11.2.1 三角形的内角 导学案
学习目标：
1.通过经历探究活动的过程，得出三角形的内角和定理.
2.能运用平行线的性质证明内角和定理，能应用定理推导并归纳直角三角形的性质与判定.
3.经历“实验—猜想—证明”的过程，体验自然科学的一般研究方法，提高学习的兴趣.
重点：三角形的内角和定理.
难点：证明三角形的内角和定理.
一、问题引入
在小学我们已经知道：任意一个三角形三个内角的和等于_______.
你还记得是怎么发现这个结论的吗？
请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
探究新知
1.方法：度量、剪拼、折叠
问题1：运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？为什么？
问题2：通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，
如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°？
2.如何证明“三角形内角和等于180°？
证明：三角形内角和等于180°.
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
例2 如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
问题：在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？
在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？
你能求出∠A +∠B 的度数吗？
你能得出什么结论？
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
问题：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？
推理格式：在Rt△ABC 中，∵ ∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．
三、当堂练习
1.如图，求各图中∠1 的度数．
2.如图，从A 处观测C 处的仰角∠CAD = 30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD = 45°．从C 处观测A，B 两处的视角∠ACB 是多少？
如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，
∠B=∠D=40°. 求∠C的度数.
4.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2， △ADE是直角三角形吗？为什么？
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单11.2.1 三角形的内角 教学设计
教学目标
1.通过经历探究活动的过程，得出三角形的内角和定理.
2.能运用平行线的性质证明内角和定理，能应用内角和定理推导并归纳直角三角形的性质与判定.
3.经历“实验—猜想—证明”的过程，体验自然科学的一般研究方法，提高研究和学习的兴趣.
教学重点
三角形的内角和定理.
教学难点
证明三角形的内角和定理.
教学过程
问题引入
在小学我们已经知道：任意一个三角形三个内角的和等于__180°_.
你还记得是怎么发现这个结论的吗？
请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
探究新知
1.方法：度量、剪拼、折叠
问题1：运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？为什么？
不一定，测量可能会有误差．
问题2：通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，
如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°？
需要通过推理去证明．
2.如何证明“三角形内角和等于180°？
思路：∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点 A 的直线 l，直线 l 与边 BC 平行.
通过添加与边 BC 平行的辅助线 l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明该结论．
证明：三角形内角和等于180°.
已知：△ABC．
求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．
证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC．
∵ l ∥BC ，
∴ ∠2 = ∠4，∠3 = ∠5
（两直线平行，内错角相等） ．
∵ ∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义），
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）．
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
解：∵ 由∠BAC=40 ° ， AD 是△ABC 的角平分线，得
∠BAD=∠BAC = 20°.
在△ABD中，∠ADB =180°–∠B –∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
例2 如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
解：∠CAB=∠BAD - ∠CAD
=80 °- 50 °
=30 °.
3.问题：在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？
解：根据三角形内角和等于180°
∠A+∠B+∠C =180°
所以∠C=180°-60°-30°=90°.
则△ABC是直角三角形.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？ 不能
你能求出∠A +∠B 的度数吗？ 90°
你能得出什么结论？ 直角三角形的两个锐角互余．
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：在Rt△AEC 中，∵ ∠C =90°，
∴ ∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，∵ ∠D =90°，
∴ ∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）．
∵ ∠AEC =∠BED （对顶角相等），∴ ∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）．
问题：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？
有两个角互余的三角形是直角三角形．
成立，利用三角形内角和定理可得.
推理格式：在Rt△ABC 中，∵ ∠A +∠B =90°，∴ △ABC 是直角三角形．
当堂练习
1.如图，求各图中∠1 的度数．
2.如图，从A 处观测C 处的仰角∠CAD = 30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD = 45°．从C 处观测A， B 两处的视角∠ACB 是多少？
解：∠ACB =∠ACD – ∠BCD
= 60°– 45°=15°.
3.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°. 求∠C的度数.
解：∵∠1+∠2+∠B= 180°，∠3+∠4+∠D=180°，
∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.
∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D= 360°.
即∠BCD+∠BAD+40°+40°= 360°.
则∠BCD= 360°－ 150°－80°= 130°.
4.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2， △ADE是直角三角形吗？为什么？
解: △ADE是直角三角形. 理由如下:
∵∠C=90°，∴∠A+∠2=90°.
又∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°.
∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单
六、板书设计
11.2.1 三角形的内角 右边板书
1.三角形三个内角和等于180° 练习题板书过程
2.直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
第 5 页 共 5 页课前诊测
求出下列图形中 x 的值:
精准作业
必做题
1. 求出下列图形中的 x 的值:
2.△ABC 中，∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°.
求△ABC 的各内角的度数.
