所在圆的面积为31400平方厘米
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：A项：3.14×100×2×
=314×2×
=628×
=31.4（厘米）；
B项：3.14×1002×
=3.14×10000×
=31400×
=1570（平方厘米）；
C项：31.4＋100×2
=31.4＋200
=231.4（厘米）；
D项：3.14×1002
=3.14×10000
=31400（平方厘米）。
故答案为：C。
【分析】A项：弧长=π×半径×2×；
B项：扇形面积=π×半径2×；
C项：扇形周长=弧长＋半径×2；
D项：所在圆的面积=π×半径2。
二、填空题
9．（2023八下·闽侯期末）如图，一个圆桶底面直径为5cm，高12cm，则桶内所能容下的最长木棒为 cm.
【答案】13
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：如图，四边形在圆桶的纵截面，
由题意可得四边形是矩形，
，
，，
，
故答案为：13.
【分析】已知圆桶的截面是一个矩形，故桶内所能容下的最长木棒的长度等于矩形的对角线长度，利用勾股定理求得BD的长度即可.
10．（2023·菏泽）如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得，AH=AB=4，
∴，
故答案为：6π
【分析】先根据多边形内角和公式结合题意即可得到，AH=AB=4，进而根据扇形面积计算公式即可求解。
11．（2023·河南模拟）如图，在扇形中，分别是OA，OB的中点，连接AD和BC交于点，若，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；线段的中点
【解析】【解答】解：过E作EH⊥AO，EG⊥OB，则EH=EG.
∵点C、D分别为AO、BO的中点，
∴S△AOE=2S△ACE，S△OEB=2S△OED，S△AOE=S△OEB，
∴S△AOE=2S△OED，
∴S△AOE=S△AOD，
同理可得S△BOE=S△BOC.
∵∠AOB=90°，OA=2，
∴S阴影=S扇形AOB-S△AOE-S△OEB=-××2×·1-××2×·1=π-.
故答案为：π-.
【分析】过E作EH⊥AO，EG⊥OB，则EH=EG，由中点的概念结合三角形的面积公式可得S△AOE=2S△OED，则S△AOE=S△AOD，同理可得S△BOE=S△BOC，然后根据S阴影=S扇形AOB-S△AOE-S△OEB结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
12．（2022·西安模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为△ABC外以AB为直径的半圆上一动点，当点P从点A运动到点B时，线段CP的中点Q运动的路线长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
AB===10，
如图，连接AP，BP，
AB是直径，
∠APB＝90°，APBP，
取AC中点E，BC中点F，连接EQ，FQ，EF，
在△ACP，△BCP中，点E，F，Q为中点，
则EQ，FQ为中位线，
EQ=AP，FQ=BP，EQ∥AP，FQ∥BP，
EQFQ，∠EQF＝90°，
Q在以EF为直径的半圆上，EF=AB=5，
Q运动的路线长为=
故答案为：.
【分析】由勾股定理求出AB=10，连接AP，BP，由AB是直径可得∠APB＝90°，取AC中点E，BC中点F，连接EQ，FQ，EF，根据三角形中位线定理可求出△EFM为直角三角形，从而判断Q在以EF为直径的半圆上，根据圆的周长公式计算即可.
13．（2022·宿迁）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是 .
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵点M、N分别是边AD、BC的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴
∴
∴
当点E与点A重合时，则NF=，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴是等腰直角三角形，
∴
∵BH⊥AF，
∴
由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接HO，NO，
∴∠HON=90°，
又
∴，
∴，
∴的长为=
故答案为：.
【分析】连接MN，则四边形ABNM是矩形，MN=AB=6，AM=BN=4，根据矩形的性质可得AD//BC，证明△AQM∽△FQN，根据相似三角形的性质可得NQ，当点E与点A重合时，则NF=2，BF=BN+NF=6，推出△ABF是等腰直角三角形，得到∠AFB=∠HBF=45°，由题意得：点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接HO，NO，利用勾股定理求出BQ，有ON=OH=OQ可得ON的值，然后根据弧长公式进行计算.
