2023-2024学年初中数学七年级上册 1.2 数轴、相反数与绝对值 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·德惠模拟）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·丰南模拟）在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（ ）
A．-8＜x＜8 B．x＜-8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
3．（2022七上·滦州期中）在数轴上，到表示-2的点7个单位长度的点所表示的数是（ ）
A．-9或9 B．-5或5 C．9或-5 D．-9或5
4．（2022七上·桐乡期中）数轴上点，，分别表示数，，，下列说法正确的是
A．点一定在点的右边 B．点一定在点的左边
C．点一定在点的右边 D．点一定在点的左边
5．（2022七上·杭州期中）A，B是数轴上的两个点，它们到原点的距离分别为2和1，则A，B两点的距离为（ ）
A．1 B．3 C．1或-1 D．1或3
6．（2022七上·柯桥期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（ ）
A．-2 B．-4 C．-5 D．-6
7．（2022七上·柳州期中）已知，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．-4
8．（2022七上·萧山期中）若，则的值为（ ）
A．0或1 B．-1或0 C．-1 D．-2
二、填空题
9．（2022七上·北辰期中）数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是 ．
10．（2022七上·增城期中）化简：若，则 ．
11．（2022七上·峡江期末）已知m、n是两个非零有理数，则=
12．（2022七上·吉安期末）已知有理数a、b满足，则 ．
13．（2021七上·达州期中）已知有理数 、 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为 .
三、解答题
14．（2021七上·姜堰月考）已知|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，计算a﹣b+c的值．
15．（2020七上·内江期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且 ，化简求值： ．
四、综合题
16．（2022七上·北仑期中）对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P、Q两点的“绝对距离”，记为||POQ||.
例如，P、Q两点表示的数如图1所示， 则||POQ||-|PO-QO|=|3-1|=2.
（1）两点表示的数如图2所示.
①求两点的“绝对距离”；
②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数；
（2）点为数轴上的两点（点M在点N左侧），且，， 请直接写出点M表示的为 .
17．（2022七上·海曙期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点.
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点.
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2.
（1）点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是美好点的是 ；写出美好点H所表示的数是 .
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
18．（2022七上·慈溪期中）同学们都知道，表示7与-1之差的绝对值，实际上也可理解为7与-1两数在数轴上所对的两点之间的距离.如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离.试探索∶
（1）求 ；若，则 ；
（2）的最小值是 ；
（3）当 时，的最小值是 ；
（4）已知则求出的最大值和最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由图像得，，，，ABC不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据数轴的性质即可求解。
2．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵数轴上的x表示与原点的距离大于8的点，
∴x可以是小于-8的数，也可以是大于8的数，
即x＜-8或x＞8，
故答案为：B．
【分析】由数轴上的x表示与原点的距离大于8，可得＞8，据此即可求解.
3．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】在数轴上，距表示-2的点有7个单位长度的点所表示的数是 或 .
故答案为：D．
【分析】结合数轴，再利用两点之间的距离公式求解即可。
4．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解： 的数值未知，
点 与点 ，点 与点 的位置关系未知，
点 ， 分别表示数 ， ，
即点 向左移动一个单位，
点 一定在点 的左边.
故答案为：D.
【分析】m>-1+m，据此可得点B在点C的右边，无法判断-1、-1+m与-1、m的大小关系，据此判断.
5．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵A点到原点的距离是2，
∴A点表示的数是2或-2，
∵B点到原点的距离是1，
∴B点表示的数是1或-1，
∴A、B两点的距离是1或3，
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点，此题需要分点A、B都在原点的左边与都在原点的右边，点A、B一个在原点的右边，另一个在原点的左边，几种情况考虑，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：如图：
由点B，C表示的数的绝对值相等，得
原点O的位置，
∴A点表示的数是-4.
故答案为：B.
【分析】由点B、C表示的数的绝对值相等可得其中点即为原点O的位置，进而可得A点表示的数.