3.如图，AD⊥ BC，∠1 =∠2，∠C = 65°.求∠BAC 的度数.
探究题
如图，在△ABC中，OB，OC是∠ABC，∠ACB的平分线.
（1）填写下面的表格：
∠A的度数 50° 60° 70°
∠BOC的度数
（2）试猜想∠A与∠BOC之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图，△ABC的高BE，CD交于点O，试说明图中∠A与∠BOD的关系.
参考答案
课前诊断
解：(1) 40 (2) 70 (3) 60
精准作业
(1) 33 (2) 60 (3) 54 (4) 60
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠A+10°，
∠C=∠B+10°=∠A+20°，∴∠A+∠A+10°+∠A+20°=180°.
即3∠A+30°=180°.∴∠A=50°，∠B=∠A+10°=60°，∠C=∠B+10°=70°.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠1=∠2， ∴∠2=∠1=×（180°-∠ADB）=×90°=45°.
∴∠BAC=180°-（∠2+∠C）=180°-（45°+65°）=70°.
探究题
解：(1) 115° 120° 125°
猜想：∠BOC=90°+ ∠A.
理由：∵在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的平分线
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A）=90°- ∠A.
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°- ∠A）=90°+ ∠A.
相等；理由：∵△ABC的高BE、CD交于O点，∴∠BDC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BOD=90°，∠ABE+∠A=90°，
∴∠A=∠BOD.(共16张PPT)
11.2.1 三角形的内角
问 题 引 入
在小学我们已经知道：
任意一个三角形三个内角的和等于_______.
180°
你还记得是怎么发现这个结论的吗？
请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
探 究 新 知
方法：度量、剪拼、折叠
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
A
B
C
问题1：运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？
为什么？
不一定，测量可能会有误差．
问题2：通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°？
需要通过推理去证明．
如何证明“三角形内角和等于180°？
B
B
C
C
A
l
通过添加与边 BC 平行的辅助线 l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明该结论．
思路：∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点 A 的直线 l，直线 l 与边 BC 平行.
探 究 新 知
证明：三角形内角和等于180°.
A
B
C
2
4
1
5
3
l
已知：△ABC．
求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．
证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC．
∵ l ∥BC ，
∴ ∠2 = ∠4，∠3 = ∠5
（两直线平行，内错角相等） ．
∵ ∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义），
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）．
探 究 新 知
探 究 新 知
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
解：∵ 由∠BAC=40 ° ，
AD 是△ABC 的角平分线，得
∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD中，
∠ADB =180°– ∠B – ∠BAD
=180° – 75° – 20°
=85°.
例2 如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
探 究 新 知
北
北
C
A
B
D
E
解：
∠CAB=∠BAD - ∠CAD
=80 °- 50 °
=30 °.
问题：在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？
A
B
C
解：根据三角形内角和等于180°
∠A+∠B+∠C =180°
所以∠C=180°-60°-30°=90°.
则△ABC是直角三角形.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？
你能求出∠A +∠B 的度数吗？
直角三角形的两个锐角互余．
你能得出什么结论？
90°
探 究 新 知
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
C
D
E
A
B
解：在Rt△AEC 中，∵ ∠C =90°，
∴ ∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，∵ ∠D =90°，
∴ ∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）．
∵ ∠AEC =∠BED （对顶角相等），∴ ∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）．
探 究 新 知
问题：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？
探 究 新 知
有两个角互余的三角形是直角三角形．
成立，利用三角形内角和定理可得.
推理格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
A
B
C
当 堂 练 习
1.如图，求各图中∠1 的度数．
30°
105°
1
（2）
80°
50°
1
（1）
22°
1
（3）
50°
45°
68°
2.如图，从A 处观测C 处的仰角∠CAD = 30°，从B 处观测C 处的仰角∠CBD = 45°．从C 处观测A，B 两处的视角∠ACB 是多少？
当 堂 练 习
解：∠ACB =∠ACD – ∠BCD
= 60°– 45°=15°.
A
B
D
C
3.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°. 求∠C的度数.
解：∵∠1+∠2+∠B= 180°，∠3+∠4+∠D=180°，
∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.
∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D= 360°.
即∠BCD+∠BAD+40°+40°= 360°.
则∠BCD= 360°－ 150°－80°= 130°.
当 堂 练 习
4.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2， △ADE是直角三角形吗？为什么？
解: △ADE是直角三角形. 理由如下:
∵∠C=90°，∴∠A+∠2=90°.
又∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°.
∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形.
课 堂 小 结
B
B
C
C
A
l
三角形内角和等于180°.
有两个角互余的三角形是直角三角形．
A
B
C
直角三角形
的两个锐角互余．
作 业 布 置
见精准作业单.