三、解答题
14．求阴影部分的周长：
（1）
（2）
【答案】（1）解：360°-140°=220°
3.14×9×2×＋9×2
=28.26×2×＋18
=56.52×＋18
=34.54＋18
=52.54（厘米）
（2）解：3.14×8×2×＋8×2
=25.12×2×＋16
=50.24×＋16
=12.56＋16
=28.56（厘米）
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】（1）、（2）阴影部分的周长=π×半径×2×＋半径×2。
15．弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度。（π≈3.14，单位：cm，精确到1cm，弯制管道的粗细不计）
【答案】解：3.14×900×2×＋700×2
=2826×2×＋1400
=5652×＋1400
=1570＋1400
=2970（厘米）
答：图中所示管道的展直长度是2970厘米。
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】图中所示管道的展直长度=弧长＋半径×2，其中，弧长=π×半径×2×。
四、综合题
16．（2023·乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板绕点A逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：
；（ ）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键故数学就是一门哲学．
（1）【问题解决】
上述问题情境中“（ ）”处应填理由： ；
（2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转到达扇形纸板的位置．
①请在图中作出点O；
②如果，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 ；
（3）【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置另一个在孤的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
【答案】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等
（2）解：①下图中，点O为所求②
（3）解：<方法一>连结，交AC于M，连结PA，PD，如图所示
．
由旋转得．
在中，．
在中，，
，．
．
．
在和中，
，
又，
．
又，．
<方法二>连结，交AC于M后，连结，AC交于D，交
点P为的中点，．
由旋转的性质得：，
在中，．
在中，．
．
在中，
．
．
<方法三>连结PA，，PD，PC，交AC于M，交于N，如图所示
点P为的中点，．
由旋转得．
在为中．．
在中，
．
现证明阴影部分为轴对称图形：连结
点P为的中点，图形的旋转，．
，
又，
，
在中，．
．
又图形的旋转，∴阴影部分面积被PD等分．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得上述问题情境中“（ ）”处应填理由为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，
故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）②连接OB，OB'，如图所示：
由题意得∠BOB'=90°，B'O=BO，BB'=6，
设B'O=BO=a，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴点B经过的路径长为，
故答案为：
【分析】（1）直接根据旋转的性质即可求解；
（2）①根据题意即可画图；②先根据旋转的性质即可得到∠BOB'=90°，B'O=BO，BB'=6，设B'O=BO=a，进而根据勾股定理即可求出a，再根据弧长的计算公式即可求解；
（3）<方法一>连结，交AC于M，连结PA，PD，，先根据旋转的性质即可得到，再运用解直角三角形的知识即可求出MD和DA'的长，进而即可得到，，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解；
<方法二>连结，交AC于M后，连结，AC交于D，交，先根据旋转的性质即可得到，进而根据解直角三角形的知识即可得到MA'、ME、MD的长，再运用即可求解；
<方法三>连结PA，，PD，PC，交AC于M，交于N，先根据旋转的性质即可得到，进而根据解直角三角形的知识即可得到CM的长，进而得到，再证明阴影部分为轴对称图形即可求解。
17．（2023·佳木斯模拟）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为， ，，将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．
（1）画出，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点O按逆时针方向旋转后的图形；
（3）求在旋转过程中扫过的面积．
【答案】（1）解：如图1， 即为所求；
由平移可知点 的坐标为 ．
（2）解：如图1， 即为所求；
（3）解：由题意知 ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
由平移与旋转的性质可得 ， 均为等腰直角三角形， ， ，
∵ ，
∴ 在旋转过程中扫过的面积为 ．
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作三角形，再求点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质作三角形即可；
（3）利用勾股定理先求出 是等腰直角三角形， ， 再利用三角形和扇形的面积公式计算求解即可。
1 / 1