7．【答案】B
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】解： ，
，
，
， 异号，
当 ， 时， ， ，
；
当 ， 时， ， ，
；
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可得 ，然后分①a>0、b<0；②a<0、b>0两种情况进行计算即可.
9．【答案】-2或2
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：（1）与原点距离为2个单位长度的点在原点左边时，
它表示的数是；
（2）与原点距离为2个单位长度的点在原点右边时，
它表示的数是2；
故数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是或2．
故答案为：或2．
【分析】分两种情况，再利用两点之间的距离公式求出答案即可。
10．【答案】3-x
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： ，则
故答案为：3-x．
【分析】根据绝对值的性质求解即可。
11．【答案】0或2或-2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
综上可知：的值为0或2或-2．
故答案为：0或2或-2．
【分析】根据题意，分类讨论，求出的值为0或2或-2，即可作答。
12．【答案】0或±2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：因为ab≠0，若a、b同号，
当a＞0，b＞0时，=1+1=2；
当a＜0，b＜0时，=-1-1=-2；
若a、b异号，
当a＞0，b＜0时，=1－1=0；
当a＜0，b＞0时，=-1+1=0；
故答案为：±2或0．
【分析】分两种情况：①若a、b同号，②若a、b异号，再利用绝对值的性质分别求解即可。
13．【答案】2b
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由数轴知：b＞0，a＜0，|b|＞|a|
∴a b＜0，a＋b＞0.
∴
＝ （a b）+（a＋b）
＝ a＋b+a+b
＝2b.
故答案为：2b.
【分析】由有理数 、 在数轴上的位置可得b＞0，a＜0，|b|＞|a|，进而根据有理数的加减法法则判断出a b＜0，a＋b＞0，再根据绝对值的非负性和合并同类项法则计算即可求解.
14．【答案】解：根据图示，可得：c＜b＜0，a＞0，
∵|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，
∴a＝±4，b＝±2，c＝±5，
∵c＜b＜0，a＞0，
∴a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，
∴a﹣b+c
＝4﹣（﹣2）+（﹣5）
＝4+2+（﹣5）
＝6+（﹣5）
＝1．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】 由数轴可知c＜b＜0，a＞0， 结合|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，可确定a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，然后将其代入计算即可.
15．【答案】解：根据题意得， ，即
，
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】 由 及数轴可得 ， ，利用绝对值的性质取绝对值、合并即可.
16．【答案】（1）解：①||AOB||=|AO-BO|=|1-3|=2；
②∵，，
∴，
∴，
∴或，
解得：或2，
∵C点不与O点重合，
∴点C表示的数为2或；
（2）或
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（2）由题可知，
∴或.
∵点M在点N左侧，
故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，
∴.
∵，
∴，
∴此情况不存在；
②当M，N都在原点的右侧时，
∵，
∴，
∴此情况不存在；
③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，
∵，
∴.
∵或，
∴或，
∴点M表示的数为或.
故答案为：或.
【分析】（1）①根据定义结合数轴上点A、B所表示的数，计算即可；②先根据||AOB||＝2||AOC||得到||AOC||＝1，再根据两点的绝对距离的定义即可求解；
（2）根据两点间的距离公式，以及||MON||＝1，可得MO-NO=1或NO-MO=1；由于点M在点N左侧，故分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时，③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，分别结合数轴上的点所表示数的特点即可得出答案.
17．【答案】（1）G；-4或-16
（2）解：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间，如图1，
∵，，
∴，
∴秒；
第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间，如图2，
∵，，
∴，
∴秒；
第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，如图3，
∵，，
∴，
∴秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：（1）根据题意得∶，
此时，故点E不是美好点；
，
此时，故点F不是美好点；
，
此时，故点G是美好点；
故答案为：G；
设点H所表示的数是x，则，
∵点H为美好点，
∴，
∴，
解得：或；
故答案为：-4或-16；
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件；结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化；
（2）P点恰好是M和N的美好点，分类讨论： 第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间 ； 第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间； 第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，分别根据美好点的定义得出答案.
18．【答案】（1）5；1或-5
（2）4
（3）2；5
（4）解：，，，
，
，
，，，
，，，
的最大值为：，最小值为：，
即的最大值为7，最小值为.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，
；
，
表示x的点与表示的点的距离为3，
，，
或.
故答案为：5，1或-5；
（2）可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和，
当表示x的点在表示1和表示的两点之间的线段上，即时，有最小值，
最小值为：.
故答案为：4；
（3）可以理解为表示x的点到表示、2、4三点的距离之和，
当时，有最小值，最小值为：，
当时，有最小值，最小值为：，
当时，有最小值，最小值为：，
即当时，的最小值是5.
故答案为：2，5；
【分析】（1）根据数轴上表示3的点与表示 2的点之间的距离为5，即可得到结论；根据数轴上与表示 2的点相距3个单位的点表示的数为1或 5，即可得到结论；
（2）把|x 1|＋|x＋3|理解为：在数轴上表示x的点到 3和1的距离之和，求出表示 3和1的两点之间的距离即可；
（3）根据题中定义可知式子|x＋1|＋|x 2|＋|x 4|表示x到-1、2、4这三个点的距离之和，从而判断出x在点2的位置时有最小值，然后进行计算即可得解；
（4）根据绝对值的几何意义，可得|x＋1|＋|x 2|的最小值是3，|y 2|＋|y＋1|的最小值是3，|z 3|＋|z＋1|的最小值是4，结合已知得|x＋1|＋|x 2|＝3，|y 2|＋|y＋1|＝3，|z 3|＋|z＋1|＝4，则 1≤x≤2， 1≤y≤2， 1≤z≤3，所以当x＝ 1，y＝ 1，z＝ 1时，x＋y＋z的值最小为 3，当x＝2，y＝2，z＝3时，x＋y＋z的值最大为7．
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 1.2 数轴、相反数与绝对值 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·德惠模拟）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由图像得，，，，ABC不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据数轴的性质即可求解。
2．（2022·丰南模拟）在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（ ）
A．-8＜x＜8 B．x＜-8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵数轴上的x表示与原点的距离大于8的点，
∴x可以是小于-8的数，也可以是大于8的数，
即x＜-8或x＞8，
故答案为：B．
【分析】由数轴上的x表示与原点的距离大于8，可得＞8，据此即可求解.
3．（2022七上·滦州期中）在数轴上，到表示-2的点7个单位长度的点所表示的数是（ ）
A．-9或9 B．-5或5 C．9或-5 D．-9或5
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】在数轴上，距表示-2的点有7个单位长度的点所表示的数是 或 .
故答案为：D．
【分析】结合数轴，再利用两点之间的距离公式求解即可。
4．（2022七上·桐乡期中）数轴上点，，分别表示数，，，下列说法正确的是
A．点一定在点的右边 B．点一定在点的左边
C．点一定在点的右边 D．点一定在点的左边
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解： 的数值未知，
点 与点 ，点 与点 的位置关系未知，
点 ， 分别表示数 ， ，
即点 向左移动一个单位，
点 一定在点 的左边.
故答案为：D.
【分析】m>-1+m，据此可得点B在点C的右边，无法判断-1、-1+m与-1、m的大小关系，据此判断.
5．（2022七上·杭州期中）A，B是数轴上的两个点，它们到原点的距离分别为2和1，则A，B两点的距离为（ ）
A．1 B．3 C．1或-1 D．1或3
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵A点到原点的距离是2，
∴A点表示的数是2或-2，
∵B点到原点的距离是1，
∴B点表示的数是1或-1，
∴A、B两点的距离是1或3，
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点，此题需要分点A、B都在原点的左边与都在原点的右边，点A、B一个在原点的右边，另一个在原点的左边，几种情况考虑，即可得出答案.
6．（2022七上·柯桥期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（ ）
A．-2 B．-4 C．-5 D．-6
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：如图：
由点B，C表示的数的绝对值相等，得
原点O的位置，
∴A点表示的数是-4.
故答案为：B.
【分析】由点B、C表示的数的绝对值相等可得其中点即为原点O的位置，进而可得A点表示的数.
7．（2022七上·柳州期中）已知，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．-4
【答案】B
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可.
8．（2022七上·萧山期中）若，则的值为（ ）
A．0或1 B．-1或0 C．-1 D．-2
【答案】C
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】解： ，
，
，
， 异号，
当 ， 时， ， ，
；
当 ， 时， ， ，
；
故答案为：C.
【分析】根据已知条件可得 ，然后分①a>0、b<0；②a<0、b>0两种情况进行计算即可.
二、填空题
9．（2022七上·北辰期中）数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是 ．
【答案】-2或2
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：（1）与原点距离为2个单位长度的点在原点左边时，
它表示的数是；
（2）与原点距离为2个单位长度的点在原点右边时，
它表示的数是2；
故数轴上，与原点距离为2个单位长度的点表示的数是或2．
故答案为：或2．
【分析】分两种情况，再利用两点之间的距离公式求出答案即可。
10．（2022七上·增城期中）化简：若，则 ．
【答案】3-x
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： ，则
故答案为：3-x．
【分析】根据绝对值的性质求解即可。
11．（2022七上·峡江期末）已知m、n是两个非零有理数，则=
【答案】0或2或-2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
综上可知：的值为0或2或-2．
故答案为：0或2或-2．
【分析】根据题意，分类讨论，求出的值为0或2或-2，即可作答。
12．（2022七上·吉安期末）已知有理数a、b满足，则 ．
【答案】0或±2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：因为ab≠0，若a、b同号，
当a＞0，b＞0时，=1+1=2；
当a＜0，b＜0时，=-1-1=-2；
若a、b异号，
当a＞0，b＜0时，=1－1=0；
当a＜0，b＞0时，=-1+1=0；
故答案为：±2或0．
【分析】分两种情况：①若a、b同号，②若a、b异号，再利用绝对值的性质分别求解即可。
13．（2021七上·达州期中）已知有理数 、 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为 .
【答案】2b
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由数轴知：b＞0，a＜0，|b|＞|a|
∴a b＜0，a＋b＞0.
∴
＝ （a b）+（a＋b）
＝ a＋b+a+b
＝2b.
故答案为：2b.
【分析】由有理数 、 在数轴上的位置可得b＞0，a＜0，|b|＞|a|，进而根据有理数的加减法法则判断出a b＜0，a＋b＞0，再根据绝对值的非负性和合并同类项法则计算即可求解.
三、解答题
14．（2021七上·姜堰月考）已知|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，计算a﹣b+c的值．
【答案】解：根据图示，可得：c＜b＜0，a＞0，
∵|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，
∴a＝±4，b＝±2，c＝±5，
∵c＜b＜0，a＞0，
∴a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，
∴a﹣b+c
＝4﹣（﹣2）+（﹣5）
＝4+2+（﹣5）
＝6+（﹣5）
＝1．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】 由数轴可知c＜b＜0，a＞0， 结合|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，可确定a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，然后将其代入计算即可.
15．（2020七上·内江期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且 ，化简求值： ．
【答案】解：根据题意得， ，即
，
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】 由 及数轴可得 ， ，利用绝对值的性质取绝对值、合并即可.
四、综合题
16．（2022七上·北仑期中）对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P、Q两点的“绝对距离”，记为||POQ||.
例如，P、Q两点表示的数如图1所示， 则||POQ||-|PO-QO|=|3-1|=2.
（1）两点表示的数如图2所示.
①求两点的“绝对距离”；
②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数；
（2）点为数轴上的两点（点M在点N左侧），且，， 请直接写出点M表示的为 .
【答案】（1）解：①||AOB||=|AO-BO|=|1-3|=2；
②∵，，
∴，
∴，
∴或，
解得：或2，
∵C点不与O点重合，
∴点C表示的数为2或；
（2）或
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（2）由题可知，
∴或.
∵点M在点N左侧，
故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，
∴.
∵，
∴，
∴此情况不存在；
②当M，N都在原点的右侧时，
∵，
∴，
∴此情况不存在；
③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，
∵，
∴.
∵或，
∴或，
∴点M表示的数为或.
故答案为：或.
【分析】（1）①根据定义结合数轴上点A、B所表示的数，计算即可；②先根据||AOB||＝2||AOC||得到||AOC||＝1，再根据两点的绝对距离的定义即可求解；
（2）根据两点间的距离公式，以及||MON||＝1，可得MO-NO=1或NO-MO=1；由于点M在点N左侧，故分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时，③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，分别结合数轴上的点所表示数的特点即可得出答案.
17．（2022七上·海曙期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点.
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点.
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2.
（1）点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是美好点的是 ；写出美好点H所表示的数是 .
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
【答案】（1）G；-4或-16
（2）解：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间，如图1，
∵，，
∴，
∴秒；
第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间，如图2，
∵，，
∴，
∴秒；
第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，如图3，
∵，，
∴，
∴秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：（1）根据题意得∶，
此时，故点E不是美好点；
，
此时，故点F不是美好点；
，
此时，故点G是美好点；
故答案为：G；
设点H所表示的数是x，则，
∵点H为美好点，
∴，
∴，
解得：或；
故答案为：-4或-16；
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件；结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化；
（2）P点恰好是M和N的美好点，分类讨论： 第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间 ； 第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间； 第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，分别根据美好点的定义得出答案.
18．（2022七上·慈溪期中）同学们都知道，表示7与-1之差的绝对值，实际上也可理解为7与-1两数在数轴上所对的两点之间的距离.如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离.试探索∶
（1）求 ；若，则 ；
（2）的最小值是 ；
（3）当 时，的最小值是 ；
（4）已知则求出的最大值和最小值.
【答案】（1）5；1或-5
（2）4
（3）2；5
（4）解：，，，
，
，
，，，
，，，
的最大值为：，最小值为：，
即的最大值为7，最小值为.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，
；
，
表示x的点与表示的点的距离为3，
，，
或.
故答案为：5，1或-5；
（2）可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和，
当表示x的点在表示1和表示的两点之间的线段上，即时，有最小值，
最小值为：.
故答案为：4；
（3）可以理解为表示x的点到表示、2、4三点的距离之和，
当时，有最小值，最小值为：，
当时，有最小值，最小值为：，
当时，有最小值，最小值为：，
即当时，的最小值是5.
故答案为：2，5；
【分析】（1）根据数轴上表示3的点与表示 2的点之间的距离为5，即可得到结论；根据数轴上与表示 2的点相距3个单位的点表示的数为1或 5，即可得到结论；
（2）把|x 1|＋|x＋3|理解为：在数轴上表示x的点到 3和1的距离之和，求出表示 3和1的两点之间的距离即可；
（3）根据题中定义可知式子|x＋1|＋|x 2|＋|x 4|表示x到-1、2、4这三个点的距离之和，从而判断出x在点2的位置时有最小值，然后进行计算即可得解；
（4）根据绝对值的几何意义，可得|x＋1|＋|x 2|的最小值是3，|y 2|＋|y＋1|的最小值是3，|z 3|＋|z＋1|的最小值是4，结合已知得|x＋1|＋|x 2|＝3，|y 2|＋|y＋1|＝3，|z 3|＋|z＋1|＝4，则 1≤x≤2， 1≤y≤2， 1≤z≤3，所以当x＝ 1，y＝ 1，z＝ 1时，x＋y＋z的值最小为 3，当x＝2，y＝2，z＝3时，x＋y＋z的值最大为7．
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